. | (2.132)

Нормальне рівняння |

(2.133)

і |

. | (2.134)

Або з врахуванням помилок вихідних сторін маємо |

. | (2.135)

Координатні умовні рівняння мають вигляд |

(2.136)

або позначивши коефіцієнти при поправках відповідно А1, А2, ..., Аn маємо |

. | (2.137)

Звідки нормальне рівняння |

(2.138)

і |

. | (2.139)

З врахуванням помилок вихідних координат |

. | (2.140)

Аналогічно |

, | (2.141)

і |

, | (2.142)

де Ві — коефіцієнт при поправках в умовному рівнянні ординат.

Підрахунок числа умовних рівнянь

Розглянемо рис. 2.46. Нехай на місцевості зафіксовані дві точки А і В. З рисунку видно, що визначення положення Р1 достатньо виміряти два кути 1 і 2. відклавши величини цих кутів в пересіченні напрямків із пунктів А і В, знайдемо положення пункту Р1. Вимір кута 3 в пункті Р1 буде надлишковим і це призводить до виникнення умови фігури. Для знаходження наступної точки, Р2 необхідно виміряти два кути (4, 5) в пунктах А і Р1. За методом, наведеним вище, отримаємо положення пункту Р2.

Вимір кута 6 в пункті Р2 є надлишковим. Таким чином, якщо в мережі число всіх вимірів N, де n — число всіх пунктів мережі кількість умовних рівнянь (надлишкових вимірів) S буде: |

. | (2.143)

Рис. 2.46. Мережа з надлишковими вимірами

Якщо в мережі буде е число надлишкових вихідних даних, то |

. | (2.144)

Методика розв’язування умовних рівнянь способом найменших квадратів розглядується в курсі “Математична обробка геодезичних вимірів”. Ми лиш зупинимось на оцінці точності вирівняних величин.

Оцінка точності вирівняних величин

Для оцінки точності мережі тріангуляції обчислюють середню квадратичну помилку кута, вага якого прийнята за одиницю. З метою оцінки точності окремих елементів мережі складають вагові функції для цих елементів. Як правило, вагову функцію складають для найбільш “слабшого” елементу мережі. Таким найбільш “слабшим” елементом є елемент найбільш віддалений від вихідних пунктів. Розглянемо мережу тріангуляції (рис. 2.47).

Рис. 2.47. Рисунок для складання вагової функції

Нехай виміри на всіх пунктах мережі є рівноточними. Оцінимо найбільш “слабшу” сторону. Такою стороною в даному випадку є сторона CD. Вагова функція для цієї сторони буде |

. | (2.145)

За формулою |

(2.146)

знаходять обернену вагу.

В даній формулі f, a, b відповідні коефіцієнти при поправках вагової функції першого та другого умовних рівнянь.

Середню квадратичну помилку одиниці ваги вираховують за формулою |

, | (2.147)

де v — поправки в результати вимірів,

r — кількість умовних рівнянь.

Тоді середню квадратичну помилку сторони CD вираховують за виразом |

. | (2.148)

На практиці від абсолютної помилки переходять до відносної |

. | (2.149)

Параметричний метод вирівнювання

Суть параметричного методу вирівнювання полягає в тому, що безпосередньо із результатів вирівнювання знаходять поправки в деякі величини, які називають параметрами. Як правило, при вирівнюванні планових геодезичних мереж в якості параметрів приймають координати невідомих пунктів. Таким чином, із процесу вирівнювання знаходять поправки до наближених координат невідомих пунктів. Зауважимо, що координати невідомих пунктів повинні бути напере відомі. Маючи поправки в координати, по відомим формулам стає можливим знайти при потребі поправки в результати вимірів.

В параметричному методі поправку в кожний вимір представляють як функцію поправок в координати пунктів, які зв’язує даний вимір.

Найбільш поширеними геодезичними вимірами є напрямки та їх похідні кути, а також довжини ліній.

Параметричні рівняння поправок

Параметричне рівняння поправок для напрямків.

Розглянемо рис. 2.48 Нехай на пункті Р проводять вимір напрямків Нехай нульовий штрих лімба займає напрямок РО. Через пункт Р проведемо лінію РS паралельну осьовому меридіану зони, в якій виконують виміри. Таким чином, кут між напрямком РS і напрямком на будь-який пункт, (А, В, ..., К) буде представляти собою дирекційний кут даного напрямку.

Кут між лінією РS і напрямком РО нульового штриха лімба позначають ZP. Кут ZP називають орієнтуючим. Звідси, орієнтуючий кут є дирекційним кутом нульового штриха лімба.

Рис. 2.48. Орієнтуючий кут та виміряні напрямки

Якщо до кожного виміряного напрямку додати значення орієнтуючого кута ZP, то отримують значення напрямків , які називають орієнтованими. Таким чином, можна записати |

, | (2.151)

де

— поправки в виміряні напрямки ;

— наближене значення орієнтуючого кута;

— поправка в орієнтуючий кут.

Наближене значення орієнтуючого кута можна отримати за формулами |

, | (2.152)

де — наближені значення дирекційних кутів напрямків
РА, РВ, ..., РК.

Із визначення орієнтованого напрямку слідує, що після вирівнювання . Якщо врахувати, що поправка в наближений дирекційний рівна . З врахуванням системи (2.151) можна записати |

, | (2.153)

Або в загальному вигляді |

. | (2.154)

Із рівняння (2.154) маємо |

, | (2.155)

де |

. | (2.156)

Виразимо поправку в дирекційний кут через поправки в координати пунктів. Для цього використаємо формулу |

, | (2.157)

де — наближені координати пункту І;

— наближені координати пункту Р.

Диференціюючи рівняння отримаємо: |

. | (2.158)

Або |

. | (2.159)

Звідси |

. | (2.160)

Введемо позначення |

. | (2.161)

При підрахунку коефіцієнтів сторони виражають в кілометрах, а поправки в координати визначають в дециметрах.

З цією метою водять величини |

. | (2.162)

Переходячи від диференціалів до кінцевих приростків, з врахуванням (2.161) та (2.162) формула (2.155) прийме вигляд |

. | (2.163)

Можливі чотири випадки складання рівнянь виду (2.163):

спостереження ведуть з пункту, де відомі координати на пункт з невідомими координатами: |

; | (2.164)

спостереження ведуть з пункту, де невідомі координати на пункт, координати якого відомі: |

; | (2.165)

спостереження ведуть з пункту з відомими координатами на пункт, координати якого теж відомі: |

; | (2.166)

у випадку проведення спостережень з пункту, координати якого невідомі на пункт, координати якого також визначають, використовують формулу (2.163).

Параметричне рівняння поправок для кутів.

Нехай з пункту Р виходять