в границі низьких температур загасання звуку електронами вздовж довжини квантової дротини (осі х) буде експоненціально малим, на відміну від випадку тривимірних систем, де воно є значним і відіграє основну роль. Отже, квантовий дріт може в принципі бути низькотемпературним звукопроводом. Слід зауважити також, що з (3.42) випливає осциляційна залежність коефіцієнта загасання a від товщини квантового дроту d (в напрямку осі z) і зменшення a за гауссівським законом від осциляторного поперечного розміру yo.
2. Загальний випадок
Розглянемо тепер більш загальний випадок, коли не можна вважати, що
і не виконується розклад z (3.32).
(3.46)
Введено нову величину, яка виражається через частоту звуку:
(3.47)
причому
(3.48)
Позначимо вираз, що не залежить від х-вих складових вектора :
(3.49)
В результаті після інтегрування в (3.46), маємо:
(3.50)
Tаким чином, коефіцієнт згасання:
(3.51)
(3.51a)
Для випадку, коли звукова хвиля поширюється вздовж осі х дроту
і коефіцієнт загасання виявляється рівним:
(3.52)
або (3.52a)
де (3.53)
Додаток
Д1. Енергія Фермі одновимірного електронного газу.
Умова нормування для функції розподілу Фермі-Дірака:
(Д 1.1)
де - повне число електронів.
Перейдемо до інтегрування:
(Д 1.2)
де (Д 1.3)
(Д 1.4)
Метод визначення даного інтеграла наведено в [8].
Розглянемо інтеграл:
(Д 1.5)
де (Д 1.6)
(Д 1.7)
; (Д 1.8)
введемо нову змінну:
. (Д 1.9)
Тоді інтеграл можна представити у виді:
(Д 1.10)
Розкладемо функцію в ряд Тейлора по степенях :
. (Д 1.11)
при (випадок низьких температур):
; (Д 1.12)
(Д 1.13)
Проведемо заміну змінних:
. (Д 1.14)
(Д 1.15)
У нових змінних інтеграл має такий вигляд:
. (Д 1.16)
З математичної фізики та теорії спеціальних функцій відомо, що інтеграл виду
є бета-функцією Ейлера.
Позначимо оператор диференціювання , тоді
, (Д 1.18)
. (Д 1.19)
.
За означенням бета-функція визначається через гамма-функції:
Розкладемо отриманий результат в ряд:
Підставимо у вираз для І(у)
,
Підставимо отримані результати в умову нормування:
введемо нову величину, що визначається так:
,
тоді
Звідки легко отримаємо:
(Д 1.32)
При (Д 1.32) можна розкласти в ряд, в результаті чого будемо мати:
, (Д 1.33)
. (Д 1.34)
Д 2. Константа електрон-фононної взаємодії для одновимірного електронного газу (метод потенціалу деформації).
. (Д 2.1)
. (Д 2.2)
Для одновимірного випадку
(Д 2.3)
(Д 2.4)
(Д 2.5)
(Д 2.6)
(Д 2.7)
У втривимірному випадку було б:
(Д 2.8)
(Д 2.9)
Д 3. Обчислення деяких інтегралів
(Д 3.1)
оскільки інтеграл Лапласа
. (Д 3.2)
=
(Д 3.3)
Оскільки n=1, 3, 5, ..., то цей результат можна записати так:
(Д 3.4)
РЕЗУЛЬТАТИ I ВИСНОВКИ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ
1. В даній роботі сформульовано модель квантового дроту, розташованого вздовж осі х, і з поперечними розмірами, обмеженими одновимірною потенціальною ямою з нескінченно високими стінками (вздовж осі z) і осциляторним потенціалом (вздовж осі у). Розглянуто вироджений електронний газ у квантовому дроті.
2. На основі квантово-механічного підходу визначено електронне загасання ультра- і гіперзвуку при низьких температурах, коли довжина вільного пробігу електрона значно перевищує довжину звукової хвилі.
3. Показано існування осциляційної залежності коефіцієнта електронного загасання від ширини потенціальної ями (вздовж осі z) і гауссового зменшення від амплітуди осцилятора у0.
4. Визначено температурну і частотну залежності коефіцієнта поглинання ультра гіперзвуку вільними носіями заряду при низьких температурах.
3’ясовано принципову можливість використання квантових дротів як низькотемпературних звукопроводів вздовж довжини дроту (в напрямку осі х).