В геодезичному чотирикутнику (рис. 2.42) можливі два методичні підходи до складання полюсної умови.

Рис. 2.42. Геодезичний чотирикутник

Перший методичний підхід полягає в тому, що за полюс умовно приймають точку О пересічення діагоналей. В цьому випадку методика складання умовного рівняння полюсу аналогічна його складанню в центральній системі. Прийнявши за вихідну сторону АО, послідовно із розв’язку трикутників АВО, ВСО, СDO і DAO знайдемо значення вихідної сторони АО. Звідси маємо: |

. | (2.72)

Або |

. | (2.73)

Замінивши найймовірніші значення кутів їх виміряними, отримаємо: |

. | (2.74)

Позначимо |

. | (2.75)

З врахуванням позначень (2.75) (2.74) прийме вигляд |

(2.76)

Коефіцієнти при поправках в кути мають вигляд |

. | (2.77)

Тоді рівняння поправок в лінійному вигляді буде |

(2.76)

Другий методичний підхід полягає в тому, що за полюс вибирають вершину чотирикутника з найбільшим значенням тупого кута (наприклад, т. А, рис. 8). В цьому випадку, прийнявши за вихідну сторону АВ, знайдемо двічі значення сторони АD. Один раз знайдемо цю сторону із розв’язку трикутника АВD, а другий із послідовного розв’язку двох трикутників АВС і АСD Маємо: |

, | (2.79)

. | (2.80)

Прирівнявши праві частини рівнянь (2.79) і (2.80) отримаємо |

, | (2.81)

або |

. | (2.82)

Після заміни найймовірніших значень кутів їх виміряними маємо |

(2.83)

Позначивши |

, | (2.84)

, | (2.85)

формулу (2.83) можемо представити |

. | (2.86)

Знайдемо коефіцієнти при поправках в кути |

. | (2.87)

З врахуванням (2.86) і (2.87) в кінцевому вигляді рівняння буде |

. | (2.88)

Умовне рівняння дирекційних кутів

Дане рівняння виникає в мережі, де є надлишкові значення дирекційних кутів (рис. 2.43).

Складемо рівняння зв’язку для кінцевих вихідних дирекцій них кутів бАВ і бEF. З цією метою визначимо “ходову” лінію, тобто лінію, по якій будемо передавати дирекційні кути.

Рис. 2.43. Мережа з надлишковими дирекцій ними кутами

Нехай ця лінія буде BCDE. В цьому випадку маємо |

. | (2.89)

Замінивши найймовірніші значення їх виміряними, маємо |

(2.90)

Коефіцієнти при поправках кути будуть |

, | (2.91)

З врахуванням (2.91) отримаємо |

(2.92)

Базисне умовне рівняння

Рівняння даного виду виникає при наявності в мережі надлишкових значень сторін (рис. 2.44). Нехай в даній мережі відомі є значення сторін SAB i SBC. Рівняння зв’язку має вигляд |

. | (2.93)

Замінивши найймовірніші значення кутів їх виміряними маємо |

. | (2.94)

Рис. 2.44. Мережа з надлишковими вихідними сторонами

Коефіцієнти при поправках в кути будуть |

. | (2.95)

З врахуванням (2.94) і (2.95) маємо |

, | (2.96)

або |

. | (2.97)

Координатні умовні рівняння

При наявності в мережі надлишкових координат виникають координатні умовні рівняння.

Запишемо координатні умовні рівняння для ланки трикутників тріангуляції (рис. 2.45).

Рис. 2.45. Мережа з надлишковими координатами

Нехай відомі координати пунктів А, В, Е. Проведемо передачу координат по ходовій лінії B, C, D, E. Складемо рівняння зв’язку для абсцис, |

. | (2.98)

Значення сторін та дирекцій них кутів можна вирахувати за формулами |

, | (2.99)

. | (2.100)

Підставивши в формули (2.98)–(2.100) замість найймовірніших значень кутів їх виміряні маємо |

(2.101)

Визначимо коефіцієнти при поправках в кути. Для цього знайдемо часткові похідні від функції (2.101) з врахуванням (2.99)–(2.100). Маємо

. | (2.102)

З врахуванням формул (2.102) рівняння абсцис приймає вигляд |

. | (2.103)

Для того, щоб значення коефіцієнтів при поправках в кути були не надто великими (близькими до одиниці) всі члени рівняння (2.103) розділимо на величину k?10n, де k і n вибрані довільні числа. В кінцевому результаті маємо |

(2.104)

Розглянемо виведення умовного рівняння для ординат. Для цього випадку рівняння зв’язку має вигляд |

(2.105)

Значення величини Sij та бij обчислюють за формулами (2.99) та (2.100).

Підставивши в формулу (2.105) замість найймовірніших значень величин Sij та бij їх значення, отримані по виміряним кутам, маємо |

(2.106)

Визначимо коефіцієнти при поправках в кути з врахуванням формул (2.99), (2.100). Маємо

. | (2.107)

З врахуванням формул (2.106) і (2.107) рівняння поправок має вигляд |

(2.108)

Розділивши всі члени рівняння (2.108) на величину k?10n, де k і n підбирають таким чином, щоб коефіцієнти при поправках були близькі до одиниці. Маємо |

. | (2.109)

Про допустимі значення вільних членів умовних рівнянь

Для оцінки якості виміряних кутів проводять підрахунок граничних (допустимих) значень вільних членів умовних рівнянь.

При заданій довірчій ймовірності Р гранична помилка |

M=m · t, | (2.110)

де

m — середня квадратична помилка виміряних кутів;

t — коефіцієнт, який знаходять за виразом |

. | (2.111)

При достатньо великому числі вимірів n величину відповідно критерію Шовене находять за формулою |

. | (2.112)

Таким чином, знаючи величину можна знайти величину t за формулою (2.111). Для знаходження величини t існують спеціальні таблиці.

В реальних випадках при числі трикутників в тріангуляції 12–16 значення величини t коливаються незначно і t?2,5. На основі цього (2.110) буде |

. | (2.113)

Запишемо умовне рівняння для фігури |

. | (2.114)

Переходячи до нормального рівняння маємо |

, | (2.115)

де .

Із (2.155) маємо |

. | (2.116)

При вирівнювання повинна задовольнятися вимога |

. | (2.117)

Відомо, що |

. | (2.118)

Звідси |

. | (2.119)

Підставивши у формулу (2.119) замість m його граничне значення, отримаємо граничне значення вільного члена |

. | (2.120)

Зауважимо, що в мережі тріангуляції величину m можна вирахувати за формулою Фереро |

, | (2.121)

n — кількість трикутників.

При виведенні граничного значення вільного члена горизонту маємо |

. | (2.122)

Звідки |

, | (2.123)

де |

. | (2.124)

і |

. | (2.125)

В загальному випадку умовне рівняння полюсу має вигляд |

. | (2.126)

Нормальне рівняння |

(2.127)

і |

. | (2.128)

Для дирекцій них кутів умовне рівняння є |

. | (2.129)

Нормальне рівняння |

, | (2.130)

де .

З врахуванням цього |

. | (2.131)

Базисне умовне