2. Функція передачі. Дана характеристика визначається як співвідношення перетворень Лапласа вихідного і вхідного сигналів, так що з врахуванням властивостей даного перетворення і вище наведеної формули тримаємо:

. (2.5)

де L{*} - символ перетворення Лапласа, р - комплексна змінна.

3. Імпульсна характеристика w(t). Під w(t) розуміється реакція заздалегідь незбуреного об'єкта тобто об'єкта з нульовими початковими умовами) на вхідний сигнал в вигляді -функції.

4. Перехідна функція h(t). Це реакція заздалегідь незбуреного об'єкта на вхідний сигнал в вигляді одиничного стрибка.

З теореми управління відомі наступні співвідношення між цими характеристиками:

. (2.6)

При нульових початкових умовах зв'язок між вхідним і вихідним сигналами описується інтегралом згортки:

, (2.7)

або в операторній формі:

.

5. Частотні характеристики. Частотні характеристики об'єкта визначають його комплексним коефіцієнтом передачі , , який є Фур'є-перетворенням.

Модуль комплексного коефіцієнта передачі представляє собою амплітудно-частотну характеристику (АЧХ) об’єкта з передаточною функцією W(s), а аргумент - фазо-частотну характеристику (ФЧХ).

Графічне представлення на комплексній площині при зміні частоти w від 0 до тобто графік амплітудно-фазової характеристики (АФХ) в полярних координатах в вітчизняній літературі називається годографом, а в англомовній - діаграма Найквіста.

В теорії управління часто використовується логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ), рівна .

6. Модель для змінних стану. При виборі п координат системи (об'єкта) з якості змінних її стану (такими координатами наприклад можуть бути вхідний сигнал y(t) і п-1 його похідних) дану систему можна описати рівняннями для змінних стану:

(2.8)

де - вектор змінних стану; A,B,C,D при скалярних і y(t) - відповідно матриця розміром nm.

Застосування, при нульових початкових умовах, до останнього рівняння перетворення Лапласа дозволяє отримати наступні вирази для функції передачі:

,

де І - одинична матриця.

Слід відмітити, що всі вище наведені моделі є еквівалентними, тобто, знаючи будь-яку з них, можна отримати всі інші.

Для об'єктів, функціонування яких представлене для дискретного часу (в даному випадку Т - інтервал дискретизації), тобто для дискретні об’єкти описуються рівнянням (аналог диференціального):

, (2.9)

де .

Зв'язок між сигналами може бути зображений через дискретну згортку:

, (2.10)

де - ординати вагової решітчатої функції об'єкта, або з використанням Z-перетворення:

. (2.11)

де .

Через дискретну передаточну функцію

, (2.12)

яка визначається на основі різниці управління після використання до обох частин цього рівняння Z-перетворення:

.

Відмітимо, що Z-перетворення решітчатої імпульсної перехідної характеристики є W(z) тобто . На практиці в більшості випадків вимірювання неперервних сигналів, здійснюється в дискретні моменти часу, що зручно для подальшої обробки на ЕОМ. Тому дискретні моделі часто використовують при моделюванні та ідентифікації об'єктів САУ та САР, для обробки результатів використовують спеціальний аналізу і синтезу дискретних систем.

Можливі наступні способи переходу від неперервних моделей до дискретних.

1. З використанням Z-перетворення з наступним ланцюгом перетворень:

. (2.13)

2. З заміною різницями змінних в диференціальному рівнянні, який описує неперервний об'єкт:

(2.14)

(даний підхід задовольняє задану точність тільки при малих Т).

3. При заміні (наближений метод запропонований А. Тастіним який називається білінійним перетворенням), тобто

. (2.15)

Для дискретних об'єктів може бути використано опис через змінні стану:

(2.16)

перехідна функція і частотні характеристики такі як і для неперервних систем.

Вкажемо, що множник z =е є оператором затримки, тобто і т.д. беручи до уваги дані обставини і позначаючи дані моменти дискретного часу тим же символом t, що і неперервний час, приведемо декілька розповсюджених моделей дискретних об'єктів для часової області, враховуючи шум спостереження.

1. Модель авторегресії AR (Auto Regressive) - вважається найпростішим

де .

2. ARX-модель (Auto Regressive with External input) - більш складний:

або в розверненому вигляді

.

тут і нижче e(t) - дискретний білий шум, .

3. ARMAX-модель (Auto Regressive-Moving Average with external input - модель авторегресії скользящого середнього):

,

де nk - величина затримки (запізнення),

.

4. Модель "вхід - вихід"

,

де .

5. Так звана модель Бокса-Дженкінса:

,

поліном B(z), F(z), C(z) визначаються раніше,

.

6. Модель для змінних станів (State spase):

дe A, B, C, D - матриці відповідних розмірів, - корелюючий шум спостереження.

Можлива інша (оновлена, канонічна) форма представлення даної моделі:

де К - деяка матриця.

В загальному випадку оцінювання параметрів моделі заданої структури проводиться як зазначалося шляхом мінімізації вибраного критерію в якості моделі (найчастіше - середнього квадрата розузгодження виходів об'єкта і його моделі).

Розглянемо декілька можливих підходів до такого оцінювання.

Оцінювання параметричних моделей (метод прогнозу помилок - Predictive Error Method), скорочено РЕМ полягає в наступному. Нехай модель досліджуваного об'єкту має вигляд так званої спільної лінійної моделі:

при чому шум може бути представлений як

де e(t) - дискретний білий шум, H(z) - деякий поліном від z.

З даних виразів слідує, що

ю

При виборі в якості критерію (функції втрат) величини:

оцінки коефіцієнтів поліномів моделі можуть бути знайдені в результаті розв'язання наступних оптимальної задачі (в загальному випадку нелінійної):

.

Знаходження такого розв'язку (різноманітними числовими методами є нелінійної оптимізації), як правило, достатньо тяжке і трудомістко.

Відмітимо, що ще більш тяжкою є подібна процедура оцінювання параметрів моделі змінних станів. Проте для ряду власних моделей існують моделі оцінювання більш простого виду.

3 РОЗРОБКА АЛГОРИТМІЧНОГО І ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ МОДЕЛЮВАННЯ CAP

3.1. Аналітичні дослідження та розробка структурної схеми досліджуваної системи

Специфічною рисою релейних САУ та CAP систем - це недостатність аналітичних, точних методів дослідження, що обумовлене нелінійністю цих систем.

Вирішення задачі синтезу релейних САУ (CAP) більше базується на пошуку і виборі і менше - на розрахунку параметрів регулятора. Для синтезу релейних систем як базовий використовується метод фазової площини. По суті метод є графоаналітичним. Синтез релейної САУ з лінійним законом переключення зводиться до вибору параметрів ліній переключення. Цей вибір робиться так, щоб