Типова масова релейна САУ - це холодильник, кондиціонер, праска з терморегулятором. Але ми розглянемо систему управління газовим теплогенератором. Особливість системи відносно - це відносно малі значення величин, які характеризують управління, високі вимоги до економічності і ресурсу (5-10 років роботи) системи.

Лінеаризоване рівняння кутового руху об'єкта відносно однієї з осей координат (тверде тіло з малими штучними демпфуванням та пропорційним моментом) має наступний вигляд:

, (3.1)

де , , - параметри об’єкта - коефіцієнти диференційного рівняння, u(t) -управляюча дія, v(t) - збурююча дія.

Звичайно, використовується релейний регулятор з лінійним законом переключення:

(3.2)

де - параметри закону переключення, які розраховуються на основі вимог до якості регулювання.

Також в даній системі використало неоднозначну нелінійну характеристику - люфт, яка використовується в редукторі.

Розглянемо структурну схему електродвигуна (рисунок 3.1)

Рисунок 3.1 – Структурна схема електродвигуна

Всі елементи електродвигуна є лінійними, крім редуктора який має люфт. Запишемо рівняння лінійних елементів електродвигуна:

вимірювальний пристрій

(3.3)

фазочутливий підсилювач

(3.4)

підсилювач напруги

(3.5)

тиристорний перетворювач

, (3.6)

де , , - коефіцієнти передачі фазочутливого випрямляча, підсилювача і тиристорного перетворювана; , , - вихідні напруги фазочутливого випрямляча, підсилювача і тиристорного перетворювача.

Двигун постійного струму з незалежним збудженням описується рівняннями

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

, (3.11)

дe , - індуктивність і активний опір жирного кола; , , - струм якоря, ЕРС, швидкість двигуна; с - коефіцієнт пропорційності між ЕРС і швидкістю, а також між моментом і струмом якоря при незмінному потоці збудження; - момент статичного навантаження, приведений до вала двигуна; - сумарний момент інерції електродвигуна, приведений до вала двигуна.

Підставимо рівняння (3.9) в рівняння (3.7)

. (3.12)

Підставимо рівняння (3.10) та (3.11) в рівняння (3.8)

. (3.13)

Вводимо електромагнітну та електромеханічну сталі часу

(3.14)

(3.15)

Підставляємо в рівняння (3.12) та (3.13)

(3.16)

(3.17)

Або в операторній формі

(3.18)

(3.19)

Редуктор з люфтом описується рівнянням

(3.20)

Або в операторній формі

, (3.21)

де - передаточне число редуктора.

Рівняння неоднозначної нелінійної характеристики люфта

(3.22)

де і - кути повороту вихідної і вхідної осей редуктора; - величина люфту. Особливість цих характеристик є залежність вихідної величини не тільки від вхідної величини в даний момент часу, але й від напрямку змінювання.

При наївності люфту швидкість вихідного вала ОК під час зміни напрямку обертання дорівнює нулю, при коливаннях об’єкт періодично зупиняється на час, необхідний для вибирання люфту в редукторі.

Ця схема спрощується, При спрощення приймаємо . Ланки, що списують двигун замінюються однією ланкою з передаточною функцією

, (3.23)

де - коефіцієнт передачі двигуна і структурна схема буде мати вигляд (рисунок 3.2)

Рисунок 3.2 – Структурна схема електродвигуна (спрощена)

Передаточна функція системи

. (3.24)

Складаємо спрощену структурну схему електродвигуна

Рисунок 3.3 – Спрощена структурна схема електродвигуна

Проведемо розрахунки

.

.

.

.

.

.

.

.

Знаходимо електромагнітну та електромеханічну сталі часу

.

Тоді передаточна функції системи

Текст програми та результати подані в додатку А (для Control System Тoolbox), структурні схеми та графічне відображення в додатку В (для Simulink).

Ми описали та розглянули структурну схему електродвигуна, проте скомпонувати та описати систему теплогенератора в цілому громіздко, тому потрібно були йти на певні спрощенні та зміну деяких параметрів. Структурна схема цілої системи відрізняється суттєво від результатів розрахунків теплогенератора.

3.2 Математична модель об'єкта управління та дослідження його динаміки

Для побудова фазових траєкторій релейної САР в першу чергу необхідно розробити математичні моделі динаміки системи. Почнемо дослідження з самого об’єкта управління.

Структурна схема системи в цілому (рисунок 3.4)

Рисунок 3.4 – Структурна схема теплогенератора

Наведена двовимірна система регулювання напруги і частоти теплогенератора описується наступними рівняннями:

Рівняння турбіни як об’єкта регулювання швидкості обертання:

(3.25)

Рівняння генератора як об'єкта регулювання напруга:

(3.26)

Рівняння регулятора швидкості обертання:

(3.27)

Рівняння регулятора напруги:

(3.28)

Використані позначення:

- відносна зміна швидкості обертання;

- відносна зміна кута повороту соплового апарата;

- відносна зміна напруги на зажимах генератора;

- відносна зміна струму збудження;

- постійна часу теплогенератора;

- постійна часу кола збудження генератора;

- постійна часу регулятора швидкості;

- постійна часу регулятора напруги;

- електромагнітна постійна часу (зумовлена взаємоіндукцією кіл якоря та збудження генератора);

і - коефіцієнти підсилення регуляторів швидкості та напруги;

- коефіцієнт самовирівнювання теплогенератора;

- коефіцієнт залежний від режиму роботи та параметрів генератора.

Запишемо диференційні рівняння в нормальній формі.

(3.29-3.32)

(3.33-3.36)

Користуючись цими дифрівнянням складемо матриці:

Текст програми та результати подані в додатку А (для Control System Тoolbox), структурні схеми та графічне відображення в додатку В (для Simulink).

Для покрашення характеристик проводимо корекцію регулятора (синтез).

В найбільш простому випадку (залежить тільки від похибки), якщо - лінійна тоді .

- постійна величина, - коефіцієнт пропорційності.

Позначимо , тоді (далі х).

Такий закон називають пропорційним, а АР називають П-регулятором.

Переваги - надзвичайна простота. Проміжні елементи таких АР не містять коректуючих пристроїв та виконують тільки функції підсилення сигналу похибки та перетворення фізичної природи. На жаль, точність регулювання, яку забезпечують такі АР невелика, особливо для ОУ, які володіють поганими динамічними властивостями. В багатьох випадках застосування П-регуляторів призводить до виникнення та збільшенні статичної похибки.

Другий підхід до задачі регулювання полягає в тому, що в залежність від сигналу похибки ставиться не величина регулюючого впливу, а швидкість його зміни.

, (3.37)

Тоді

(3.38)

Інтегральний закон регулювання, а регулятор І-регулятором. Реалізується такий закон введенням в склад регулятора пристроїв, які здійснюють інтегрування вхідного сигналу (в багатьох випадках це звичайні виконавчі двигуни) І-регулятори використовують в цілях підвищенні точності CAP в сталих режимах. Однак, поведінка таких САР в перехідних режимах є незадовільною та