В борнівському наближенні ми маємо справу з матричними елементами оператора , які побудовані з незбуреними одно електронними блохівськими функціями.

, (2.9)

де - періодичні функції з періодом гратки.

У представленні вторинного квантування оператор збурення, яке обумовлює потенціал деформації, має вигляд:

, (2.10)

оператори описують повздовжні фонони з хвильовим вектором , а - оператори електронів.

На величину накладаються обмеження. Існування електрон-фононної взаємодії (2.10)означає, що стан електрона з хвильовим вектором відсутності збуджених фононів не може бути точним власним станом системи – завжди буде існувати хмара віртуальних фононів, яка супроводжує електрон Фононна хмара змінює енергію електронів. Якщо число віртуальних фононів, які супроводжують електрон, порядку одиниці чи більше, то ми не можемо користуватись теорією збурень.

Рис. 1. – Поглинання (а) та випромінювання (б) електроном фонона.

Обчислимо ймовірність того, що за одиницю часу електрон з хвильовим вектором поглине фонон з хвильовим вектором . Початкову заселеність фононного рівня позначимо . Тоді

. (2.11)

де - збурення, обумовлене взаємодією з потенціалом деформації.

, (2.12)

де - швидкість поздовжньої звукової хвилі.

Ймовірність того, що за одиницю часу електрон з хвильовим вектором випустить фонон з хвильовим вектором буде пропорційна квадрату модуля матричного елемента

. (2.13)

За допомогою (2.11) – (2.13) можна визначити електронне загасання ультразвуку в напівпровідниках [5, 9.16].

2.2. Акустичне загасання в металах.

Розглянемо спочатку загасання повздовжніх фононів в газі вільних електронів при відсутності статичного магнітного поля. При звичайному методі розрахунку ймовірностей переходу припускається, що середня довжина вільного пробігу електрона всіх випадках велика в порівнянні з довжиною хвилі фонона . Інакше електронні стани уже не можна трактувати як плоскі хвилі або описувати їх блохівськими функціями. Тоді енергія електрона

, (2.14)

де - видовження,

а - енергія Фермі .

Член Гамільтона, який описує збурення, має вигляд [7]

. (2.15)

де - густина кристала.

Ймовірність того, що за одиницю часу фонон в стані /буде поглинутий

при розсіюванні на електроні, який при цьому перейде із стану в стан рівна

(2.16)

Після усереднення по ансамблю всіх електронів в тепловій рівновазі отримаємо

(2.17)

де - функція розподілу Фермі,

- швидкість звуку.

Аналогічно для ймовірностей випромінювання фонона можна записати

(2.18)

Використовуючи два останні співвідношення отримаємо рівняння

, (2.19)

де час релаксації фононів визначається виразом

(2.20)

Тут припускається, що для спіну допускаються дві орієнтації. Членом порядку в дельта-функції ми нехтуємо, оскільки <<cs. Суму по можна переписати в інтегральній формі

(2.21)

Таким чином для коефіцієнта , який характеризує загасання маємо

, () (2.22)

Це - загальний правильний результат для розглядуваної моделі. Тут середня довжина вільного пробігу електронів провідності з врахуванням всіх процесів, які мають відношення до явища, яке ми розглядаємо.

Електрони, що відповідають за процеси поглинання енергії, яка передається фононам, це головним чином ті електрони, компонента швидкості яких вздовж напрямку поширення фононів рівна швидкості фононів. Закон збереження енергії в цьому випадку має вигляд

, (2.23)

звідки, нехтуючи членом з , отримаємо

, (2.24)

де - компонента швидкості електрона в напрямку .

В іншому граничному випадку, коли довжина вільного пробігу мала, тобто коли , задача зводиться до обчислення загасання фононів, обумовленого в'язкістю електронного газу. Із акустики відомо [7, 9.16], що коефіцієнт поглинання енергії в газі у цьому граничному випадку

, (2.25)

де коефіцієнт в'язкості газу Фермі визначається за формулою

, (2.26)

де n – концентрація вільних електронів.

Тут припускається постійність часу електронної релаксації. Отже, ми маємо

() (2.27)

Цей результат рівний за порядком величини добутку (2.22) на . В цій же моделі електропровідність рівна

(2.28)

І тому ~. Це підтверджується експериментально [7].

2.3. Поздовжні фонони в металах. Трактування на основі рівняння переносу

Рівняння Больцмана дозволяє з єдиної точки зору розглянути поставлену вище задачу для будь-яких значень . При відсутності магнітних полів у наближенні, в якому припускається існування тільки одного часу релаксації, рівняння переносу має вигляд

(2.29)

Припустимо, що розсіювання електронів відбувається на домішках. Тоді є зміст вважати функцією рівноважного розподілу електронів в локальній системі координат, яка переміщується разом з локальною граткою. Ця суттєва обставина була детально розглянута Холстейном [7].

Якщо - швидкість локальної ґратки, то

(2.30)

енергія Фермі є зміненою фононами, оскільки локальна концентрація електронів змінюється за рахунок розтягів, які супроводжують поширення повздовжніх фононів. Електрони провідності намагаються екранувати флуктуації густини додатних іонів. Це означає, що електронна густина буде точно слідувати за розтягами ґратки. Запишемо концентрацію електронів у виді

.

Тоді

, (2.31)

де , ~.

Отже, покладаючи , отримаємо замість (2.29)

, (2.32)

звідки

(2.33)

Далі, для густини електричного струму маємо

. (2.34)

Вектор дифузії можна визначити з даної формули, враховуючи вираз для співвідношенням

, (2.35)

а для компонента тензора провідності отримаємо

. (2.36)

Вираз (2.34) є рівнянням збереження неперервності середовища.

Якщо , то, припустивши, що , можна взяти інтеграл (2.36) і отримати

, (2.37)

. (2.38)

При відсутності статичного магнітного поля недіагональні компоненти рівні нулю. В границі діагональні компоненти прямують до . Незникаюча компонента - це z-компонента, яка рівна

, (2.39)

і тому

. (2.40)

Електричне поле з'являється в результаті невеликої декомпенсації локального заряду. Можна записати

, (2.41)

де - повна густина струму, яка складається з двох частин-густини електричного струму і густини іонного струму (-е). Густина електричного струму задовольняє рівняння неперервності

=0; (2.42)

Рівняння Максвела, яке пов'язує , має вигляд

або

, (2.43)

і тому

. (2.44)

Для вивчення загасання поперечних фононів потрібне рівняння, яке пов'язує . Цей зв'язок можна знайти, комбінуючи рівняння Максвела для тої та припускаючи є=.

В результаті отримаємо

(2.45)

де - швидкість звуку,

с – швидкість світла.

Потужність, яка поглинається в