курсова робота

по темі:

"рівняння та нерівності

вищих степенів"

план

1.Вступ;

2.Загальний вигляд многочлена:

·

· додавання та множення многочленів;

3.Ділення многочленів:

·

· метод невизначених коефіцієнтів;

· схема Горнера;

4.Теорема Безу;

5. Корені многочлена.Теорема Вієта;

6.Методи розв'язування алгебраїчних рівнянь та нерівностей вищих степенів:

·

· метод заміни змінних;

· інші методи розв'язування;

7. Рівняння та нерівності з параметрами;

8.Висновок.

1.Вступ.

Теорія многочленів-один з давніших розділів математики,що

розвивається в безпосередньому звязку з теорією алгебраЇчних рівнянь.Суттєвими для розвитку цих теорій стали три важливих подіЇ в світі математики.

У 1799р. німецький математик К.Гаус (1777-1855) довів

теорему яка носить назву "основноЇ теореми алгебри многочленів".

У кінці XVIII ст. французький математик Е.Безу (1739-1783)

сформулював і довів теорему про ділення многочленів з остачею.

Французький математик Ф.Вієт (1540-1603) встановив співвідношення між коренями та коефіцієнтами алгебраїчного рівняння.Це твердження ввійшло в математику як теорема Вієта і для квадратного рівняння відоме вам з курсу алгебри 8 класу.

У сучасній матемаиці многочленам належить значна роль.Так результати моделювання різних процесів засобами математики та комп'ютерної техніки часто приводять до рівнянь,розв'язування яких безпосередньо пов'язане з теорією многочленів.

Завдяки простоті аналітичного виразу многочлени знайшли широке застосування в наближених обчисленнях,оскільки будь-яку неперервну функцію на заданому відрізку можна наблизити многочленом так,щоб їх значення відрізнялось як завгодно мало.

Отже починаючи ще з середини XVI ст. почалось обгрунтоване вивчення многочленів.

-1-

2.Загальний вигляд многочлена.

Отже загальний вигляд многочлена такий:

P(x)=an x + an-1x + ...+a1x + a0. (1)

Вам уже відомо,що елементи an , a n-1 , ... ,a 0 , які входять у вираз (1),звичайно називають коефіцієнтами, а

an x , an-1x ,+ ...+a1x , a0-членами многочлена (1).Зокрема an x називають старшим членом, an -старшим коефіцієнтом многочлена.Для скорочення часто многочлени позначають P(X), Q(X), R(X) і т. ін.

Введено поняття рівності, суми і добутку многочленів.Нехай P(X) та Q(X) - два довільних многочлени.Ці многочлени вважають рівними(тотожно рівними) лише тоді, коли многочлен P(X) складається з тих самих членів, що й многочлен Q(X), крім членів з коефіцієнтами, що дорівнюють нулю(якщо такі члени є).Наприклад ,многочлени x + x + x і 0+ x + x + x +0*x рівні.Однак многочлени P(X)=x + x + x і Q(X)= x + x + x + x не є рівними, оскільки Q(X) містить член x ,який не входить до складу членів P(X).Многочлен

P(X)=0 лише в тому випадку, коли всі коефіцієнти P(X) дорівнюють нулю.Отже якщо многочлен P(X) не дорівнює нулю , то принаймі один з його коефіцієнтів повинен бути відмінним від нуля.Також многочлен (-P(X)) називають протилежним многочлену P(X), тобто такий многочлен , сума якого з многочленом P(X) дорівнює нулю.

Перейдемо тепер до дій додавання та множення многочленів.Нехай

-2-

P(X)=a0+ a1x + a2x + ... +an x ,

Q(X)= b0+b1x + b2x + ... +bm x

- два довільних многочлени. Під сумою P(X)+Q(X) будемо розуміти многочлен

d0+ d1x + d2x + ... +dk x,

де k є найбільше з чисел n і m, di=ai + bi ; при цьому якщо n > m, то слід вважати bm+1 = ... = bn= 0 , а

якщо n < m , то слід вважати: an+1 = ... = am = 0.

Під добутком P(X)*Q(X) розуміють многочлен

a0b0 +( a0b1+ a1b0 ) x+ ... + ( a0bk + a1bk-1 + ... + akb0)x + ... + anbmx ,

де ai =0 при i > n і bj=0 при j >m.

3.Ділення многочленів.

В арифметиці цілих чисел прийнято розкладати числа на прості множники.Наприклад, 385=5*7*11. Утеорії многочленів аналогічним є розкладання на нерозкладувані далі множники.Наприклад, 3x + 5x -2=(3x -1)( x +2).

Говорячи про дільники числа, ми маємо на увазі лише цілі або натуральні дільники. Дільниками многочленів з цілими коефіцієнтами також можуть бути многочлени з цілими коефіцієнтами.Будь-який многочлен з дробовими коефіцієнтами можна звести до многочлена з цілими коефіцієнтами, якщо винести за дужки спільний дробовий множник.

-3-

Якщо для многочленів Pn(X),Qm(X) і Kl(x), де n,m,l Є N - степені многочленів, виконується рівність Pn(X)=Qm(X)*Kl(x), n=m+l, то говорять, що кожний з многочленів Qm(X) і Kl(x) є дільником многочлена Pn(X) або , що многочлен Pn(X) ділиться націло на многочлени Qm(X) та Kl(x).Многочлен Kl(x) (Qm(X)) називають часткою від ділення многочлена Pn(X) на многочлен Qm(X) (Kl(x)).

Як на множині цілих чисел, так і на множині многочленів операція ділення націло не завжди виконується.Тому і для многочленів визначена операція ділення з остачею.

Поділити з остачею многочлен Pn(X) на многочлен Qm(X) (n>=m) означає знайти многочлени Kl(X) і Rk(X) такі, що здійснюється тотожна рівність

Pn(X)=Qm(X) * Kl(X) + Rk(X),

де 0 <= k <= m. Многочлен Kl(X) називається неповною часткою, а многочлен Rk(X) - остачею.

Теорема.Нехай?Pn(X) і Qm(X) - могочлени від x з дійсними коефіцієнтами і m<=n, n<>0.Тоді існують і єдині такі многочлени Kl(X) і Rk(X), що

Pn(X)=Qm(X)*Kl(X) + Rk(X).

Многочлени Kl(x) і Rk(X) однозначно визначаються многочленами Pn(X) і Qm(X).

ділення многочленів "кутом".

Ділення многочлена на многочлен, як і багатоцифрового числа на багатоцифрове, зручно виконувати способом, який дістав назву "ділення кутом".

-4-

Якщо в багатоцифровому числі відсутні одиниці деякого розряду, то вйого запису на відповідному місці ставиться нуль.Аналогічно, якщо в многочленах відсутні одночлени з деяким степенем x, то перед тим як ділити їх "кутом", слід ввести відповідні одночлени з нульовими коефіцієнтами.

Розглянемо цей спосіб на прикладі ділення многочлена x + x - 3x + 7x - 6 на тричлен x + 2x - 3 :

x + x