,

де – нижня межа модального інтервалу; - ширина інтервалу; - частота модального інтервалу; - частота попереднього відносно модального інтервалу; - частота наступного відносно модального інтервалу.

Медіана – варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини.

В інтервальному ряді розподілу медіанний інтервал розраховується, використовуючи кумулятивні частоти, а конкретне значення медіани обчислюється за формулою:

,

де - нижня межа медіанного інтервалу; h - ширина медіанного інтервалу; S- кумулятивна частота інтервалу, що передує медіанному; f- частота медіанного інтервалу.

Визначити медіану і моду графічним способом, побудувавши гістограму і кумуляту.

Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки. В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого .

Середнє лінійне відхилення:

Дисперсія

Середнє квадратичне відхилення:

Лінійний коефіцієнт варіації 100%.

Квадратичний коефіцієнт варіації 100%.

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною і медіаною чи модою. Порівнюємо значення середньої арифметичної, моди, медіани. Якщо має місце правостороння асиметрія, якщо має місце лівостороння асиметрія.

Напрям і міру скошеності характеризують стандартизоване відхилення, яке визначається найчастіше за формулою:

, або А=

При цьому в симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії А> 0, при лівосторонній А< 0.

Скупченість окремих значень ознаки навколо середньої називають ексцесом. Мірою ексцесу є стандартизований

момент ІV порядку

Де - центральний момент 4-го порядку

У симетричному, близькому до нормального розподілі Е=3. При гостровершинному розподілі Е> 3, плоско вершинному Е< 3.

Для порівняння ступеня скошеності (асиметрії) різних розподілів використовують стандартизований момент ІІІ порядку:

Де - центральний момент третього порядку

Вважають, що при А < 0,25 асиметрія слабка, якщо 0,25< А < 0,5 – середня і при А> 0,5 – висока.

Дані розрахунків занести в таблицю і зробити висновки про розподіл працівників за заробітною платою.

Розглянуті вище характеристики дають нам уяву про характер центру розподілу, варіації та форми розподілу. Поглиблюючи аналіз, можна описати закономірність співвідношення варіант і частот певною функцією, яку називають теоретичною кривою. Серед множини кривих розподілу найпоширенішою виявилась нормальна крива.

Вона застосовується як стандарт, з яким порівнюють інші розподіли.

Частоти , які відповідають теоретичній кривій називаються теоретичними. Для нормального розподілу їх визначають за формулою:

де n - обсяг сукупності

- інтегральна функція розподілу .

Функція ґрунтується на стандартизованих відхиленнях :

де - верхня межа інтервалу.

Функція табульована. Для додатних t значення беремо безпосередньо з таблиць. При від’ємних значеннях t функція становить . Значення функції нормального розподілу наведені в додатку А.

Між теоретичними і емпіричними частотами є певні відхилення. Вони можуть мати випадковий характер або бути наслідком невідповідності

теоретичної кривої реальному характеру розподілу. Для оцінки істотності відхилень використовують критерії узгодження. Критерій Пірсона обчислюємо за формулою:

Значення порівнюються з критичним для імовірності 1- і числа ступенів вільності -1, де m - число груп; r - число параметрів функції.

Критичне значення - це максимально можливе . Якщо фактичне значення перевищує критичне > , то відхилення між емпіричними і теоретичними частотами слід вважати істотним. У випадку, коли < істотність відхилення вважається недоказаною. Критичні значення наведені в додатку Б.

Побудувати лінійну діаграму теоретичних і емпіричних частот.

Наведемо приклад аналізу ряду розподілу працівників за заробітною платою.

Дані по заробітній платі за 2008 рік

Таблиця 1.2.

Групи працюючих за розміром заробітної плати, грн. | Чисельність працюючих, осіб | Частка d%

до 700 | 17 | 14,29

700 – 1400 | 34 | 28,57

1400 – 2100 | 37 | 31,09

2100 – 2800 | 21 | 17,65

понад 2800 | 10 | 8,40

Разом | 119 | 100

Для визначення характеристик розподілу використаємо таблицю 1.3

Таблиця 1.3

Межі інтервалу | Середина інтервалу (варіант) x | Чисель-ність

працівни-ків (частота),

f | Добуток варіант на частоти, хf | Нагромад-жена частота (кумуля-тивна),

S | Відхи-лення варіантів від середньої | Добуток відхи-лення варіан-тів від серед-ньої на частоти | Квадрат відхилень варіантів від середньої | Добуток квадратів відхилень на частоти

до 700 | 350 | 17 | 5950 | 17 | -1241,18 | 21100 | 1540519,03 | 26188823,5

700 – 1400 | 1050 | 34 | 35700 | 51 | -541,18 | 18400 | 292871,972 | 9957647,06

1400 – 2100 | 1750 | 37 | 64750 | 88 | 158,82 | 5876,471 | 25224,9135 | 933321,799

2100 – 2800 | 2450 | 21 | 51450 | 109 | 858,82 | 18035,29 | 737577,855 | 15489134,9

понад 2800 | 3150 | 10 | 31500 | 119 | 1558,82 | 15588,24 | 2429930,8 | 24299308

Разом | 119 | 189350 | 79000 | 76868235,3

Визначаємо середню арифметичну

==грн.;

Медіану:

Me=XMe+h*=1400+700=1560,81 грн

Моду:

Мо=ХМо+h*=

=1400+700=1516,67 грн.

Обчислюємо розмах варіації:

R= xmax-xmin=3500-0=3500 грн.

Визначаємо моду і медіану графічним способом

Рисунок. 1.1 - Гістограма. Графічне визначення моди.

Рисунок 1.2. – Кумулята. Графічне визначення моди.

Середнє лінійне відхилення

= = грн.

Дисперсія

2 =

Середнє квадратичне відхилення

= ==803,71 грн.

Лінійний коефіцієнт варіації

= 100 %=

Квадратичний коефіцієнт варіації

= 100 %=;

Порівняємо значення , Ме, Мо ;

= 1591,18, Мо=1516,67, Ме=1560,81, як бачимо > Ме > Мо , отже має місце правостороння асиметрія.

Стандартизоване відхилення: АS = =; так , як АS асиметрія правостороння.

Визначимо коефіцієнт асиметрії та ексцес за допомогою центральних моментів розподілу 3-го та 4-го порядку.

Таблиця 1.4 - Розрахунок значень центральних моментів 3-го та 4-го порядку

Межі інтер-валу | Середина інтервалу

(варіант),

x | Чисельність працівників (частота),

f

до 700 | 350 | 17 | 32504951557 | 4,03444E+13

700 – 1400 | 1050 | 34 | 5388844291