Розрахунок календаря

Зміст

Вступ

Тема даної курсової роботи – „Розрахунок календаря”.

Мета написання даної курсової роботи полягає в дослідженні питань, пов’язаних з історією і сутністю календаря та використанням ланцюгових і підхідних дробів для розрахунку календаря.

Основним завданням роботи є вивчення та узагальнення теоретичних та практичних питань розрахунку календаря, пов’язаних з використанням ланцюгових і підхідних дробів.

Актуальність обраної теми полягає в тому, що за свою історію людство використовувало (і використовує сьогодні) багато різних календарів. Для орієнтації в історичних подіях та узгодження даних різних календарів потрібно знати їх сутність та історію. Крім того, використані при розрахунку календарів ланцюгові та підхідні дроби можуть бути застосовані і інших областях, наприклад при розрахунку зубчатих передач.

В роботі розкриті наступні питання:

історія розвитку календарів (сонячного, місячного, юліанського, григоріанського);

використання ланцюгових і підхідних дробів для розрахунку календаря;

оригінальні календарі (Омара Хайама, майа);

тощо.

При написанні роботи автором були використані підручники і наукові статті з питань календаря і хронології.

1. Історія розвитку календарів

Календар (лат. calendarium) – це система лічення тривалих проміжків часу, в основі якої лежить зміна дня і ночі, фаз Місяця, пір року. В перекладі з латині слово “календар” означає боргову книгу, оскільки в Давньому Римі було прийнято проценти по боргам платити 1 числа кожного місяця, а перший день кожного місяця називався “Calendae” (календи). Виникнення календаря пов’язане з необхідністю організації господарської діяльності людини.

Першою природною одиницею часу була доба. Спочатку рахунок днів і ночей обмежувався числом 5 – по числу пальців на одній руці. Так зародився 5-денний (малий) тиждень.

Пізніше древні народи звернули увагу на зміну фаз Місяця: новий Місяць, перша чверть, повний Місяць, остання чверть. Проміжок між двома однаковими фазами Місяця спочатку визначався як 30 днів. Так з’явилася більша одиниця виміру часу – місяць. Тиждень (7 днів) виник як чверть місяця. Для визначення сезонів використовували сонячний календар.

Таким чином є календарі сонячні (у яких основна одиниця – тропічний рік), місячні (основна одиниця – синодичний місяць) та місячно-сонячні (основні одиниці – місяць і рік). За означенням: тропічний рік – проміжок часу між двома послідовними проходженнями центра Сонця через точку весняного рівнодення; синодичний місяць – проміжок часу між двома послідовними однаковими фазами Місяця (29,5 діб).

Початок року за сонячним календарем завжди випадає на ту саму пору року. У місячному календарі початок року (що має 12 місяців поперемінно по 29 чи 30 діб) може випадати на інший сезон. Щоб позбутися розбіжності між обліком часу за зміною фаз Місяця і реальною зміною сезонів у деякі календарні роки місячного календаря впроваджуються додаткові місяці. Виправлений так календар називається місячно-сонячним. Місячно-сонячним календарем користувались у багатьох країнах світу, в тому числі у Київській Русі до прийняття християнства. Українські назви місяців відображають сезонні зміни. Назви місяців, що увійшли у побут багатьох народів, прийшли з Давнього Риму. Місячними та місячно-сонячними календарями дотепер користуються у багатьох країнах Африки, Близького та Далекого Сходу.

2. Сонячні календарі

2.1. Математична теорія сонячних календарів (використання ланцюгових і підхідних дробів для розрахунку календаря)

Найпоширеніший сучасний міжнародний календар – сонячний. При розрахунку сонячного календаря виникає наступна проблема: довжина тропічного року рівна 365,24220 діб, а реальний календарний рік повинен містити ціле число діб: 365 або 366. Тому для узгодження календарного року з тропічним необхідно через певне число простих років (365 діб) вводити високосні (366 діб).

Розглянемо задачу розрахунку сонячного календаря (чергування простих і високосних років) з використанням ланцюгових і підхідних дробів. Простий рік (365 діб) буде коротший на 0,24220 діб за тропічний. Представимо цей десятковий дріб у вигляді простого дробу 24220/100000 або 1211/5000. Це означає, що розходження за 5000 років буде 1211 діб. Для того, щоб середню тривалість календарного року наблизити до тропічного, потрібно за ці 5000 років в календар ввести 1211 високосних років. Щоб не пов’язувати виправлення календаря з таким великим проміжком часу, потрібно перетворити дріб 1211/5000 в інший дріб, у якого числівник і знаменник будуть меншими.

Для рішення поставленої задачі використаємо спосіб послідовного ділення, відомим в теорії чисел під назвою алгоритму Евкліда. Спосіб послідовного ділення дає можливість правильний дріб представити у вигляді ланцюгового (або неперервного) дробу. При цьому числові значення послідовно отримуваних дробів називаються підхідними дробами. Точне значення ланцюгового дробу знаходиться між двома сусідніми підхідними дробами.

Знайдемо кілька послідовних підхідних дробів К1, К2, К3, ... Для знаходження першого підхідного дробу К1 потрібно числівник і знаменник дробу розділити на числівник і представити його в такому вигляді:

.

Якщо знехтувати дробом 156/1211, то перший підхідний дріб К1 буде рівний ј або в десяткових знаках (з точністю до п’ятого знаку після коми) 0,25000.

Отриманий нами з результаті першого наближення підхідний дріб відрізняється від дробу 0,24220 на величину 0,00780. Ця різниця ще дуже велика. Тому продовжимо розрахунки і знайдемо підхідний дріб К2, який буде менше відрізнятися від дробу 0,24220.

Для цього з відкинутим вище дробом поступимо таким же чином: ділимо числівник і знаменник на числівник. Тоді шуканий дріб прийме вигляд

.

Якщо знехтувати дробом , то другий підхідний дріб К2 буде рівний

або в десяткових знаках К2=0,24138.

Цей підхідний дріб відрізняється від дробу 0,24220 всього на величину 0,00082. Продовжимо наші обчислення і знайдемо третій підхідний дріб К3:

.

Якщо знехтувати дробом , то третій підхідний дріб К3 буде рівний

або в десяткових знаках К3=0,24242.

Цей підхідний дріб відрізняється від дробу