(2.6)

Рівняння (2.6) називають другим рівнянням Максвела в інтегральній формі. Перетворюючи ліву частину цього рівняння по теоремі Стока, отримаємо :

(2.7)

Так як - довільна поверхня, то

(2.8)

Останнє рівняння називають другим рівнянням Максвела в диференціальній формі.

Трете рівняння Максвела є узагальненням закону Гауса на випадок змінних процесів. Закон Гауса зв’язує потік вектора електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню із зарядом , сконцентрованим в середині цієї поверхні:

(2.9)

В загальному випадку , де - питома щільність зарядів, тому:

(2.10)

Рівняння (2.10) зазвичай називають третім рівнянням Максвела в інтегральній формі, перетворюємо ліву частину рівняння (2.10) по теоремі Остроградського – Гауса. В результаті отримаємо:

(2.11)

Так як остання рівність виконується при будь-якому об’ємі V, то

(2.12)

Рівняння (2.12) прийнято називати третім рівнянням Максвела у диференціальній формі.

Четверте рівняння Максвела в інтегральній формі співпадає із законом Гауса для магнітного поля, відповідно до якого потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:

(2.13)

Це означає, що лінії вектора зажди замкнуті, тобто не існує ліній , які лише входять або лише виходять із замкненої поверхні .

До диференціальної форми рівняння (2.13) можна привести за допомогою теореми Остроградського-Гауса так само як це було зроблено у минулому випадку:

(2.14)

Рівняння (2.14) є четвертим рівняння Максвела у диференціальній формі.

З рівнянь Максвела видно, що можливі два принципи побудови апаратури для безконтактного вимірювання струму. Один з них полягає у реалізації першого рівняння Максвела у диференціальній або інтегральній формі з визначенням диференціальних або інтегральних параметрів магнітного поля. У першому випадку задача зводиться до вимірювання та наступному обчисленню , у другому – до вимірювання циркуляції вектора по певному замкненому контуру , що охоплює струмопровід.

Інший принцип полягає у реалізації третього рівняння Максвела у диференціальній або інтегральній формі, що встановлює зв’язок між вектором електричного зсуву та щільністю зарядів ( або зарядом ), які в свою чергу пов’язані зі струмом, що вимірюється . У деяких випадках цей зв’язок встановлюється досить просто. Уявимо собі, що замкнену циліндричну поверхню пронизує струм переносу (наприклад, пучок заряджених частинок), що володіє об’ємною щільністю заряду :

(2.15)

де - площа січення пучка; - швидкість заряджених частинок; - довжина циліндру; - його об’єм. Таким чином, з урахуванням (2.10) . Недолік такого методу вимірювання є очевидним. Необхідно враховувати швидкість руху носіїв заряду, що утворюють струм.

Для безконтактного вимірювання струму далеко не завжди необхідно визначати інтегральні або диференціальні параметри електромагнітного поля, що утворюється ним. Іноді, якщо провідник зі струмом або пучок заряджених частинок є нерухомими по відношенню до перетворювача струму, а також мають постійне січення та роподіл щільності струму , достатньо виміряти у будь-якій точці простору значення , або ( в залежності від природи струму та типу перетворювача), які є однозначно пов'язаними зі струмом, що визначається. Так, наприклад, вчиняють при вимірюванні струмів у високовольтних лініях електропередачі та іноді струмів, що протікають по шинах.

2.2 Безконтактне визначення струму в трубопроводі

Для встановлення залежності між значеннями напруженості магнітного поля і струмом у газопроводі можна застосуємо формулу (1.7).

З метою визначення залежностей між горизонтальною складовою магнітного поля і положенням приймальної котушки над газопроводом детально розглянемо рисунок 2.1, на якому схематично зображено розташування приймальної котушки 1 відносно поверхні землі 6 і газопроводу 5.

Рисунок 2.1- Схема розташування котушки над газопроводом

Нормаль котушки (напрям вказано умовно) лежить в площині перпендикулярній до осі газопроводу і паралельна до поверхні землі. Приймальна котушка знаходиться в магнітному полі, вектор напруженості якого умовно зображено вектором.

Коефіцієнт магнітної проникності ґрунту близький одиниці, тому на вимірювання напруженості магнітного поля ґрунт не впливає [9]. Внаслідок цього відстань від котушки до поверхні ґрунту, в подальших розрахунках струм не враховується.

Електрорушійна сила, яка виникає в обмотці приймальної котушки, з (1.7) дорівнює:

, (2.16)

де Ф- магнітний потік, що пронизує котушку площею S і визначається з (1.8) за формулою:

, (2.17)

де - абсолютна магнітна проникність середовища.

Якщо вважати, що значення і в конкретному місці є незмінними, то магнітний потік, а отже і ЕРС в приймальній котушці є функцією напруженості магнітного поля - H. Враховуючи положення приймальної котушки, напруженість магнітного поля визначається за формулою:

, (2.18)

де - кут між напрямом вектора напруженості і нормаллю до площини котушки.

З рисунку 2.1 видно, що:

,

. (2.19)

Тоді

(2.20)

Враховуючи, що , (2.21)

, (2.22)

отримаємо, що горизонтальна складова напруженості магнітного поля визначається так:

(2.23)

З формули (2.23) видно, що H є функцією трьох величин: струму I в газопроводі, відстаней від котушки до осі газопроводу відповідно по вертикалі і горизонталі h і x. Використовуючи наведені залежності створено різноманітні способи вимірювання струму в підземному газопроводі.

2.3 Паралаксний метод визначення віддалі від одного із датчиків до осі трубопроводу

Визначати віддаль можна декількома способами. Один із них – паралаксний метод. При цьому вимірювання здійснюється двома індуктивними датчиками направленої дії. Датчики спрямовують так (рисунок 2.2) щоб нормалі до площини, в якій намотано котушки лежали, в одній площині і були напрямлені вздовж дотичної до напрямку вектора магнітного поля трубопроводу.

Рисунок 2.2 - Схема розташування датчиків (1,2) при паралаксному визначенні віддалі до осі трубопроводу (3)

Кути та , а також наперед відома віддаль між датчиками дають можливість визначити віддаль від трубопроводу