Рисунок 2.1 – Релейна система

Нижче передбачається, що релейний елемент може описуватися різними релейними функціями, зображеними на рисунку 2.2, де відповідно - вхідних сигнал релейного елемента; u - вихід реле; — зона нечутливості релейного елемента; - поріг відпускання релейного елемента; - поріг спрацювання релейного елемента; - ширина петлі гістерезису.

Релейним системам, як правило, властиві автоколивання. Дуже часто, якщо не вжити спеціальних заходів, амплітуди і періоди автоколивань вихідний або інших координат системи можуть виявитися неприпустимо великими. Зменшити амплітуди і періоди автоколивань можна шляхом використовування коректуючих ланцюгів і, зокрема, зворотних зв'язків навколо релейного елементу. Іншим способом є придушення низькочастотних автоколивань зовнішніми високочастотними коливаннями, коли в системі встановлюється режим вимушених коливань високої частоти. А оскільки лінійна частина системи — це звично фільтр низьких частот, то і амплітуди коливань виявляються малими, точніше допустимими.

Рисунок 2.2 – Основні релейні характеристики

а) - двохпозіційна ідеальна характеристика; б) - трьохпозіційна ідеальна характеристика; в) — двохпозіційне реле з додатним гістерезисом;

г) трьохпозіційне реле з додатним гістерезисом.

При обох способах доведення амплітуди і періодів коливань до допустимих значень релейна система набуває квазілінійних властивостей в тому значенні, що реакція системи на поволі змінні вхідні сигнали і збурення виявляється близької до реакції лінійних систем автоматичного регулювання. Абсолютно очевидно, що релейні слідкуючі системи, широко поширені на практиці, можуть бути тільки квазілінійними в наведеному значенні. Для квазілінійних релейних систем важливо одержати їх функції передачі. Це можна зробити двома шляхами:

1) розглядати релейну систему в "малому" як імпульсну лінійну систему і відповідно одержати імпульсну функцію передачі системи;

2) брати до уваги середнє за період значення виходу релейного елементу . В цьому випадку релейні функції (рисунок 2.2) перетворяться у функції близькі до лінійних. Цей ефект носить назву вібраційної лінеаризації.

Окрім того дослідження може відбуватися по обох шляхах, при цьому буде показано, що другий шлях є грубішим наближенням, ніж перший.

Порядок дослідження в першому випадку:

а) складаються початкові рівняння руху релейних систем у вигляді нелінійних рівнянь в кінцевих різницях;

б) досліджуються стаціонарні автоколивальні режими;

в) знаходиться рівняння першого наближення у вигляді лінійних рівнянь в кінцевих різницях. На основі цих рівнянь досліджується стійкість і знаходяться функції передачі.

Природним апаратом математичного опису функціонування релейних систем є апарат рівнянь в кінцевих різницях.

Рівняння в кінцевих різницях повинні дати можливість по відомих значеннях всіх змінних або координат системи при деякому перемиканні релейного елементу визначити момент п+1-го перемикання і всі значення координат при цьому перемиканні. Рівняння в кінцевих різницях, доповнені виразами для координат між моментами перемикання, є як найповнішим описом релейної системи.

Дослідження асимптотичної поведінки рішенні рівнянні в кінцевих різницях приводить до дослідження періодичних рішень рівнянь, тобто до вивчення автоколивальних режимів у релейних систем і їх стійкості. У автоколивальному режимі вихід релейного елементу є послідовністю знакозмінних прямокутних імпульсів (рисунок 2 3).

Рисунок 2.3 – Коливання на виході релейних елементів

а) - для однозначних релейних характеристик; б) - для характеристик з

петльою гістерезису.

Для релейних елементів (див. Рисунок 2.2 а і б) імпульси чергуються без пауз (рисунок 3.3 а)) і їх тривалість рівна натвперюду автоколивань . Для релейних елементів, зображених на рисунках 2.2 в і г, імпульси тривалості чергуються з паузами тривалості , де . Вихід лінійної частини в періодичному режимі є періодичною функцією, складеною з однакових участків кривої, яке є рішенням рівнянь лінійної частини системи.

Проте в загальному випадку для несталого режиму після деякого п-го перемикання тривалість імпульсу дорівнює після (п+1)-го відповідно т.д. У разі релейних елементів (див, рисунок 2.2 в і г), окрім того, міняється співвідношення між імпульсом і паузою.

Дослідження динамічних процесів в релейних системах в першу чергу доводять з метою вивчення автоколивальних режимів і можливостей їх виникнення, а при необхідності примушують релейну систему позбутися автоколивального режиму.

2.3 Побудова математичних моделей динаміки елементів САУ та CAP

Під моделюванням реальних явищ сьогодні розуміють реалізацію за допомогою комп'ютерів законів, які описують об'єкт дослідження, звичайно виражених математичною мовою, і експериментування з отриманою програмною моделлю.

Процес побудови моделей дуже складний і багатоплановий. Побудова моделей починається зі збирання фактів деякої області реальної дійсності, потім проводиться їхнє узагальнення, побудова схеми моделі – функціональної або структурної, яка включає у собі факти, які пояснюють описуючі факти.

Модель перевіряється на відповідність реальному явищу і, якщо така відповідність встановлена, отримана модель може бути використана для виявлення нових сторін досліджуваного об’єкта, явища.

Найбільш частіше використовуються математичні моделі - кількісні ікони, що описують функціонування досліджуваного явища, представлені, наприклад, у формі диференціальних чи інших рівнянь.

Тому одна з проблем, що виникають при реалізації програмно-математичної моделі - підбір методів рішення диференційних, кінцево-різнецевих або інших рівнянь, які описують систему.

Звичайно ці рівняння містять деякі невідомі чи відомі приблизно параметри об'єкта, константи, які можна одержати лише на основі вимірів реальних процесів напряму або побічно. Підбираючи параметри моделі об’єкта з умови найкращої відповідності (мінімальної похибки відхилення) модельних і реальних процесів, можна одержати найкращу, з точку зору поставленого завдання, модель. Похибка відхилення