Рис. 1.5. Залежність дисперсії в смузі частот 2000–3000 Гц
від величини витрати газу (повітря)

Як видно з рис. 1.5, залежність енергії випадкових процесів (шумів) потоку газу, що отримана при обробці інформаційного потоку вимірювальної інформації за допомогою знакової автокореляційної функції, від величини витрати можна з достатньою точністю описати за допомогою степеневої, експоненціальної або поліномної функції.

Таким чином розглянуті кореляційні функції є рівноцінні, що дозволяє використати їх для обробки вимірювальної інформації в методі вимірювання витрати з використанням спектральних оцінок. Доцільно зазначити, що найефективнішою з погляду реалізації є знакова кореляційна функція, яка не потребує значних обчислень, та мінімізує залежність від апаратного забезпечення.

1.3. Вибір форми згладжуючого вікна для обробки
інформаційних сигналів

Дискретні реалізації інформаційного сигналу x(n) є типовим прикладом часових рядів, до не може бути застосований класичний аналіз Фур’є. Це зумовлене тим, що оцінка спектру, яка отримана за формулами перетворення Фур’є (2.1), а саме вибірковий спектр, не є прийнятною оскільки має ту небажану властивість, що її дисперсія не зменшується при збільшенні довжини часового ряду.

За допомогою згладжування вибіркового спектру можна отримати покращену оцінку спектру. Чим сильніше згладжування, тим менше дисперсія оцінки, однак при цьому зростає її зміщення, що зумовило проведення дослідження впливу різних кореляційних вікон на згладжування оцінок спектральних характеристик випадкових процесів, які утворюються вимірюваним середовищем при його протіканні замірною ділянкою.

Стандартний підхід до зменшення дисперсії оцінки спектру, запропонований Бартлеттом, полягає в усереднені декількох незалежних оцінок. При такому підході N-точкову послідовність x(n) розділяють на K відрізків по U вибірок в кожній і обчислюють періодограми для кожного відрізку. Згладжена оцінка спектру визначається шляхом усереднення отриманих періодограм.

В загальному випадку математичне очікування такої оцінки дорівнює згортці істинного спектру сигналу з перетворенням Фур’є трикутного вікна, що відповідає U-вибірній періодограмі при U = N / K. Також показано, що дисперсія цієї оцінки обернено пропорційна числу усереднених періодограм, і при збільшенні K прямує до нуля.

У вищеописаній процедурі дисперсія спектральної оцінки зменшується за рахунок погіршення спектральної роздільної здатності, яка зменшується через використання більш коротких відрізків вибіркової послідовності.

Інший підхід полягає у згладжуванні періодограми шляхом її згортки із спектральним вікном підходящої форми. В часовій області це еквівалентно добутку кореляційної функції на кореляційне вікно.

Метод згладжування оцінки полягає в пропусканні теоретичного спектру Гхх(f) через фільтр з відгуком на одиничний імпульс W(f). Згладжена вибіркова оцінка спектру, дисперсія якої буде менша за оцінку (2.1), для дискретного часу прийме вигляд:

(2.13)

w(m) — кореляційне вікно з точкою відсікання U.

Перетворення Фур’є від кореляційного вікна w(u) дає спектральне вікно W(f):

, (2.14)

Для того, щоб згладжена оцінка спектру була парною функцією при дійсних значеннях x(n) кореляційне вікно w(u) повинно бути парною функцією. До того ж, спектр потужності є невід’ємною функцією частоти, отже, для того щоб так само була невід’ємною функцією достатньою, але явно не необхідною, умовою є W(f) >=0.

Серед кореляційних вікон, що широко застосовуються на практиці в спектральному аналізі, можна виділити прямокутне вікно, вікна Бартлетта, Тьюкі, Парзена та ін. Графіки вказаних кореляційних вікон w(u) наведені на рис. 1.6, графіки перетворень Фур’є цих кореляційних вікон, тобто спектральні вікна W(f), наведені на рис. 1.7.

Рис. 1.6. Графіки кореляційних вікон w(u)

Рис. 1.7. Графіки спектральних вікон W(f)

Спектральні характеристики шуму повітря при його протіканні замірною ділянкою Ж50 мм для витрати 3,9 м3/год, згладжені різними спектральними вікнами, подано на рис. 2.7.

Як можна побачити з рис. 1.8, оцінка, отримана з використанням прямокутного кореляційного вікна, має більше зміщення і більшу дисперсію в порівнянні з оцінками, отриманими при використанні інших вікон. Це обумовлено великим розміром бокових пелюсток спектрального вікна. Зміщення і дисперсія оцінок, отриманих за допомогою вікон Бартлетта, Тьюкі і Парзена мають приблизно однакові зміщення і дисперсію, отже вони всі можуть бути використані в процесі обробки шумових даних.

Рис. 1.8. Спектральні характеристики шуму вимірюваного середовища для витрати 3,9 м3/год, згладжені різними спектральними вікнами.

З отриманих результатів можна побачити, що всі описані спектральні вікна мають прийнятну форму, і можуть бути використані для згладжування спектру для методу визначення витрати на основі зміни спектральних характеристик випадкових процесів, які генеруються вимірюваним середовищем.

Спектральне вікно WR(f), що відповідає прямокутному кореляційному вікну wR(u), слід відкинути із-за великого зміщення спектральної оцінки в порівнянні з іншими вікнами. Вибіркові оцінки, отримані за допомогою вікон WB(f) і WP(f), завжди невід’ємні, в той же час як за допомогою вікна WT(f) іноді можна отримати від’ємні оцінки, що є небажаним. Вікно WP(f) має менші бокові пелюстки ніж у інших, але воно більш широке, отже, щоб отримати задану смугу частот слід обрахувати більшу кількість коваріацій.

Таким чином найбільш доцільним, з погляду реалізації, є вікно Бартлетта WB(f), що дає невід’ємні значення оцінок спектру, а також має прийнятні зміщення та дисперсію оцінок, найменшу смугу частот і не потребує для цього збільшення обрахунків коваріацій.

1.4. Планування параметрів спектрального аналізу для обробки вимірювальних сигналів

З метою отримання згладжених оцінок спектру інформаційних сигналів, виділення оптимальної довжини інформаційного блоку (вибірки), визначення точки відсікання згладжуючого кореляційного вікна, а також для оптимізації обчислень при реалізації енергетичної моделі методу вимірювання витрати на основі зміни статистичних характеристик контрольованого середовища доцільно здійснити планування параметрів спектрального аналізу.

Для отримання прийнятної оцінки спектру сигналу необхідно забезпечити виконання наступних вимог:

інтервал обрахунку D мінімізувати до величини, яка дозволяє оцінити спектр в діапазоні