На підставі аналізу структури заступної схеми (див. рисунок 1.3) можемо зауважити, що, наприклад, магнітний потік Ф8 = Ф5, а Ф9 = Ф6 (запишіть рівняння на підставі першого закону Кірхгофа для перетину [1], яких проходить через вітки 5 та 8). Якщо ж записати рівняння на підставі другого закону Кірхгофа для другого контуру з врахуванням рівняння Ф8 = Ф5, то Ви зауважите, що сумарний спад магнітної напруги на обох опорах R5a та R5b можна визначити лише на підставі магнітного потоку Ф5. Отже в системі рівнянь нічого не зміниться, якщо ми б перенесли опір R5b з вітки з номером 8 у дев'яту вітку і у вітці 5 записали б еквівалентний сумарний опір, позначивши його R5. На рисунку 1.4 Ви можете побачити перетворену таким чином заступну схему.

В перетвореній заступній схемі менше невідомих потоків (всього сім) та вузлів — чотири замість шести. Отже нам потрібно розв'язати систему нелінійних рівнянь з меншою кількістю невідомих.

Буквою D позначимо базовий вузол [1].

Важливим етапом в створенні математичної моделі є нумерація ребер графа [1, 9]. На рисунку 10.5 зображено граф, який відображає заступну магнітну схему. Штриховими лініями ми в графі позначили вітки дерева графа, суцільними _хорди [1]. Напочатку цифрами 1,2,3 пронумеровані вітки дерева, а 4, 5, 6, 7- хорди. Кількість віток рівна кількості ділянок. Сумарна кількість рівнянь за першим і другим законом Кірхофа 2n + 1. Фундаментальні контури [1] позначені римськими цифрами І, ІІ, ІІІ, IV, їх номери зростають в порядку нумерації хорд. Наведений вище алгоритм нумерації ребер та фундаментальних контурів дозволяє автоматично на підставі першої матриці інциденцій повністю за допомогою програми записати в матричній формі систему нелінійних рівнянь. Це особливо важливе, коли кількість ділянок n — велика.

Складаємо систему рівнянь згідно із законами Кірхгофа (для вузлів А, В, С і контурів І ч ІV див. рисунок 1.4):

Ф1 + Ф4 - Ф5 = 0;

Ф2 + Ф5 - Ф6 = 0;

Ф3 + Ф6 - Ф7 = 0;

Uя(Ф4) + (Rд + Rд)·Ф4 - R1·Ф1 = 0; (10.1)

R1·Ф1 - R2·Ф2 + U5(Ф5) - w1i = 0;

R2·Ф2 - R3 ·Ф3 + U6(Ф6) - w2i = 0;

R3·Ф3 + U7(Ф7) - w3i = 0,

де

Ф1 ч Ф7   - невідомі магнітні потоки;

Uя(Ф4) _спад магнітної напруги на якорі;

U5(Ф5), U6(Ф6) - спади магнітних напруг на перших двох ділянках полюсів;

U7(Ф7) - сумарний спад напруги на третій (останній) ділянці полюсів та на основі.

Поки що в (1.1) невідомими є потоки Ф і залежності Uя(Ф4), U5(Ф5), U6(Ф6), U7(Ф7).

Покажемо, наприклад, як знайти залежність U4(Ф4).

На рисунку 1.6 зображено якір, а на рисунку 1.7 - криву намагнічування.

Задану графічно (або у формі таблиці) криву намагнічування необхідно апроксимувати аналітичною залежністю, яка повинна з заданою точністю відобразити графік [1].

Допустимо, що аналітична формула Н(В) описана рівнянням:

H = a1·B+ a2·B11; (1.2)

Підчас апроксимації визначаємо коефіцієнти а1 та а2.

Відомо, що для якоря

Bя= Ф4/ Sя , (1.3)

При певних допущеннях з врахуванням (10.2) та (10.3)магнітна напруга

Uя = Hя·l я = (a1·Bя + a2·Bя11)·lя = (1.4)

= (a1·Ф4/Sя + a2·Ф411/Sя11)·lя = (с1·Ф4 + с2·Ф411),

де

с1 = a1·lя/Sя, (1.5)

c2 = a2·lя/Sя11. (1.6)

Отже, аналітично знайдена залежність спаду магнітної напруги на якорі від магнітного потоку, що проходить через якір, тобто значення Uя(Ф4), яке фігурує у (10.1). За тим самим алгоритмом можемо знайти залежність спаду магнітної напруги на основі реле від потоку Ф7, тобто U0(Ф7).

На рисунку 10.8 зображені ділянку між двома полюсами, які мають вигляд двох паралелепіпедів. Нехай, для прикладу, це буде перша ділянка (див. рисунок 1.1), перпендикулярно до площин Sп1 та Sп2 протікає магнітний потік Ф5. Використаємо рівняння (10.4), позначення розмірів ділянок полюсів на рисунку 1.8, пам'ятаючи що кількість ділянок n = 3, і на підставі цієї інформації запишемо рівняння спадів магнітних напруг для обох ділянок полюсів:

Uп1 = с5·Ф5 + с6·Ф511, (1.7)

Uп2 = с7·Ф5 + с8·Ф511, (1.8)

де

lп — довжина полюса;

с5 = a1·lп/3·Sп1; (1.9)

c6 = a2·lп/3·Sп111; (1.10)

с7 = a1·lп/3·Sп2; (1.11)

c8 = a2·lп/3·Sп211. (1.12)

З врахуванням (1.7) та (1.8) одержимо значення

U5(Ф5) = (с5·+ с7)·Ф5 + (с6·+ с8)·Ф511. (1.15)

За аналогією (10.15) знаходимо вирази для визначення U6(Ф6), U7(Ф7). Зауважимо, що у виразі для визначення U7(Ф7) ще необхідно додати вираз для визначення спаду магнітної напруги на основі магнітопроводу.

В результаті проробленої роботи можемо стверджувати, що якщо б ми знали величини всіх магнітних потоків Ф4 ч Ф7, то могли б знайти спади магнітних напруг на всіх нелінійних опорах.

Визначення магнітних опорів для потоків, які проходять через повітряні проміжки можемо одержати в підручниках з електричних апараті [10] або більш детально ознайомитися в [3]. В цьому конспекті лекцій ми наведемо деякі спрощені формули. Опори в повітряному проміжку між якорем та полюсами (або полюсними наконечниками за умови їх наявності) знаходимо за формулою:

Rд = д/(м0·Sп), (1.13)

де

д — величина повітряного проміжку між поверхнею якоря та полюсом, м;

м0 = 4р10-7, Гн/м — магнітна проникність вакууму;

Sп — поверхня полюса, м2.

Якщо прийняти, що обидва полюси однакові, то спад напруги на обох повітряних проміжках

Uд=2·Rд·Ф4. (1.14)

Магнітний опір для магнітного потоку Фр1 (див. рис. 10.1 та 10.8) між частинами бокових поверхонь полюсів однієї ділянки полюса визначимо згідно

R1 = bпп/(м0·Lп1·aп1/n) + 1/(м0·0,52·ап1) +

1/((м0·1,28·Lп1)/(bпп/bп1 + 1)). (1.15)

Оскільки всі ділянки поділу полюсів однакові, то

R3 = R2 = R1. (1.16)

Отже в (1.1) залишилися невідомими тільки