Рис. 1.1. Виконання восьми-точкового ДПФ з використанням двох чотири-точкових перетворень

Розглянута схема може бути використана для розрахунку N/2-точкових перетворень. Кожна з послідовностей x1(n) та x2(n) розбивається на дві послідовності, які складаються з парних і непарних членів. Аналогічно N/2-точкові ДПФ можуть бути записані як комбінації двох N/4-точкових ДПФ.

Процес зменшення розміру від N до N/2, де N дорівнює степені числа 2, може бути продовжено до тих пір, поки не залишаться лише доточкові ДПФ.

Дослідження ефективності застосування різних кореляційних функцій для обробки вимірювальних сигналів

Отримані в процесі проведення експериментальних досліджень цифрові значення x(n), n = 0, ..., N–1 через інтервали часу D відповідають шумовому сигналу x(t), що утворюється при переміщенні газового середовища замірною ділянкою.

Вибіркова оцінка спектру для таких сигналів визначається за допомогою перетворення Фур’є оцінки автоковаріаційної функції:

, k = 0, 1, … M–1 (2.1)

де

cxx(m) — вибіркова оцінка автоковаріаційної функції (1.1).

Найчастіше використовують два способу обчислення автоковаріаційної функції.

Прямий спосіб полягає в обчисленні середнього значення добутків змінних, що утворюють вибірку (згідно (1.1)).

Непрямий спосіб оцінювання кореляційної функції грунтується на використанні співвідношень Віннера–Хінчина і потребує обчислення спочатку оцінки спектральної густини за допомогою швидкого дискретного перетворення Фур’є (ШПФ) і її подальшого оберненого перетворення.

Оцінка кореляційної функції знаходиться як обернене перетворення Фур’є оцінки спектральної густини.

В загальному випадку можна використати наступний алгоритм непрямого методу знаходження оцінки автокореляційної функції cxx(m), m = 0, 1, …, M–1, де M — максимальна затримка кореляції:

1. Нехай x(n) — N-точкова послідовність інформаційного сигналу. Сформуємо з x(n) L-точкову послідовність додавши до x(n) (M – 1) нулів.

2. Обрахуємо L-точкове ШПФ:

, k = 0, …, L–1 (2.2)

3. Обрахуємо L-точкове обернене ДПФ:

, m = 0, …, L–1 (2.3)

4. Тоді отримаємо шукану оцінку:

, m = 0, 1, …, M–1. (2.4)

Прямий спосіб простіший для програмування і зрозуміліший логічно з погляду основних визначень.

Переваги іншого підходу полягають у можливості суттєвого збільшення продуктивності обрахунків шляхом використання ШПФ.

Кількість обрахунків для реалізації прямого методу пропорційна добутку M·N. На відміну від цього, вищенаведена процедура потребує кількості обрахунків, що пропорційна L·log(L) = (N+M)·log(N+M).

Таким чином, для M = 512, N = 1536, L = 2048 (обґрунтування вибору значень M, N і L буде зроблено далі) коефіцієнт скорочення обрахунків (к.с.о.) становить:

. (2.5)

Основними перевагами використання автоковаріаційної функції cxx(m) (2.4) при обробці масивів цифрових значень x(n) (n = 0, 1, …, N–1) є те, що модель представляється в квадратичному просторі, досягається прийнятна точність при малих значеннях M, а при m = 0 вибіркова автоковаріаційна функція дорівнює дисперсії інформаційного сигналу cxx(0) = Dx.

До недоліків можна віднести складність алгоритму реалізації та необхідність центрування сигналу.

У випадку, коли реалізація електронних обчислювачів, що виконують операції множення, порівняно складна, стає необхідним розробка спрощених кореляторів на основі застосування інших кореляційних функції, серед яких слід виділити функції знакового (hxx), релейного (bxx), структурного (sxx), модульного (gxx) типів та функцію еквівалентних перетворень (zxx):

, (2.6)

де sign — операція формування знаку, виходячи з умов:

(2.7)

, (2.8)

, (2.9)

, (2.10)

, (2.11)

де , має зміст „менше з них” і визначається з умов:

(2.12)

Суміщений графік нормованих кореляційних функцій, отриманих експериментально в результаті обробки числових рядів, які є реалізаціями випадкового процесу (шуму), що утворюється при переміщенні вимірюваного середовища замірною ділянкою, подано на рис. 1.2.

Суміщений графік вибіркових спектральних оцінок Cxx, Hxx, Bxx, Sxx, Gxx, Zxx, що відповідає вказаним кореляційним функціям поданий на рис. 1.3.

Як можна побачити, за виключенням спектральної оцінки, здобутої за допомогою функції еквівалентних перетворень, отримані результати вказують на те, що характер спектральної оцінки суттєво не відрізняється від типу використаної кореляційної функції, і стає важливим встановити залежність зміни спектральної характеристики від зміни величини витрати.

Встановлення такої залежності найбільш доцільно розглянути на прикладі знакової кореляційної функції. Завдяки простоті реалізації вона використовується для обробки швидких та над швидких процесів. При цьому квантування по рівню одного з сигналів зводиться до визначення його знаку, а операція множення реалізується шляхом логічної обробки знаків центрованих значень відліків.

До основних переваг застосування знакової кореляційної функції (hxx) відноситься нормованість результату обчислення, мінімальний об’єм пам’яті для зберігання вибірки.

Рис. 1.2. Суміщений графік нормованих кореляційних функцій
cxx, hxx, bxx, sxx, gxx, zxx шумового акустичного сигналу

Рис. 1.3. Суміщений графік вибіркових спектральних оцінок
Cxx, Hxx, Bxx, Sxx, Gxx, Zxx шумового акустичного сигналу

До недоліків — порушення спектру за рахунок знакової операції, а також низьку точність представлення результатів при малих інтервалах спостереження, що призводить до збільшення об’єму вибірки.

Залежність спектральної характеристики Hxx, при використанні знакової кореляційної функції, від витрати газу, отриманої на основі експерементальних досліджень шумів контрольованого середовища, проведених на стаціонарній установці дзвонового типу ІВФ „Темпо”, (свідоцтво про повірку №113), для витрат від 1,0 до 11,0 м3/год, діаметр умовного проходу 30 мм, робочий тиск 114,0 мм водяного стовпа, робоче середовище — повітря подано на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Залежність спектральної характеристики Hxx
від величини витрати газу (повітря)

На основі обчислення дисперсії шумових сигналів за отриманимми спектральними характеристиками побудовано