До найпростішої структурної схеми можна звести структурну схему будь-якої замкнутої нелінійної САУ з однією нелінійною ланкою.

Рішення динаміки найпростіших нелінійної САУ можна одержати за структурною схемою, приведеною на рисунку 2.1.

Рівняння нелінійної ланки з врахуванням неоднозначних нелінійностей запишемо у вигляді:

(3.1)

Переходячи до зображень Лапласа при нульових початкових умовах, дістанемо зображення рівняння лінійної частини:

(3.2)

Для нелінійної ланки:

(3.3)

Умова замикання системи має вигляд:

(3.4)

або:

(3.5)

Замінивши в (3.3) його значенням за формулою (3.4) і підставивши знайдене значення в (3.2), дістанемо зображення рівняння відносно вихідної величини:

(3.6)

Рисунок 3.1 Найпростіша структурна схема нелінійної системи

Зображення рівняння відносно похибки можна дістати з (3.5), якщо визначити за формулою (3.2), замінивши відповідно до виразу (3.3). Тоді:

(3.7)

Використовуючи теорему лінійності і теорему згортання перетворення Лапласа, перейдемо від зображень (3.6) і (3.7) до оригіналів:

(3.8)

(3.9)

Інтегральні рівняння (3.8) і (3.9) є нелінійними. Загальних методів розв’язання таких рівнянь не існує. Розробляються і широко застосовуються різні методи дослідження нелінійних САУ, які мають не загальний характер, а орієнтовані на певний клас нелінійностей або на певні структури САУ. Значно розширює можливості аналізу і синтезі застосування електронно-обчислювальної техніки, що дає можливість розв’язувати нелінійні рівняння методами чисельного інтегрування.

4 МЕТОД ГОЛЬДФАРБА

Розглянемо спочатку випадок, коли зовнішня дія f(t) = 0 і характе-ристика нелінійної ланки симетрична відносно початку координат. Постійна складова в цьому разі відсутня і автоколивання описуються таким рівнянням

Після гармонічної лінеаризації структурна схема системи буде мати вигляд, як це зображено на рисунку 5.1

Рисунок 4.1 – Структурна схема системи після гармонічної лінеаризації

Прийнявши

і

запишемо диференціальне рівняння системи у вигляді

(4.1)

Коефіцієнти kg і kg1 в загальному випадку залежать від амплітуди і частоти ща автоколивань. Для режиму автоколивань, коли А=const і щa=const, рівняння (4.1) є лінійним із сталими коефіцієнтами.

Розв'язок рівняння (4.1) у вигляді x=A?sin(щаt) можливий лише тоді, коли характеристичне рівняння замкнутої системи

(4.2)

має пару суто уявних коренів при умові, що решта коренів мають від'ємні дійсні частини. При цьому лінійна частина системи по-винна бути стійкою або нейтральною, тобто поліном Q(р) може мати корені з від'ємними дійсними частинами або нульові корені і не пови-нен мати коренів з додатними дійсними частинами або чисто уявних коренів. Перелічені умови відповідають знаходженню гармонічно лінеаризованої системи на межі стійкості. Тому при визначенні періодичного розв'язку, тобто частоти ща і амплітуди А автоколивань, можна користуватися відомими критеріями стійкості лінійних систем, прийнявши, що в режимі автоколивань система знаходиться на межі стійкості, яка відповідає незатухаючим коливанням.

За критерієм Найквіста, ця умова має вигляд

(4.3)

У рівняння (4.3) входять коефіцієнти kg i kg1, які є функціями амплітуди або амплітуди і частоти. Тому використання цих рівнянь дає змогу знайти значення амплітуди і частоти.

Найповніше розроблено методи визначення частоти і амплітуди ав-токоливань, в основу яких покладено критерії Найквіста (метод Гольдфарба).

Суть методу Л. С. Гольдфарба полягає в тому, що за цим методом можна визначити пара-метри автоколивань для систем з одним нелінійним елементом, ко-ефіцієнти гармонічної лінеаризації якого є функціями лише амплітуди. У цьому випадку рівняння 5.3 набуває вигляду

(4.4)

Це рівняння розв'язується графічно. Якщо його подати у вигляді

(4.5)

то очевидно, що для його розв'язування необхідно побудувати дві ха-рактеристики: АФХ лінійної частини системи Wл(jw) і від'ємну оберне-ну характеристику нелінійної ланки –Wнл(А). Характеристики необхідно будувати в тій самій системі координат, і масштаби на осях координат повинні бути однаковими. Якщо побудовані криві не пере-тинаються, то розв'язку рівняння (4.4) не існує і автоколивання у системі відсутні. Якщо ж ці криві перетинаються, то рівняння (4.4) має розв'язок і автоколивання можливі.

Рисунок 4.3 – Графічне знаходження параметрів автоколивань

Стійкість або нестійкість автоколивань можна досліджувати, аналізуючи точки перетину М і N. Для перевірки стійкості граничних циклів можна скористатися кри-терієм Найквіста. Лінійна система знаходиться на межі стійкості, якщо АФХ розімкнутої системи проходить через критичну точку з коорди-натами (-1, j0), тобто рівняння, що відповідає незатухаючим коливан-ням, має вигляд

Для нелінійної системи це рівняння має вигляд

тому критичними точками для АФХ будуть точки -1/Wнл(A), які нале-жать від'ємній зворотній характеристиці нелінійної ланки. Охоплення чи не охоплення цих точок амплітудно-фазовою характеристикою буде свідчити про стійкість або нестійкість руху, що відповідає граничному циклу.

Розглянемо граничний цикл, що відповідає точці перетину М. При-пустимо, що амплітуда трохи більша, ніж у точці М, і значення функції -l/Wнл(A) визначається точкою М1. АФХ лінійної частини охоплює цю точку, отже, рух нестійкий і амплітуда зростатиме. Якщо амплітуда стане

трохи меншою, ніж у точці М (точка М2), то АФХ не охоплюватиме цю точку, рух буде стійким, амплітуда зменшуватиметься. Це означає, що граничний цикл М нестійкий, оскільки в обох випадках фазові траєкторії віддаляються від нього. Якщо так само роз-глянути точку N, то можна дійти висновку, що ця точка відповідає стійкому граничному циклу. Отже, можна сформулювати таке правило визначення стійкості коливань: якщо точка на кривій -l/Wнл(A) , що відповідає зростаючій амплітуді, не охоплюється АФХ лінійної частини системи, то коливання стійкі, а якщо охоплюється, то нестійкі. За цим правилом точка М відповідає нестійким коливанням, а точка N — стійким. Знайшовши точку N, визначимо параметри автоколивань: амплітуду А (за характеристикою нелінійного елемента) і частоту wa (за АФХ лінійної частини системи). Якщо характеристики Wl(w) і -l/Wнл(A) не перетинаються, то автоколивання неможливі, а система може бути стійкою або нестійкою. Якщо АФХ лінійної частини не