. (2.46)

Перший член у фігурних дужках описує омічні втрати електронів. Другий член описує потужність, яка передається електронами гратці в силу того, що електрони до розсіювання мають середню швидкість , а зразу після розсіювання - швидкість . Цей член досить суттєвий при високих частотах або при сильних магнітних полях.

Із рівняння неперервності для випадку повздовжніх хвиль маємо

, (2.47)

звідки, якщо опустити індекси z і j, Е і u випливає (2.40). Дійсно

, (2.48)

Цей результат повинен узгоджуватись з рівнянням Максвелла (2.44). Виключаючи Е і використовуючи (2.44) для випадків і , отримаємо

. (2.49)

В цьому граничному випадку повний струм j можна наближено вважати зникаюче малим. Величину електричного поля Е можна визначити, підставляючи (2.49) в (2.48) і отримаємо

. (2.50)

Якщо в цьому наближенні знехтувати членом, що характеризує зіткнення, то для величини розсіючої потужності ( на одиницю об'єму) отримаємо

, (2.51)

звідки, використовуючи означення для і рахуючи дійсною величиною (1 ), знаходимо

. (2.52)

Коефіцієнт загасання рівний (за означенням) розсіюючій потужності (на одиницю об'єму), віднесеної до одиниці потоку енергії, тобто

, (2.53)

де р - звичайна густина

Отже, для повздовжніх хвиль отримаємо результат Піппарда для а , а саме

. (2.54)

2.4. Заїдання поперечних хвиль в металах.

Для поперечних хвиль локальна швидкість решітки перпендикулярна до хвильового вектора фонона. Нехай вектор швидкості напрямлений вздовж осі х, а вектор - вздовж осі z. Для поперечних хвиль флуктуації густини ПІ відсутні. Густина струму вздовж осі х

(2.55)

повинна задовольняти рівняння Максвела у виді (див. (2.45))

(2.56)

Виключивши Е, отримаємо

, (2.57)

де член дуже малий. Тоді величина практично рівна , де - довжина акустичної хвилі, а - товщина класичного скін-шару. В межах частот, нижче мікрохвильових, звичайно , і тому

(2.58)

і

, (2.59)

звідки

(2.60)

Отже, із (2.38) при «1 (граничний випадок) отримаємо для коефіцієнта загасання хвиль зсуву

, (2.61)

де . (2.62)

Розділ 3. Низькотемпературне поглинання ультра- і гіперзвуку в металічному і квантовому дроті.

3.1. Модель квантового дроту.

Розглянемо теоретично поглинання ультразвуку досить високих частот у квантових дротинах, коли середня довжина вільного пробігу електрона є значно більшою за довжину акустичної хвилі , тобто . Цей випадок вимагає квантового розгляду загасання звуку, як процесу, пов'язаного з поглинанням і народження електроном фононів - квантів ультра- і гіперзвукової хвилі.

В досліджуваній моделі квантового дроту покладаємо, що оператор Гамільтона для окремого електрона має вигляд:

(3.1)

де d- товщина дротини, паралельної осі х, - константа осциляційного потенціалу з частотою вздовж осі у; - ефективні маси електрона у відповідних напрямках, довжина дротини L>>d.

3.2. Матричний елемент електрон-фононної взаємодії у квантовому ???.

Гамільтоніан взаємодії електрона з' акустичним фононом ультразвуку частоти і хвильовим вектором визначається для одновимірного дроту виразом:

(3.2)

де ,

де - енергія Фермі; s - швидкість звуку; М - маса дротини; - оператор знищення фонона; - оператор народження фонона; - середня довжина вільного пробігу електрона.

Повний оператор Гамільтона системи "електрон+фонон" дорівнює:

, (3.3)

де - вважаємо збуренням.

Хвильова функція, незалежна від часу, для електрона квантового дроту у незбуреній задачі є розв'язком стаціонарного рівняння Шредінгера:

(3.4)

де

(3.5)

- хвильова функція гармонічного осцилятора в основному стані з енергією ,

, , (3.6)

Енергія системи запишеться в цьому випадку наступним чином:

, (3.7)

Для хвильової функції - невзаємодіючих електрона дроту і фонона ультразвуку маємо рівняння

, (3.8)

, (3.9)

- хвильова функція фонона з числом заповнення фононної моди. При взаємодії електрона з фононом ультразвуку вважатимемо, що змінюється тільки стан неперервного спектра електрона при поглинанні або випромінюванні фонона: . Матричний елемент оператора збурення при поглинання фонона

, (3.10)

де

(3.11)

(3.12)

При підстановці в (3.11) виразу для хвильової функції (3.5) отримаємо

(3.13)

Легко побачити, що

(3.14)

є символом Кронкера. Інтеграл

, (3.15)

де виконується, що n=1,2,3, ... (обчислення інтегралів (3.15) і (3.16) дивіться у Д. 3).

(3.17)

Аналогічно обчислюється матричний елемент при випромінювання фонона

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

3.3 Ймовірність квантових переходів. Основне кінетичне

рівняння.

Ймовірність переходу електрона за одиницю часу з поглинанням фонона (ультра- або гіперзвуку) визначається відомою формулою нестаціонарної теорії збурень :

(3.22)

де (3.23)

Враховуючи (3.11) можемо записати:

(3.24)

Аналогічно для ймовірності квантового переходу електрона з випромінюванням фонона отримаємо:

, (3.25)

. (3.26)

Основне кінетичне рівняння [1] визначає зменшення числа фононів як різниця між числом поглинутих і випромінених фононів електронами:

, (3.27)

де вже враховано закон збереження квазіімпульсу електрон-фононної системи і дві можливі проекції спіна електрона;

(3.38)

- рівноважна функція розподілу електронів у дроті. Оскільки число звукових фононів , то рівняння (3.27) набуде більш простого вигляду:

(3.29)

3.4. Коефіцієнт поглинання ультразвуку

За означенням коефіцієнт поглинання ультразвуку дорівнює:

(3. 30)

звідки з урахуванням (3.29) маємо:

(3. 31)

1. Розглянемо спочатку наближений випадок, коли

Тоді

(3.32)

і коефіцієнт поглинання

(3.33)

тут ми зробили перехід від сумування до інтегрування, тобто вважаємо, що кх набуває неперервних значень:

(3.34)

Нехтуючи величиною отримаємо:

(3.35)

Враховуючи відому властивість дельта –функції [13]:

(3.36)

можемо легко про інтегрувати (3.35), в результаті чого маємо:

(3.37)

Для виродженого електронного газу, який описується статистикою Фермі-Дірака у випадку одномірного поступального руху

, (3.38)

де , - стала Больцмана, Т- абсолютна температура, - хімічний потенціал одновимірного електронного газу дроту.

- енергія вільної частинки.

Легко бачити, що

(3.39)

Знайдемо (3.28) з отриманого раніше значення для з (3.26)

(3.40)

Підставляючи ці результати у вираз для коефіцієнта загасання ультразвуку , отримаємо:

(3.41)

Отже, в кінцевому підсумку коефіцієнт загасання ультразвуку:

(3.42)

де: - лінійна густина маси дротини, [ r ] =г/см

(3.43)

Розглянемо важливий частинний випадок, коли звукова хвиля поширюється вздовж осі х дротини.

тоді

(3.44)

Оскільки

При низьких температурах

(3.45)

Тобто