(14.48)

Оскільки ця хвиля є сумою двох членів, то відгук лінійної системи міститиме також два членів: один відповідно

Мал. 14.15. Представлення одиночного прямокутного імпульсу суперпозицією східчастих функцій.

відгуку системи на дію східчастої функції Au-1, другої-на дію Au-1 (ф-T).

Складніші форми коливань, що мають в своїй основі відгук на східчасту функцію і його модифікації, можуть бути побудовані шляхом відповідного узагальнення цього методу підсумовування подальших дій. Ми вже детально розглянули реакцію однополюсної системи на східчасту дію. В подальших розділах ми визначимо реакцію смугової системи на східчасту функцію і використаємо її для розрахунку реакції на одиночний прямокутний імпульс (мал. 14.15). І на закінчення ми познайомимося з універсальним методом дослідження відгуку на довільну дію.

14.3.1. Імпульсна характеристика смугової системи

Знайдемо імпульсний відгук простої смугової системи, тобто системи, передавальна функція якої має нуль в крапці s=0 і два полюси, розташовані обидва на негативній гілці дійсної осі, або виникаючи комплексне зв'язану пару. В разд. 13.3.3 показано, що відповідним вибором величин R, L і C паралельного резонансного контура (мал. 14.16) можна одержати або широку смугу нерезонансного ланцюга, або вузьку полосу резонансного контура. Тому використовуватимемо цю суму як загальний приклад смугової системи.Почнемо з визначення реакції на східчасту дію. Повна реакція системи на таку дію є сумою вимушеної і власної реакцій. Вимушена реакція нашого ланцюга на східчасту дію рівна 0, оскільки індуктивність еквівалентна короткому замиканню по постійному струму. Нуль передавальної функції на початку координат (5==0) також говорить про те, що вимушена реакція рівна 0. Оскільки

Рис. 14.16. Полосовая система.

передавальна функція має два полюси sа і sb, власна реакція складатиметься з двох членів. Реакція ланцюга на східчасту дію може бути записана в загальному вигляді

(14.49)

де A1 і A2-постійні, залежні від початкових умов, які можна ввести таким чином.

(14.54)

ТО

Використовуючи ці початкові умови в рівнянні (14.49), одержимо систему двох рівнянь

(14.55)

Яка має рішення

(14.56)

Тому реакція на східчасту дію має загальний вигляд

(14.57)

Розглянемо два екстремальні випадки: а) схема з великим загасанням, тобто полюси Sа і Sb лежать на негативній гілці дійсної осі і відрізняються на декілька порядків один від одного; б) резонансна схема з високою добротністю, тобто полюси Sа і Sb утворюють комплексно зв'язану пару з високою добротністю 0.

Для системи з великим загасанням маємо

(14.58)

Отже, реакція на східчасту дію (мал. 14.17;б) швидко зростає до 1 з постійною часу, визначуваної високочастотним полюсом, а потім поволі спадає до 0 з постійною часу, залежної від низькочастотного полюса.

Для резонансної системи полюси розташовані в крапках (мал. 14.18,а)

(14.59)

і

(14.60)

де

(14.61)

Мал. 14.17. Перехідна характеристика смугової системи.

д_ діаграма полюсів і нулів; б-реакция на східчасту дію (перехідна характеристика).

Мал. 14.18. Перехідна характеристика резонансної системи.

Мал. 14.19. Імпульсна характеристика трансформатора.

а-схема; б-формы напруг.

До початку дії (при 1==0~) напруга на конденсаторі рівна 0. Тому з умови безперервності для конденсатора

(14.50)

Аналогічно до початку дії (при t=0-) струм в катушці рівний 0. Тому з умови безперервності для катушки індуктивності

(14.51)

Але якщо IL,(0+)=0, то за законом Кiрхгофа для струмів можна написати

(14.52)

так як напруга джерела рівна 1 В при t=0+, а напруга U2 рівна 0. Оскільки

(14.53)

Підставивши ці вирази в рівняння (14.57), одержимо

(14.62)

що графічно зображене на мал. 14.18,5. Добротність 0 такої системи рівна

(14.63)

що дозволяє оцінити амплітуду і тривалість реакції. Початкова амплітуда рівна 1/Q, а вихідна напруга є затухаючими гармонійними коливаннями з частотою про)о (амплітуда коливань зменшується на ~10% через 0 періодів). Чим більше 0, тим слабкий реакція, але продолжительнее коливання.

Як інший приклад реакції системи на східчасту дію розглянемо трансформатор з коефіцієнтом трансформації 1:1 (мал. 14.19), вживаний для зв'язку генератора імпульсів з навантаженням.

У разд. 13.3.2 вже мовилося про те, що передавальна функція трансформатора має два полюси, розташовані на дійсній осі, що відповідає випадку смугової системи з великим загасанням. Вхідний імпульс має прямокутну форму, але оскільки трансформатор володіє смуговою характеристикою. існує кінцевий час наростання (визначуване верхньою частотою зрізу) і деякий спад плоскої вершини (визначуваний нижньою частотою зрізу). Коли вхідна напруга стає рівною нулю, вихідна напруга трансформатора звичайно також перетинає нульову лінію. Якщо наступний імпульс прийде раніше, ніж закінчиться перехідний процес, то . його амплітуда буде менше амплітуди попереднього імпульсу і т. д., поки в граничному випадку періодичної послідовності величина постійної складової напруги на виході не стане рівною нулю, що є природним, оскільки трансформатор не пропускає постійного струму.

Відзначимо, що полюси і нулі поблизу початку координат оприділяють реакцію системи в області великих часів, тоді як полюси на частотах, відповідних верхній частоті зрізу полосової системи, визначають реакцію системи в області малих часів (тобто час наростання). Цей загальний висновок має важливе значення в оцінці поведінки і можливостей систем обробки сигналів.

14.3.2. Інтеграл згортки

Будь-яка форма коливань може бути представлена у вигляді послідовності маленьких сходинок. Насправді, про підсумовування, згідно рівнянню (14.48), можна розповсюдити на нескінченно велике число нескінченно малих сходинок, що дозволяють представити будь-яку функцію часу. Еквівалентне і більш зручне уявлення засновано на використовуванні * імпульсної функції Uо(t). Основною і найважливішою властивістю імпульсної функції є те, що для будь-якої функції а (t)

(14.64)

Тому ми можемо представити прямокутний імпульс на мал. 14.15 як суперпозицію