Перехідна h(t) | 1

Імпульсна (t) | 1

Передавальна W(p) | 1

Частотна W(j) | 1

1.2 ТИПОВІ ВХІДНІ СИГНАЛИ І
РЕАКЦІЯ НА НИХ ЛІНІЙНИХ ОБ'ЄКТІВ

Різноманітність умов роботи автоматичних систем визначає різноманітність сигналів і впливів у системі. В теорії керування прийнято користуватись певною класифікацією сигналів і типовими впливами. Залежно від закономірності зміни в часі сигнали розділяють на регулярні (детерміновані) та нерегулярні (випадкові).

Регулярні сигнали змінюються в часі за певним законом і можуть бути описані конкретною математичною формулою (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Регулярний сигнал

Нерегулярні сигнали змінюються в часі випадковим чином і не можуть бути подані у вигляді конкретної математичної формули (рис. 3.2).

Якщо значення регулярного або випадкового сигналу визначається в кожний момент часу, то такий сигнал називається неперервним (рис. 3.3).

Якщо значення сигналу задані лише в деяких проміжках часу, то такий сигнал називається дискретним (рис. 3.4).

При дослідженні автоматичних систем і їх елементів користуються стандартними сигналами, які називаються типовими впливами.

Рисунок 3.2 — Нерегулярний сигнал

Рисунок 3.3 — Неперервний сигнал

Рисунок 3.4 — Дискретний сигнал

Таблиця 3.1 – Типові вхідні сигнали

Назва
функції | Аналітичний
вираз | Графічне
зображення | Область
використання

1 | 2 | 3 | 4

Одинична ступінчата функція |

Функція Хевісайда |

х(t)=0 при t<0

х(t)=1 при t0 | Аналіз автоматичних систем: стабілізуючих, програмних, слідкуючих

Імпульсна одинична функція

(-функція) |

S= 1/=1 | Для аналізу систем, що працюють з ударним навантаженням

Одинична синусоїдальна функція |

Ії амплітуда повинна бути стандартна | В системі керу-вання з гармонійними збурю-ючими впливами в слідкуючих програмних системах стабілізації

Лінійний типовий вплив |

В системах з плавною зміною збурюючих впливів

Експоненціально-одиничний вплив |

Для досліджен-ня слідкуючих систем

1 | 2 | 3 | 4

Одиничний багатоступінчатий вплив |

Коли збурюючий вплив має ступінчатий послідовний характер

Ці впливи описуються простими математичними формулами і легко відтворюються при випробуванні систем.

Найбільш наочне уявлення про динамічні властивості елемента дає його перехідна функція.

Перехідною функцією називається зміна вихідної величини в часі після подачі на вхід одиничного ступінчатого впливу при нульових початкових умовах.

Перехідна функція задається графічно або формулою.

Рисунок 3.5 – Графічне зображення перехідної функції

Формульний вираз перехідної функції можна одержати, якщо розв'язати диференційне рівняння при

.

Ці умови означають, що вихідна величина і її похідні до -го порядку безпосередньо перед подачею вхідного впливу рівні 0.

Перехідна функція має дві складові: вимушену і вільну : .

Вимушена складова дає частковий розв'язок рівняння при ступінчатому впливі. Вона дорівнює усталеному значенню вихідної величини при

.

Вільна складова, знаходиться з розв'язку однорідного диференційного рівняння

,

де – корені характеристичного рівняння, – сталі інте-
грування, які залежать від початкових умов.

Для лінійних систем, крім принципу суперпозиції, справедливе загальне правило:

Реакція на неодиничний ступінчатий вплив дорівнює добутку перехідної функції на коефіцієнт а: . Другою динамічною характеристикою, яка використовується при аналізі системи, є імпульсна перехідна функція .

Імпульсною перехідною функцією називають зміну вихідної величини , яка виникає після подачі на вхід
-функції.

Якщо вхідний вплив являє собою неодиничний імпульс, то ординати вихідної функції будуть в а разів більші імпульсної перехідної функції

.

Імпульсна перехідна функція то зв'язана з перехідною функцією і дорівнює .

Перехідна функція може бути визначена і як інтеграл

.

Риcунок 3.6 – Графічне зображення імпульсної перехідної
характеристики

За допомогою імпульсної перехідної функції можна визначити реакцію елементів на вхідний вплив повільного вигляду. Існує зв'язок між вхідною і вихідною величинами в часі.

Цей зв'язок може бути встановлений за допомогою інтегралу згортки, або інтегралу Дюамеля

.

Наприклад: знайдемо функцію для елемента, який описується диференційним рівнянням

.

Усталене значення вихідної величини, тобто вимушена складова, досягається при і при . При цих умовах одержимо

,

або

.

Вільна складова

,

де р – корінь характеристичного рівняння

.

Тоді .

Враховуючи значення , одержимо

.

Шукаємо постійну інтегрування С.

При попереднє рівняння має вигляд

.

Тоді

Передавальні функції елементів і систем автоматики одержують на основі використання перетворень Лапласа.

Перетворенням Лапласа називається перетворення функції у функцію за допомогою інтегралу

.

Позначення: – пряме перетворення; – зворотне перетворення.

Перетворення Лапласа дозволяє перейти від дійсної змінної до комплексної змінної .

В математиці сформульовані наступні основні властивості перетворення, котрі застосовують в теорії автоматичного керування.

Таблиця 3.2 – Основні властивості перетворення Лапласа

Назва | Оригінал | Зображення

1. Лінійність | ах(р)

2. Правило диференціювання

3. Правило інтегрування

4. Зміна масштабу часу

5. Зміщення аргументу
оригіналу

6. Зміщення аргументу
зображення

7. Правило добутку зображень

8. Теорема про початкове
значення оригіналу

9. Теорема про кінцеве
значення оригіналу

Наприклад: Розглянемо зображення найпростіших функцій часу.

Таблиця 3.3 – Зображення найпростіших функцій часу

Функція | Х(t) | X(p)

1. -функція | (t) | 1

2. Ступінчата

3. Експонентна

4. Синусоїда

5. Косинусоїда

6. Степенева функція

Тепер елемент може бути показаний в такому вигляді:

X(t) – вхідна величина; Y(t) – вихідна величина

Рисунок 3.7 – Елемент системи керування

Залежність між вхідними і вихідними величинами описується диференційними рівняннями з постійними коефіцієнтами

Звичайно в реальних системах показник .

Припустимо, що

перетворимо це рівняння за Лапласом

.

Передавальною функцією лінійної стаціонарної автоматичної системи називається відношення зображення за Лапласом вихідної величини до зображення за Лапласом вхідної величини при нульових початкових умовах

,

.

Висновок: Для того, щоб знайти передавальну функцію лінійної стаціонарної системи, необхідно:

Наприклад: визначити лінійної стаціонарної системи, яка описується рівнянням: .

,

.

Перехідну функцію можна визначити на підставі співвідношень і .

,

,

.

Таким чином, щоб знайти вираз для , необхідно взяти зворотний вираз Лапласа від : . Якщо вхідний вплив -функція, то враховуючи,