a0 a1 a2 a3

2 0 -5 3

2 2 -3

а=1 2 2 -3 0

Отже часткою є многочлен 2х + 2х - 3 , а остача від ділення дорівнює нулю. Тоді

2х - 5х + 3=(2х + 2х - 3)(х - 1).

-9-

2.Використовуючи схему Горнера поділимо многочлен P(X) на двочлен Q(X), якщо P(X)=6х + х - -20х + 12; Q(X)=х - 3

6 1 -20 12

18 57 111

3 6 19 37 123

Отже, P(X)=(6х + 19х + 37)(х - 3) + 123.

Кожного разу, поділивши многочлен Pn(X) на двочлен х - а і знайшовши остачу r , ми можемо скласти рівність

Pn(X)=(х - а)Kn-1(X)+ r ,яка є правильною і якщо х=а,тобто Pn(а)=r.

Цим самим доведено теорему Безу.

4.Теорема Безу.

Теорема Безу.Остача від ділення многочлена Pn(X) на двочлен х - а дорівнює значенню цього многочлена, якщо х=а,тобто Pn(а)=r.

Приклади.

1.Знайдемо остачу від ділення многочлена A(X)=х + 5х + 10х +15 на двочлен х+2.

Розв'язання.За теоремою Безу маємо r=A(-2)=7.

2.Обчислимо значення многочлена P(X)=2х - 4х - х + 1, якщо х=7.

Розв'язання. Згідно з теоремою Безу P(7) дорівнює остачі від ділення многочлена P(X) на х - 7. Для знаходження остачі доцільно скористатись схемою Горнераю.Остача від ділення даного многочлена на х - 7 дорівнює 23 962.Отже P(7)=23 962.

-10-

З теореми Безу випливають такі практично корисні твердження:

1.Щоб многочлен Pn(X) ділився на двочлен х - а, необхідно і достатньо, щоб Pn(а)=0.

2. При діленні многочлена Pn(X) на лінійний двочлен ах + b остача r=Pn(-b/a).

У теорії подільності многочленів важливою є подана далі теорема.

Теорема. Якщо многочлен Pn(X) ділиться на х - а і х - b, причому а<>b,то він ділиться на добуток( х - а)( х - b).

Доведення.Позначимо частку від ділення многочлена Pn(X) на х - а через Q(а).Тоді Pn(X)=(х - а)Q(а).Коли x=b, матимемо:Pn(b)=(b - a)Q(b )=0, бо за умови а<>b, то Q(b)=0, а це означає, що Q(х) ділиться на х - b.Позначивши частку від цього ділення через Q1(х),дістанемо Q(х)=( х - b)Q1(х).

Теорему доведено, і ,отже Pn(X)=(х - а)( х - b)Q1(х), тобто Pn(X) ділиться на добуток (х - а)( х - b).

5.Корені многочлена.Теорема Вієта.

З поняттям кореня квадратного тричлена ви знайомі з курсу алгебри 9 -го класу. Для квадратного тричлена і для многочлена n -го степеня це поняття однаковий зміст.

Означення.Число а називається коренем многочлена Pn(X), якщо Pn(а)=0.

Відповідно до теореми Безу справджується твердження: многочлен Pn(X) ділитьсяся на двочлен х - а тоді, коли число а є його коренем.

Щоб розкласти многочлен на лінійні множники, потрібно знати його корені.

-11-

Теорема Вієта для квадратного рівняння - окремий випадок загальнішого твердження, сформульованого для многочлена n -го степеня.

Теорема. Якщо х1, х2, ... , хn-корені многочлена

Pn(X)=a0x + a1x + ... + an,

то мають місце такі рівності:

х1 + х2 + ... + хn= -a1/a0;

х1х2 + х1х3 + ... + хn-1хn=a2/a0;

х1х2 х3 + ... + хn-2хn-1хn= -a3/a0;

...............................................................

х1х2 ... хn=(- 1)an/a0.

З останньої рівності теореми можна зробити такі практичні висновки:

1.Якщо многочлен Pn(X)= a0x + a1x + ... + an-1x + an має цілі коефіцієнти і a0=1, то раціональними коренями можуть бути лише цілі числа, що є дільниками вільного члена an.

2.Щоб раціональне число p/q (нескоротний дріб) було коренем многочлена Pn(X) з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число p було дільником вільного члена an, а число q -дільником старшого коефіцієнта a0.

Це дає можливість побудувати алгоритм знаходження раціональних коренів многочлена Pn(X).Реалізацію цього алгоритма проілюструємо на прикладі многочлена

P(X)=6х + 7х - 22х - 28х - 8.

-12-

Алгоритмічний Реалізація алгоритміч-

припис ного припису

1.Записати множину +(-)1; +(-)2; +(-)4; +(-)8;

дільників an (можливі

значення p).

2.Записати множину +(-)1; +(-)2; +(-)3; +(-)6;

дільників a0 (можливі

значення q).

3.Записати кілька +(-)1/2; +(-)1; +(-)2; +(-)4/3;

можливих коренів

виду p/q.

4.Cпособом підста- Коренями є: -1/2; 2; -2

новки відібрати коре-

ні многочлена P(X).

5.Понизити степінь Поділимо P(X) на х - 4

многочлена, застосо- 6х + 7х - 22х - 28х - 8 х - 4

вуючи схему Горнера 6х - 24х 6х+7х+2

або ділення " кутом". 7х + 2х - 28х - 8

7х - 28х

2х - 8

2х - 8

0

6.Якщо степінь частки Знаходимо корені рівняння:

не перевищує 2, то про- 6х+7х+2=0

цес знаходження коре- х1= -1/2; х2= -2/3.

нів зводиться до роз-

в'язування квадратних

або лінійних рівнянь;

якщо ні то слід пове-

рнутись до п.5.

-13-

Відповідь. Шукані корені многочлена: +2; -2; -1/2; -2/3.

Теорема.Будь-який многочлен степеня n >=1 3 комплексними коефіцієнтами має принаймі один комплексний корінь, тобто рівняння a0z + a1z + ... + an-1z + an =0, де всі ak , k=1,n - довільні комплексні числа і a0<>0,має принаймі один комплексний корінь.

Цю теорему називають основною теоремою алгебри, або теоремою Гаусса, за ім'ям німецького математика, астронома і фізика К.Гаусса.

6.Методи розв'язування алгебраїчних рівнянь та нерівностей вищих степенів.

Лінійні та квадратні рівняння завжди розв'язані, тобто корені цих рівнянь можна виразити через їх коефіцієнти за допомогою скінченної кількості дій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня та добування кореня.У цьому разі прийнято говорити, що рівняння розв'язне врадикалах. Так для коренів рівняння х + px + q=0 відомою є формула, що носить ім'я італійського математика Дж.Кардано(1501-1576):

x= -q/2 + q /4 + p /27 +

+ -q/2 - q /4 + p /27 .

Формулу розв'язування рівняння четвертого степеня винайшов учень Кардано Л.Феррарі(1522-1565).

-14-

Для алгебраїчних рівнянь вищих