, n = 1, 2, …, N. (1.1)

Для будь-якої точки (n = 1, 2, …, N), що належить інтервалу (0, Tp), де , ряд Фур’є, обрахований по всіх N значеннях реалізації, буде мати вигляд:

(1.2)

Коефіцієнти Aq і Bq будуть обраховуватись відповідно:

;

, (q = 1, 2, …, N/2 – 1); (1.3)

;

, (q = 1, 2, …, N/2 – 1).

Програма для розрахунку Aq і Bq має містити наступні операції:

визначення величини при фіксованих значеннях q і n;

обчислення і ;

обчислення і ;

обчислення суми для кожного з цих виразів при n = 1, 2, …, N;

збільшення аргументу q на одиницю і повторення всіх попередніх дій.

Такий спосіб обрахунків коефіцієнтів Aq і Bq потребує приблизно N2 операцій множення і додавання дійсних чисел і при великих N може виявитися непродуктивним і вимагати багато часу. Щоб суттєво знизити затрати машинного часу були розроблені і введені в практику інші способи обрахунків, які отримали назву «швидкого перетворення Фур’є» (ШПФ)

Перетворення Фур’є дійсної або комплексної функції x(t), заданої на інтервалі (0, T), являє собою величину:

(1.4)

або для дискретного випадку, n = 1, 2, …, N, коли для розрахунку функції X(t, T) беруться дискретні значення частоти

(1.5)

Перетворена послідовність дає на цих частотах складові Фур’є

, k = 0, 1, 2, …, N – 1. (1.6)

Для розрахунку Xk за цими формулами необхідно виконати N2 операцій множення і додавання комплексних чисел (одна така комплексна операція еквівалентна чотирьом операціям множення і додавання дійсних чисел). Таким чином, для достатньо великих Nпорядку 1000) пряме обрахування ДПФ потребує виконання надмірно великої кількості обчислювальних операцій.

Швидке перетворення Фур’є ґрунтується на представленні величини N у вигляді ряду співмножників (відмінних від одиниці) і виконанні звичайного перетворення Фур’є для більш коротких послідовностей, число членів в яких визначається відповідними співмножниками. Якщо N може бути представлено у вигляді добутку p цілих і більших за одиницю чисел:

(1.7)

то, послідовність Xk може бути ітеративно знайдена шляхом розрахунку суми p доданків:

Nr1 — перетворень Фур’є, кожне з яких вимагає операцій з дійсними числами;

Nr2 — перетворень Фур’є, кожне з яких вимагає операцій з дійсними числами;

…

Nrp — перетворень Фур’є, кожне з яких вимагає операцій з дійсними числами;

Таким чином, загальне число операцій над дійсними числами складає

(1.8)

В результаті використання ШПФ, а не стандартного отримуємо коефіцієнт скорочення обрахунків (к.с.о.)

(1.9)

На рис. 1.1. за допомогою направленого графа подано послідовність операцій при виконанні восьми-точкового ДПФ з використанням двох чотири-точкових перетворень. Незакреслені кружки в правій частині рис. 1.1 позначають операцію додавання/віднімання, причому верхній вхід відповідає сумі, а нижній — різниці. Стрілка позначає операцію множення на множник, що вказаний над стрілкою. Вхідна послідовність x(n) спочатку розбивається на дві підпослідовності x1(n) та x2(n) з парних і непарних членів x(n) після чого розраховуються відповідно їх перетворення X1(k) та X1(k), після чого отримують X(k).

Рис. 1.1. Виконання восьми-точкового ДПФ з використанням двох чотири-точкових перетворень

Розглянута схема може бути використана для розрахунку N/2-точкових перетворень. Кожна з послідовностей x1(n) та x2(n) розбивається на дві послідовності, які складаються з парних і непарних членів. Аналогічно N/2-точкові ДПФ можуть бути записані як комбінації двох N/4-точкових ДПФ.

Процес зменшення розміру від N до N/2, де N дорівнює степені числа 2, може бути продовжено до тих пір, поки не залишаться лише доточкові ДПФ.

Дослідження ефективності застосування різних кореляційних функцій для обробки вимірювальних сигналів

Отримані в процесі проведення експериментальних досліджень цифрові значення x(n), n = 0, ..., N–1 через інтервали часу D відповідають шумовому сигналу x(t), що утворюється при переміщенні газового середовища замірною ділянкою.

Вибіркова оцінка спектру для таких сигналів визначається за допомогою перетворення Фур’є оцінки автоковаріаційної функції:

, k = 0, 1, … M–1 (2.1)

де

cxx(m) — вибіркова оцінка автоковаріаційної функції (1.1).

Найчастіше використовують два способу обчислення автоковаріаційної функції.

Прямий спосіб полягає в обчисленні середнього значення добутків змінних, що утворюють вибірку (згідно (1.1)).

Непрямий спосіб оцінювання кореляційної функції грунтується на використанні співвідношень Віннера–Хінчина і потребує обчислення спочатку оцінки спектральної густини за допомогою швидкого дискретного перетворення Фур’є (ШПФ) і її подальшого оберненого перетворення.

Оцінка кореляційної функції знаходиться як обернене перетворення Фур’є оцінки спектральної густини.

В загальному випадку можна використати наступний алгоритм непрямого методу знаходження оцінки автокореляційної функції cxx(m), m = 0, 1, …, M–1, де M — максимальна затримка кореляції:

1. Нехай x(n) — N-точкова послідовність інформаційного сигналу. Сформуємо з x(n) L-точкову послідовність додавши до x(n) (M – 1) нулів.

2. Обрахуємо L-точкове ШПФ:

, k = 0, …, L–1 (2.2)

3. Обрахуємо L-точкове обернене ДПФ:

, m = 0, …, L–1 (2.3)

4. Тоді отримаємо шукану оцінку:

, m = 0, 1, …, M–1. (2.4)

Прямий спосіб простіший для програмування і зрозуміліший логічно з погляду основних визначень.

Переваги іншого підходу полягають у можливості суттєвого збільшення продуктивності обрахунків шляхом використання ШПФ.

Кількість обрахунків для реалізації прямого методу пропорційна добутку M·N. На відміну від цього, вищенаведена процедура потребує кількості обрахунків, що пропорційна L·log(L) = (N+M)·log(N+M).

Таким чином, для M = 512, N = 1536, L = 2048 (обґрунтування вибору значень M, N і L буде зроблено далі) коефіцієнт скорочення обрахунків (к.с.о.) становить:

. (2.5)

Основними перевагами використання автоковаріаційної функції cxx(m) (2.4) при обробці масивів цифрових значень x(n) (n = 0, 1, …, N–1) є те, що модель представляється в квадратичному просторі, досягається прийнятна точність при малих значеннях M, а при m = 0