Лабораторна робота №
Випадкові похибки при вимірюваннях. Обробка результатів багаторазових прямих вимірювань
3. 1 Мета роботи
Вивчення методів і набуття практичних навиків в обробці результатів багаторазових вимірювань, які містять випадкові похибки.
3. 2 Програма роботи
Під час роботи студенти вимірюють активні опори і ємності за допомогою універсального цифрового вимірювача Ф 480 так, щоб досягти при цьому одержання найбільш точних результатів, шляхом визначення і виключення систематичних і випадкових похибок вимірювань параметра з рівноточними значеннями відліку.
З цією метою використовується методика багатократного вимірювання однієї і тієї ж величини з подальшою обробкою результатів вимірювань у відповідності з рекомендаціями ГОСТ 8.207-76.
3. 3 Основні теоретичні положення
При багатократних вимірюваннях в одних і тих самих умовах, однаковим засобом вимірювання і тим самим оператором якогось параметру, ми отримуємо результати, які відрізняються один від одного і від дійсного значення. Похибка, яка виникає при цьому носить випадковий характер і може бути визначена за формулами, які базуються на законах теорії імовірності і математичної статистики.
Випадкові похибки виникають як при прямих , так і при непрямих вимірюваннях . Причому при непрямих вимірюваннях сумарна похибка шукається як корінь квадратний з суми квадратів похибок при кожному з прямих вимірювань .
Випадкові похибки підкоряються таким умовам:
рівні за абсолютною величиною і зворотні по знаку похибки рівноімовірні;
малі по абсолютній величині похибки більш імовірні ніж великі;
випадкові похибки мають певні межі, які залежать від способу і засобу вимірювання.
Рівноточними називаються вимірювання , які проводяться при одних і тих самих умовах , одним і тим самим оператором , який користується одним і тим самим приладом , а всі результати є незалежними , однаково розприділеними випадковими величинами . Імовірність того , що значення вимірювальної величини лежить в межах певного інтервалу являє собою довірливу імовірність або коефіцієнт надійності , а сам інтервал називається довірливим інтервалом .
Математичну обробку результатів прямих рівноточних вимірювань здійснюють в наступному порядку :
Визначають середнє арифметичне результатів спостережень
(3.1)
Визначають випадкові відхилення результатів спостережень
і їх квадрати
Обчислюють середнє квадратичне відхилення спостережень за формулою
(3.2)
Визначають середнє квадратичне відхилення результату вимірювань за формулою
(3.3)
Провіряють нормальність розподілу результатів спостережень (подається далі) .
Визначають наявність грубих похибок і промахів і , якщо вони виявлені , відповідні результати відкидають і повторюють обчислення (подається далі).
Задаючись певним значенням довірливої імовірності , знаходять довірливу похибку результату вимірювань і довірливий інтервал для середнього квадратичного відхилення .
Грубими називаються похибки , які явно перевищують по своєму значенню похибки , що допускаються умовами проведення експерименту . Якщо в результаті вимірювань оператор виявляє , що результат одного із спостережень різко відрізняється від інших , то він може відкинути цей результат і провести повторні вимірювання . Але таке відкидання результатів може привести до спотворення характеристик розсіювання . І тому додаткові вимірювання краще проводити не взамін сумнівним , а як додаткові до них .
Особливо важливо усувати грубі похибки в процесі обробки наявного матеріалу . Це здійснюється за допомогою статистичних методів (гіпотез) .
Перш за все знаходять середнє арифметичне і середнє квадратичне відхилення результатів спостережень згідно формул (3.1) і (3.2) . При заданій довірливій ймовірності б знаходять то найбільше значення хб , яке випадкова величина х може прийняти . Після цього знаходимо значення , які приймає наша випадкова величина за формулами :
або ,
де Xmax i Xmin — відповідно найбільший і найменший із результатів вимірювання ; — середнє арифметичне значення (згідно формули 3.1); у — середнє квадратичне відхилення .
Якщо х виявляється більшим за хб , то вважають , що результат вимірювання вміщує грубу похибку .
Перевірка на нормальність у випадку , коли кількість спостережень має незначну величину , здійснюється таким чином :
Результати спостережень групують в так званий “варіаційний ряд” ( х(1) ; х(2) ; . . . ; х(n) ) так , щоб х(1) ? х(2) ? . . . ? х(n)
Визначають статистичну функцію розподілу за формулою
де k=1 , 2 , … , n .
Знаходять змінну zk за формулою
В координатах z - х наносять точки zk , хk . При нормальному законі розподілу вони повинні розташуватися вздовж однієї прямої лінії . Якщо ж ми отримуємо криву лінію , то експериментальні дані не підлягають закону нормального розподілу .
Існують наступні функції розподілу похибок : інтегральна і диференційна .
Інтегральна функція розподілу має такі властивості :
симетричний розподіл результатів спостережень відносно істинного значення вимірюваної величини ;
— графік часто має точку перегину в точці , яка відповідає істинному значенню ;
безперервність .
Диференційна функція розподілу (густина розподілу імовірностей) має такі властивості :
графік частіше всього має дзвіноподібну форму з максимумом при істинному значенні ;
площа завжди між графіком і віссю абсцис рівна одиниці ;
симетричність ;
імовірність появи одинакових за величиною , але різних за знаком похибок є одинакова ;
Існують наступні види розподілу результатів спостережень [3, с.30-32] і випадкових похибок (підпорядковуються диференційній функції розподілу) :
рівномірний ;
нормальний (розподіл Гауса) ;
розподіл Лапласа (використовується , коли точнісні характеристики наперед невідомі або нестабільні в часі) .
Найбільш поширеним при обробці результатів багаторазових вимірювань є закон нормального розподілу [3, с.103] , який характеризується функцією
(3.4)
де f(x) - густина розподілу похибок вимірювання ; у - середньоквадратичне відхилення випадкової величини (СКВ) від середнього арифметичного значення
