Апроксимація характеристик активних фільтрів зводиться до вибору таких коефіцієнтів цих поліномів, які забезпечують найкраще наближення до бажаної амплітудно-частотної (АЧХ) або фазо-частотної (ФЧХ) характеристики фільтра.

Для таких фільтрів у смузі пропускання (СП) задається максимально допустиме значення постійної загасання Р, а в смузі загасання, починаючи з деякої частоти, – мінімально допустиме значення.

Розрахунок елементів фільтра виконують при нормованих параметрах низькочастотного (НЧ) прототипу з наступним переходом до потрібних параметрів та типу фільтра: фільтра верхніх частот (ФВЧ); смугових фільтрів (СФ) та смугозагороджувальних фільтрів (СЗФ).

Опір навантаження та внутрішній опір джерела вхідного сигналу приймають однаковим

Ом.

Граничне значення частоти приймається рівним одиниці, тобто вводиться відносна частота , – задана гранична частота.

.

р – максимально допустиме розрахункове загасання в смузі пропускання;

зад – задане значення постійної загасання в смузі затримування;

– відносна гранична частота;

– відносна частота cмуги затримування.

Задана АЧХ апроксимується поліномами Батерворта

або Чебишева

при

при

У фільтрів Батерворта постійна загасання рівномірно зростає із збільшенням частоти :

.

n – порядок фільтра (сумарне число індуктивних та ємнісних елементів).

Коефіцієнт 2 визначає нерівномірність характеристики у смузі пропускання і може бути визначений з попереднього виразу при та

,

де Р - задана нерівномірність в дБ.

Чим вище порядок фільтра n, тим більша крутизна АЧХ (рисунок 3.2).

Для фільтрів Чебишева характерна більша крутизна АЧХ у смузі затримування.

Постійна загасання

;

де поліном Чебишева

.

і при будь – якому

При та будь-якому n поліном .

На граничній частоті у фільтрів Батерворта та Чебишева однакові значення р (при рівних ).

У смузі пропускання характеристика фільтрів Чебишева має коливний характер з найменшими та найбільшими .

Число максимумів та мінімумів рівне n.

23.4 Нормування параметрів фільтрів

Нормування параметрів фільтрів здійснюють за опором та частотою:

– нормований опір;

– нормована дійсна частота;

Ro та о – нормуючі опір та частота.

Фільтр-прототип (ФП) – це фільтр нижніх частот з нормованими значеннями опору та частоти, рівними одиниці.

Нормовані опори , індуктивності , ємності вираховують за формулами :

Коефіцієнти денормування :

Дійсні параметри визначаються за формулами

23.5 Визначення нормованої частоти

Для ФНЧ

Для ФВЧ

Для СФ

Для РФ

fзр - частота зрізу смуги пропускання

f1 - гранична частота смуги пропускання ФНЧ та ФВЧ.

– коефіцієнт перетворення ширини смуги пропускання СФ в фільтр прототип (ФПНЧ).

f1 та f2 – граничні частоти СП СФ та РФ.

– середня геометрична частота СФ або РФ.

23.6 Визначення порядку фільтра

Порядок фільтра можна визначити розрахунком, задавшись

відношенням Uвих/Uвх на частоті f поза межами смуги пропускання при відомій граничній частоті fгр.

Для фільтра Батерворта існує залежність

,

звідки можна знайти n.

Тут - відносна частота.

Якщо порядок великий, то переходять до фільтра Чебишева, а якщо малий, то провіряють можливість використання фільтра Беселя, який найменше спотворює корисний сигнал у смузі пропускання і характеризується лінійною фазовою характеристикою.

Для фільтрів Батерворта при частоті затримування 3 (3 =3 дБ)

або ,

звідки ,

тобто

Для фільтра Чебишева

При 3 3 дБ. Визначення біля фільтра проводиться за наступними формулами:

а) Батерворта

б) Чебишева

,

або

– максимально допустиме послаблення в смузі пропускання.

3 – мінімально допустиме послаблення в смузі затримування

=f3 / f1 – нормована частота ФНЧ на границі смуги затримування.

Приклад:

Розрахувати порядок фільтра – прототипу.

Крутизна АЧХ 3 = 30 дБ/окт

3 = 1.5 дБ

Нормована частота

фільтр Батерворта

фільтр Чебишева

Якщо 3 = 3 дБ

фільтр Батерворта

фільтр Чебишева

Якщо 3 3 дБ, то нормуючу частоту розраховують за формулою

фільтр Батерворта

3 = 30 дБ/окт; 3 = 3 дБ

фільтр Чебишева

23.7 Активний фільтр нижніх частот (інтегратор)

Дана схема є простим однополюсним активним фільтром нижніх частот з шириною смуги пропускання

В часовій області, якщо Rзв=, дана схема використовується як інтегратор.

23.8 Активний фільтр верхніх частот - диференціатор

Дана схема є простим однополюсним активним фільтром верхніх частот з частотою зрізу

На високих частотах коефіцієнт підсилення наближується до значення

,

а на низьких частотах наближується до нуля.

При Rвх=0 ,

а

З одержаного виразу видно, що дана схема працює як диференціатор.

23.9 Структура фільтрів другого біля

Найбільш розповсюдженою структурою каскадних фільтрів є ланка з багатопетлевим зворотним зв’язком на базі інвертуючого операційного підсилювача (ОП).

Для простоти реалізацій ланок другого біля приймають:

для ФНЧ - R1= R2= R3= R; R4=1,5 R. (рисунок 3.6)

для ФВЧ -С1= С2= С3=С; R3=R2 (рисунок 3.7)

Для ФНЧ визначають розрахункову ємність

де fгр – гранична частота

Для ФВЧ визначають розрахунковий опір

Коефіцієнт передачі ланки приймають рівним К=1.

Значення С1, С2 для ФНЧ та R1, R2 для ФВЧ визначаються із співвідношень:

С1=m1CO;

С2=m2CO;

де коефіцієнти m1, m2 беруться із таблиці 3.1.

Реалізація фільтрів парного біля здійснюється каскадним увімкненням декількох ланок другого біля. Якщо потрібна сума порядків ланок є непарною, то при розрахунку фільтрів індекси m1, m2, m3 відносяться до однієї ланки третього порядку, а інші – до ланок другого порядку.

Таблиця 3.1 – Коефіцієнти поліномів mi

Порядок

фільтра | m1 | m2 | m3 | m4 | m5 | m6

Фільтр Беселя

1 | 1.00

2 | 1.00 | 0.33

3 | 1.19 | 0.69 | 0.16

4 | 0.51 | 0.21 | 0.71 | 0.12

5 | 0.76 | 0.39 | 0.12 | 0.64 | 0.085

6 | 0.35 | 0.15 | 0.4 | 0.12 | 0.59 | 0.063

Фільтр Батерворта

1 | 1.00

2 | 2.12 | 0.47

3 | 2.37 | 2.59 | 0.32

4 | 3.19 | 0.25 | 1.62 | 0.61

5 | 2.16 | 4.31 | 0.21 | 1.85 | 0.54

6 | 5.79 | 0.17 | 2.12 | 0.47 | 1.55 | 0.64

Фільтр Чебишева

1 | 1.96

2 | 2.73 | 0.33

3 | 4.21 | 5.84 | 0.16

4 | 10.75 | 0.094 | 4.45 | 0.80

5 | 6.96 | 16.56