В майбутньому нам треба буде використовувати математичні методи для розв'язання системи нелінійних скінчених рівнянь, наприклад, - (1.1). Методи розв'язання системи нелінійних скінченних рівнянь ґрунтовно з великою кількістю прикладів наведені [1]. Найбільш потужним методом є метод Ньютона, який вимагає одержання матриці Якобі [1, 7]. Для одержання елементів матриці Якобі необхідно знайти всі часткові похідні всіх рівнянь системи за всіма невідомими.

Для полегшення розуміння процесу диференціювання покажемо це на прикладі системи (1.1): диференціюємо четверте рівняння цієї системи за невідомими потоками Ф4 і Ф1.

?(U4(Ф4) + (Rд + Rд)·Ф4 - R1·Ф1 )/?Ф4 = R4? + Rд + Rд; (1.17)

?(U4(Ф4) + (Rд + Rд)·Ф4 - R1·Ф1 )/?Ф1 = -R1, (1.18)

де на підставі рівняння (10.6) R4? = с1 + 11с2·Ф410 називають динамічним магнітним опором.

З врахуванням того, що Вам нагадали то, що давно Ви вже вивчили, застосуємо метод Ньютона [1] для розв'язання системи рівнянь (1.1):

де k = 0, 1, 2, 3, …;

- відповідно вектор невідомих потоків, вектор нев'язок рівнянь (1.1), матриця Якобі.

На підставі рівняння (10.19), задаючись значеннями k = 0, 1, 2, ... послідовно знаходимо наближення потоків до реального значення (якщо процес ітерації збіжний). Щоб розпочати процес ітерації, коли k = 0 необхідно задати початкові значення всіх потоків і підставити їх в праву частину рівняння (10.19), обчисляючи обернену матрицю Якобі та

нев'язок за заданими потоками. Можна задати всі нульові значення потоків, або можемо використати попередні значення з якоїсь аналогічної задачі, яку ми розв'язували раніше, або можемо знехтувати всіма опорами R4 ч R7, тобто прирівняти їх до нуля. У цьому випадку систему можна розв'язати дуже просто:

Ф1(0) = w·i/R1;

Ф2(0) = 2/3·w·i/R2;

Ф3(0) = 1/3·w·i/R3;

Ф4(0) = w·i/(Rд + Rд); (1.20)

Ф5(0) = Ф1(0) + Ф4(0);

Ф6(0) = Ф2(0) + Ф5(0);

Ф7(0) = Ф3(0) + Ф6(0).

На підставі знання початкових умов (1.20) можемо знайти перше наближення магнітних потоків за рівнянням (1.19), отже запустити в роботу процес ітерації обчислення наближених значень потоків до задоволення умови зупинки цього процесу.

На цьому можна б було поставити крапку адже в процесі ітерацій ми знайшли значення всіх невідомих нам потоків з необхідною заданою нами точністю їх розрахунків. Але ми продовжимо наші дослідження, щоби одержати ще більше інформації за допомогою створеної нами математичної моделі розрахунку магнітних процесів в реле.

Повернемося до розгляду рівняння (1.19), але вже в формі матричного числення.