Приведення сторони на поверхню референц-еліпсоїда

Для приведення сторони на поверхню референц-еліпсоїда в довжину лінії S, приведену до горизонту і центрів пунктів, необхідно ввести поправку за формулою |

. | (4.17)

В цій формулі Hm — середня висота сторони над рівнем Балтійського моря, причому |

(4.18)

де H1 і H2 — висоти початку і кінця лінії S над рівнем моря,

Rm — радіус кривизни референц-еліпсоїда в середній точці m сторони S.

Для території України поправка завжди від’ємна.

Приведення сторони на площину в проекції Гаусса-Крюгера

Поправка за приведення сторони S на площину в проекції Гаусса-Крюгера обчислюється за формулою |

(4.19)

де Уm — віддаль середньої точки m сторони S від осьового меридіану,

Rm — радіус кривизни референц-еліпсоїда в точці m.

Ця поправка завжди додатна. Формули (4.17) і (4.19) виводяться в курсі “Основи вищої геодезії”.

Обчислення остаточного значення сторони S0

Остаточне значення сторони S0, за якою мають бути обчислені прямокутні координати пунктів трилатерації, необхідно обчислити за формулою |

. | (4.20)

Вирівнювання мереж трилатерації

Як і в тріангуляції та полігонометрії, вирівнювання мереж трилатерації може виконуватись корелатним або параметричним методами, в яких застосовуються принципи способу найменших квадратів, що вивчаються в курсі “Математична обробка геодезичних вимірів”. Тут ми зупинимося на процедурі вирівнювання мереж трилатерації і методиці складання умовних рівнянь в корелатному методі вирівнювання.

Корелатний метод

Процедура вирівнювання трилатерації полягає в наступному:

складанні рівнянь зв’язку, виражених залежністю між кутами та сторонами;

переході від рівнянь зв’язку до рівнянь поправок в кути;

заміні в отриманих рівняннях поправок в кути поправками в сторони;

переході від лінійних рівнянь поправок до нормальних рівнянь;

розв’язку нормальних рівнянь і знаходження поправок у виміряні значення сторін;

оцінці точності результатів вирівнювання.

Таким чином, одним з основних допоміжних етапів є заміна поправок в кути поправками в сторони. Для вирішення цієї задачі розглянемо рис. 7.

Рис. 7. Зв’язок між поправкою в кут і поправками в сторони

Нехай в даному трикутнику АВС виміряні сторони SAB=c, SBC=a, SAC=b.

Запишемо формулу |

. | (4.21)

Знайдемо частинні похідні .

Маємо |

(4.22)

Видно, що |

acsinB=2P, | (4.23)

де Р — площа трикутника АВС.

З іншого боку |

, | (4.24)

де hB, hA, hC — висоти трикутника, опущені відповідно з вершин кутів до сторін b, a, c.

Таким чином, рівняння (4.23) з врахування (4.24) можна записати |

. | (4.25)

З трикутника ВАМ слідує, що |

(4.26)

Звідси |

(4.27)

Із трикутника АМС |

(4.28)

Підставивши (4.24) та (4.28) в першу формулу системи (4.22) маємо |

(4.29)

Аналогічно із розгляду трикутників ВКС і АСК маємо |

(4.30)

(4.31)

Та

З врахуванням отриманих виразів (4.29)–(4.31) помилка в куті буде |

(4.32)

де VB, VA, VC – відповідно поправки в сторони b, a, c.

Умовне рівняння в геодезичному чотирикутнику

Рис. 8. Умовне рівняння геодезичного чотирикутника

Розглянемо геодезичний чотирикутник ABCD (рис. 12). Запишемо рівняння суми кутів у вершині D. Маємо рівняння зв’язку |

, | (4.33)

де в1=BDA; в2=BDC; в3=ADC.

Перейдемо від виразу (12) до рівняння помилок |

, | (4.34)

де Vi — поправки в кут і |

, | (4.35)

Тут вi — кут і вирахуваний за виміряними сторонами.

Підставивши у формулу (4.34) замість поправок в кути поправки в сторони, згідно формули (4.32) отримаємо |

(4.36)

Після приведення коефіцієнтів при однакових поправках в кути маємо |

(4.37)

В приведених формулах (4.36) і (4.37) — відповідно висоти трикутників опущені з вершини D на сторони AB, BC та AC.

Умовне рівняння в центральній системі

Нехай в центральній системі (рис. 9) виміряні всі сторони. Тоді стає можливим вирахувати всі кути у вершині Оі та скласти рівняння зв’язку

Рис. 9. Умовне рівняння в центральній системі |

(4.38)

Звідси умовне рівняння центральної системи буде |

, | (4.39)

де |

, | (4.40)

Тут в1, в2, в3 — обчислені за виміряними сторонами кути.

Виразимо поправки V1, V2, V3 через поправки в сторони за формулою (4.32). Маємо

або |

(4.41)

Ще раз зауважуємо, що розв’язування умовних рівнянь та оцінка точності вирівняних величин здійснюється, як і в тріангуляції та полігонометрії, способом найменших квадратів, який вивчається в курсі “Математична обробка геодезичних вимірів”.

Список рекомендованої літератури

1. Інструкція з топографічного знімання у масштабах 1:5000, 1:2000, 1:1000 та 1:500. Київ: ГУГКіК, 1999.

2. Инструкция по нивелированию I, II, III и IV классов. — М.: «Недра», 1990.

3. Інструкція про типи центрів геодезичних пунктів (ГОНТА – 2.01,
02–01–93). — К.: ГУГКіК, 1994.

4. Основні положення створення Державної геодезичної мережі України. Затв. пост. Кабміну України від 8.06.98 № 844.

5. Руководство по топографическим съемкам в масштабах 1:5000, 1:2000, 1:1000, 1:500. Высотные сети. — М.: «Недра», 1976.

6. Селиханович В.Г. Геодезия. — М.: «Недра», 1981.

7. Справочник геодезиста (в двух книгах). — М.: «Недра», 1975.