Дослідження системи на коливальність за методом Гольдфарба приведено в додатку А.

5 Дослідження СИСТЕМИ НА СТІЙКІСТЬ ЗА КРИТЕРІЄМ ПУПОВА

Критерій Пупова встановлює умови абсолютної стійкості. Абсо-лютна стійкість означає асимптотичну стійкість нелінійної системи в цілому (тобто відносно всього простору станів системи) при умові, що задано не конкретну нелінійність, а деякий клас нелінійностей М. Кри-терій Пупова можна застосувати до класу стаціонарних нелінійностей, яким є множина М[k1, k2] усіх кусково-безперервних функцій, графіки яких знаходяться в секторі S[k1, k2] між лініями u=k1е, і u=k2е, як це зображено на рисунку 5.1.

Рисунок 5.1 – Нелінійності, що попадають під дію критерію Пупова.

Ці нелінійності повинні задовольняти таким умовам:

– безперервна функція; ;

при ;

.

Абсолютна стійкість означає стійкість у цілому для всіх нелінійностей заданого класу.

У практичних задачах дуже часто до-водиться мати справу з однозначними нелінійностями, характеристики яких містяться в секторі S[0,k]. У цьому ви-падку для абсолютної стійкості нелінійної системи, зведеної до найпростішої, тобто для такої, що скла-дається з нелінійної ланки і лінійної частини з деякою передаточною функцією достатньо, щоб для деякого дійсного числа q (-?<q<?) і всіх дійсних щ, у тому числі щ=±?, виконувалась така нерівність:

Re[(1+qjщ)Wл(jщ)]+1/k>0 (5.1)

і щоб лінійна система, в якої нелінійну ланку замінено лінійною , де , була стійкою.

Частотну характеристику лінійної частини системи подамо у вигляді

Wл(jщ)=P(щ)+jQ(щ), P(щ)=Uл(щ), Q(щ)=Vл(щ).

Підставимо це значення у перший доданок нерівності 6.1 і виділимо дійсну частину

Uл-(щ)-qщVл(щ)+1/k>0

або

X-qY+1/k>0 (5.2)

де

X=Uл(щ)=Re(Wл(jщ))

Y=щVл(щ)= щIm(Wл(jщ)).

Рівняння (5.2) є рівнянням прямої, що проходить у площині X, Y через точку з абсцисою – 1/k на дійсній осі Х і має кутовий коефіцієнт 1/q. Ця лінія називається прямою Пупова.

Введемо тепер поняття видозміненої (модифікованої) частотної ха-рактеристики лінійної частини системи або кривої Пупова. Вираз цієї характеристики

W*л(jщ)=Uл(щ)+jщVл(щ)

відрізняється від звичайної амплітудно-фазової характеристики Wл(jw) тільки тим, що уявна частина множиться на щ. Якщо прийняти, що n — порядок полінома знаменника передаточної функції Wл(р), a m — порядок полінома чисельника, то при n-m>1 видозмінена характе-ристика W*л(w) має такий самий вигляд, що й характеристика Wл(jw), тільки масштаб уявної частини змінюється у щ разів, а при n-m=1 характеристика W*л(jw) при щ= закінчується на від'ємній частині уявної осі.

Після введення поняття про пряму і криву Пупова сформулюємо умови виконання нерівності (5.1) або умови абсолютної стійкості: нелінійна система абсолютно стійка, якщо в площині W*л(jw)=X+jY можна провести пряму Пупова так, щоб крива Пупова була праворуч від неї.

Для однозначних нелінійних характеристик -?<q<?, тобто пряму Пупова можна проводити з будь-яким кутовим коефіцієнтом — як додатним, так і від'ємним.

Для визначення абсолютної стійкості нелінійної системи необхідно по-будувати видозмінену частотну характеристику W*л(jw) лінійної частини системи, визначити k з умови 0?ц(е)/е?k і через точку з координа-тами (-1/k,j0) провести пряму з кутовим коефіцієнтом, що визначається типом нелінійності так, щоб характеристика W*л(jw) знаходилась право-руч від неї. Якщо таку пряму провести не можна, то абсолютна стійкість у досліджуваній системі неможлива.

Таке формулювання критерію абсолютної стійкості є справедливим для систем із стійкою лінійною частиною. Проте цей критерій можна використовувати також і тоді, коли лінійна частина системи нестійка. У цьому випадку лінеаризована система, яку дістають при заміні нелінійного елемента ц(е) лінійним kе, при досить малих k буде нестійкою. Якщо існують такі значення kф, для яких при ц(е)/е?kф лінеаризована система стійка, то для використання критерію Пупова належність характеристики нелінійного елемента сектору S[0,k] треба замінити належністю сектору S[kф,k], тобто прийняти

kф<ц(е)/е<k

Якщо таке значення kф не існує, то абсолютна стійкість системи неможлива.

Дослідження системи на стійкість за методом Пупова приведено в додатку Б даної пояснювальної записки.

6 ДОСЛІДЖЕННЯ АВТОМАТИЧНОЇ СИСТЕМИ

Відповідно до правил структурних перетворень, здійснюємо перетворення структурної схеми заданої системи так, щоб отримати замкнутий контур з однією нелінійною та лінійною ланками, з одиничним зворотнім зв’язком. Це дасть змогу використати для системи наведені вище наближені методи дослідження нелінійних систем. Відповідні перетворення проводяться до відповідної структурної схеми в попередньому розділі.

Рисунок 6.1- структурна схема системи

В дану систему треба ввести нелінійний елемент. Вибираємо ланку типу обмеження.

В системі MatLab блок носить назву Saturation.

Функція передачі лінійної частини:

Де відповідні функції та коефіцієнти наступні:

K1=20; T1=1; k2=1; T2=0.2.

Спростимо рівняння функції передачі лінійної системи до коректного вигляду:

Для нелінійної ланки типу “із зоною насичення” гармонічна функція передачі взята з [3] і рівна:

(6.1)

де: b - поріг спрацювання , - амплітуда сигналу. Таким чином функція передачі нелінійного елемента залежить тільки від амплітуди, що вже було пояснено раніше.

Дослідимо систему на наявність автоколивань методами Гольдфарба і Попова.

Дослідження оформлюємо у вигляді програми (М-файлу) середовища MatLab і наводимо дану програму в додатку А. Всі відповідні пояснення зроблені по тексту програми. Дослідження здійснюється за допомогою Simulink. Схема системи приведена на рисунку 6.1. Згідно з результату (див рис. 6.3) – система є стійкою, що підтвержує результат який приведений в додатку. Схема матиме наступний вигляд:

Рисунок 6.2- схема системи в MatLab

В якості вхідної величини подаємо одиничний стрибок, в якості зовнішніх збурень const=10.

На виході отримаємо:

Рисунок 6.2- Перехідний процес

З графіка видно , що система є стійкою , автоколивань немає. Результати виконання програми свідчать про відсутність автоколивань в системі, оскільки графіки АФЧХ лінійної частини та оберненої від’ємної АФЧХ нелінійної частини не перетинаються (за методом Гольдфарба). Метод Попова дає аналогічний результат, оскільки при будь-яких амплітуді і частоті годограф вектора Михайлова не проходить через