Реферат на тему:
Вирівнювальні обчислення в тріангуляції
Загальні положення з вирівнювання геодезичних мереж корелатним методом
В даний час існує багато методів вирівнювання геодезичних мереж. Найбільш поширеним в даний час є вирівнювання мереж корелатним або параметричним методом.
Розглянемо суть вирівнювання геодезичних вимірів корелатним методом. Нехай в геодезичній мережі виконано n вимірів, які приводять до виникнення r умов (при цьому r<n). Допустимо, що найймовірніші значення виміряних величин М1?, М2? ..., Мn? будуть М1, М2, ..., Мn. Нехай в даній мережі можна скласти r рівнянь, які мають вигляд: |
. | (2.48)
Якщо в рівняння (2.48) замість найймовірніших значень виміряних величин підставити їх виміряні, то отримаємо: |
, | (2.49)
де W1, W2, ..., Wr — вільні члени (нев’язки).
Представимо, що кожне найймовірніше значення і виміряної величини можна виразити: |
. | (2.50)
Тоді система рівнянь матиме вигляд |
. | (2.51)
Розкладаючи кожне із рівнянь системи (2.51) в ряд Тейлора, маємо: |
. | (2.52)
Введемо позначення для першого рівняння
; другого — ; останнього — .
З врахуванням наших позначень та формул системи рівнянь (2.52) система рівнянь (2.52) прийме вигляд: |
. | (2.53)
Розв’язок задачі вирівнювання полягає в знаходження поправок V1, V2,…,Vn до виміряних значень величин Mґ1, Mґ2,…, Mґn. Однак, труднощі у вирішення даної задачі полягають в тому, що кількість невідомих n більша кількості рівнянь r (n>r). Розв’язок системи (2.53) виконують, використовуючи невизначені множники Лагранжа (колерати) ki. З цією метою складають нормальні рівняння, які мають вигляд: |
. | (2.54)
Із розв’язку рівнянь системи (2.54) знаходимо колерати ki, а потім за відомими формулами поправки |
. | (2.55)
Вирівнювання тріангуляції колератним методом
Нагадаємо, що тріангуляція — це метод побудови геодезичної мережі за допомогою трикутників, в яких виміряні тільки кути. Поряд з цим, для побудови мережі використовують такі фігури як геодезичний чотирикутник та центральну систему (рис. 2.40).
а) | в)
Рис. 2.37. Типові фігури в тріангуляції:
а) геодезичний трикутник, в) центральна система
Для обчислення координат пунктів геодезичної мережі необхідні вихідні дані. Такими вихідними даними можуть бути координати двох суміжних пунктів А(XA, YA) і B(XB, YB), або координати одного пункту А(XA, YA), вихідна сторона SA-B та вихідний дирекційний кут AB (рис. 2.38).
а) | в)
Рис. 2.38. Вихідні дані для обчислення координат пунктів:
а) координат двох вихідних пунктів, в) координати одного вихідного пункту, вихідна сторона та вихідний дирекційний пункт
Мережу тріангуляції, у якій є тільки необхідні вихідні називають вільною. Якщо в мережі є надлишок вихідних даних, то вона є невільною. Наприклад, мережа тріангуляції (рис. 2.39) є невільною, так як в ній є додаткові координати пункту F(XF, YF).
Рис. 2.39. Невільна мережа тріангуляції
Зауважимо, що при вирівнюванні тріангуляцій виникає задача обчислення сторін трикутників мережі. Для цього використовують теорему синусів. Наприклад, для отримання значення сторони ВС, коли відома сторона SA-B та кути в ABC (рис. 2.39) матимемо: |
, | (2.56)
Звідки |
. | (2.57)
В мережі трикутників тріангуляцій, сторони які є спільними для двох трикутників називають зв’язуючими. Напроти зв’язуючих сторін лежать зв’язуючі кути (1, 3, 4, 6, ..., 12). При цьому при нумерації кутів найнижчою цифрою позначають кут трикутника, який лежить напроти вихідної сторони, і найвищою кут, який лежить напроти сторони, що є вихідною для наступних обчислень. Інші сторони трикутників називають проміжними, напроти них лежать проміжні кути.
Зауважимо, що проблема вирівнювання виникає як для вільних так і невільних мереж. Важливою передумовою є надлишок вимірів та вихідних даних в геодезичній мережі.
Види умовних рівнянь
Умовне рівняння фігур
В трикутнику, в якого є відомі три плоскі кути виникає умова фігури. Дана умова ставить вимогу, щоб сума плоских кутів трикутника дорівнювала 180 (рис. 2.40), тобто
Рис. 2.40. Трикутник |
(2.58)
Підставивши замість найймовірніших значень кутів їх виміряні, маємо |
(2.59)
Коефіцієнти при поправках в кути відповідно до формул системи (2.52) будуть: |
. | (2.60)
Таким чином, згідно системи (2.53) лінійне рівняння поправок буде: |
. | (2.61)
Умовне рівняння горизонту
Дане рівняння виникає в центральній системі. Дана умова вимагає, щоб сума кутів виміряних в даному пункті по горизонту дорівнювала 360є. Наприклад, для рис. 2.39 маємо |
(2.62)
Коефіцієнти при поправках в кути будуть |
, | (2.63)
де |
WГ=2+5+8+11–360є. | (2.64)
Враховуючи (2.63) і (2.64) умовне рівняння горизонту буде |
(2.65)
Полюсне умовне рівняння
Полюсна умова ставить вимогу, щоб після вирівнювання значення будь-якої сторони мережі обчислювалось однозначно незалежно від схеми обчислення.
Дане рівняння виникає в центральній системі та геодезичному чотирикутнику.
Полюсне умовне рівняння в центральній системі. Розглянемо мережу тріангуляції, яка складається із центральної системи (рис. 2.41).
Рис. 2.41. Центральна система
Приймемо сторону АО за вихідну. Тоді, використовуючи теорему синусів послідовно знайдемо сторони ВО, СО і в кінцевому випадку знову прийдемо до сторони АО, тобто |
. | (2.66)
З останнього рівняння системи (2.66) маємо |
. | (2.67)
Підставивши в формулу (2.67) замість найймовірніших значень кутів їх виміряні отримуємо |
. | (2.68)
Для зручності обчислень чисельник позначимо через D1, а знаменник через D2. Тоді формулу (2.68) можна представити у вигляді |
. | (2.69)
Для визначення коефіцієнтів при поправках знайдемо часткові похідні від функції WП (2.69) по змінних (виміряних кутах). Маємо |
. | (2.70)
Зауважимо, що при визначення коефіцієнтів при поправках в кути, які знаходяться в чисельнику, штучно введені члени , що тотожно одиниці і не впливає на значення коефіцієнтів, але значно спрощує вирази для їх обчислення.
Таким чином з врахуванням (2.69) та (2.70) в кінцевому вигляді полюсне рівняння в лінійному вигляді буде: |
. | (2.71)
Полюсне умовне