Розрахунково-графічна робота

з дисципліни:

"Моделювання систем"

Варіант №27.

Завдання.

Визначити передавальну функцію замкненої системи згідно варіанту завдання по її структурній схемі і по заданим передавальним функціях її окремих ланок.

Дослідити дану систему на стійкість за критерієм Михайлова.

К1=0,5

К2=10

К3=15

К4=4

Т1=0,8

Т3=1

Т4=0,8

Т5=0,5

Розв’язок.

1. Щоб визначити передавальну функцію систему проводимо ряд перетворень:

Замінимо ланки W4(p) і W5(p) на одну Wе1(p)

Замінимо ланку W2(p) із зворотнім зв’язком на еквівалентну Wе2(p)

Замінимо ланки W3(p) і Wе1(p) на одну Wе3(p)

Замінимо ланки W1(p), Wе2(p) і Wе3(p) на одну W(p)

В одержану формулу підставимо значення

2. Дослідимо дану систему на стійкість за критерієм Михайлова.

1) З отриманої передавальної функції

запишемо характеристичний поліном

2) Зробимо заміну p=jw де j2 =-1

3) Запишемо отриманий вираз у вигляді дійсної і уявної частини

w | 0 | 1 | 2 | 3

P(w) | 1 | -19.7 | -33.8 | 102.7

jQ(w) | 0 | -5.1 | -114.6 | -432.9

4) Будуємо годограф Михайлова

1.1 ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧНИХ СИСТЕМ

Передавальна функція є первинним матеріалом для подальших розрахунків в тих випадках, коли властивості всіх елементів системи задані диференціальними рівняннями.

Часто процеси, що проходять в окремих ланках системи, недостатньо вивчені і одержати вихідні рівняння для них важко. В таких випадках доцільно використовувати частотні характеристики системи, їх можна не тільки побудувати за лінеаризованими рівняннями окремих елементів, але й знайти експериментально. Частотні характеристики дають можливість вивчати реакції системи на гармонійні впливи. Елемент системи може бути показаний у такому вигляді (рис. 4.1):

Xm – амплітуда вхідного сигналу; Ym – амплітуда вихідного сигналу;
– зсув фаз між ними

Рисунок 4.1 – Елемент системи автоматичного керування

Величина амплітуди вихідного сигналу залежить від амплітуди вхідного сигналу і від параметрів самої системи (рис. 4.2).

Якщо параметри системи невідомі, то відносне значення амплітуди і зсуву фаз залежать від частоти

.

Залежність називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а залежність фазо-частотною характеристикою (ФЧХ). Вигляд таких характеристик наступний (рис. 4.3):

Рисунок 4.2 – Графік зміни в часі вхідного x(t) і вихідного y(t) сигналів

Рисунок 4.3 – Загальний вигляд АЧХ і ФЧХ

Перевагою цих характеристик є те, що вони можуть бути одержані експериментальним шляхом. Для цього на вході системи повинен бути включений генератор Г, а на виході – аналізатор спектра АС. За допомогою АС на виході системи визначаються параметри вихідного сигналу .

На основі АЧХ і ФЧХ можна отримати характеристику системи, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). АФХ будується в комплексній площині (рис. 4.4).

В комплексній площині вектор цієї характеристики будується таким чином, що кут з горизонтальною віссю є (), а сам вектор – A(). Кінець вектора A() при зміні від 0 до описує траєкторію, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ).

Рисунок 4.4 – Амплітудно-фазова характеристика

Проекція вектора АФХ на дійсну вісь називається дійсною частиною АФХ. Проекція вектора АФХ на уявну вісь називається уявною частиною АФХ.

При побудові АФХ відкладається проти годинникової стрілки, якщо його значення додатне, і за годинниковою стрілкою, якщо його значення від'ємне.

Взаємозв'язок між АЧХ і ФЧХ може бути виражений наступним чином

.

Рисунок 4.5 – Елемент системи автоматичного керування

Переваги АФХ:

АФХ – це відношення зображення за Фур'є вихідної величини Y до зображення за Фур'є вхідної величини Х при нульових початкових умовах.

Оскільки

,

то

та

.

Тоді

.

Наприклад: Маємо передавальну функцію , треба побудувати АФХ.

Для того, щоб знайти АФХ, потрібно замінити нa .

.

Для того, щоб розділити дійсну і уявну частини, потрібно поміняти місцями складові в знаменнику і домножити чисельник і знаменник на спряжений вираз

.

Підставляючи значення від 0 до , будують логарифмічні частотні характеристики ЛЧХ. Для цього використовують вираз для АФХ, яка дорівнює

.

Прологарифмуємо цей вираз:

.

Рисунок 4.6 – АФХ, що відповідає передавальній функції

Майже завжди користуються не натуральним логарифмом, а десятковим, тоді використовують позначення .

Особливістю цих характеристик є те, що логарифмічну амплітудну і фазову характеристики будують в логарифмічному масштабі. При цьому користуються такими одиницями, як октава і декада.

Побудовані в логарифмічному масштабі характеристики називають діаграмами Боде.

Октавою називають відрізок осі , який міститься між довільним і подвоєним значенням .

Неважко побачити, що довжина цього відрізка дорівнює

.

Декадою називають відрізок осі , який міститься між довільним значенням і його десятикратним значенням

.

Наприклад: Елемент системи автоматики має передавальну функцію .

Знаходимо АФХ:

.

Даний вираз невигідний в зв'язку з тим, що в знаменнику знаходиться . Домноженням чисельника і знаменника на j знаходимо АФХ .

Побудуємо характеристику в логарифмічному масштабі. Для цього визначаємо АЧХ (рис. 4.7).

Рисунок 4.7 – Логрифмічна АЧХ

В зв'язку з тим, що по верхній осі значення відкладається в децибелах, то при підрахунку потрібно використати перетворення

.

Тоді рівняння логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАЧХ) можна записати у такому вигляді:

.

Використаємо це рівняння: нам потрібно побудувати саму характеристику. Для цього необхідно задатись різними значеннями :

Нехай:

Рисунок 4.8 – Логарифмічна ФЧХ

За видом ЧХ елементи ділять на:

Мінімальнофазові – це елементи і системи, у яких всі нулі і полюси передавальної функції мають від'ємні або нульові дійсні частини. Ці елементи створюють мінімальний додатковий зсув фаз.

Якщо є хоча б один додатний корінь, то це – немінімальнофазова система.

Часові, передавальні і частотні характеристики однозначно зв'язані між собою прямим і зворотним перетвореннями Лапласа і Фур'є. Ці взаємні зв'язки зведені в табл. 4.1.

Таблиця 4.1 – Взаємні зв'язки динамічних характеристик

Характеристики | h(t)