тропічного року (365,24220) всього на 0,00022 діб і дає похибку в одну добу на 4500 років. Таким чином календар Омара Хайама точніший за григоріанський.
3. Місячні і місячно-сонячні календарі (використання ланцюгових і підхідних дробів для розрахунку календаря)
3.1.Місячні календарі
В країнах Сходу культ місяця мав велике значення, що й сприяло створенню місячного календаря. Необхідність в одиниці часу більшій, ніж місяць, привела до місячного року, який складається з 12 місячних місяців. Точна тривалість місячного року 354,36706 діб.
Всі непарні місяці (1, 3, 5, 7, 9 і 11) мають 30 днів, а парні (2, 4, 6, 8,10 і 12) – по 29 днів. Тоді в календарному році буде 354 діб. Але помилка, яку ми вводимо, приймаючи місяці рівними 29 і 30 днів, буде поступово накопичуватися. Для виправлення цієї помилки можна вводити високосні місячні роки.
Для рішення задачі про вибір системи високосних років важливо підібрати таке число місячних років, яке б найкращим чином наближалося до цілого числа днів. Тривалість місячного астрономічного року будемо послідовно множити на числа 2, 3, 4 … до тих пір, поки отриманий добуток не підійде найближче до цілого числа.
Найкращими співвідношеннями є такі:
354,36706 * 8 = 2834,936,
354,36706 * 30 = 10631,012.
Тільки ці дві рівності і отримали практичне використання в усіх діючих місячних календарях. Перша рівність, тобто 8-річний цикл, отримала назву “турецького циклу”, а 30-річна періодичність – “арабського циклу”.
Розглянуті два види місячних календарів є тільки частковими випадками. В загальному випадку ця задача може бути вирішена так само, як у випадку сонячних календарів. В такому випадку, виходячи з рівності
29,530588 * 12 = 354,36706,
нам потрібно десяткову частину тривалості місячного року, тобто величину 0,36706, розкласти в неперервний дріб. Тоді отримаємо
Послідовний розв’язок цієї рівності приведе до наступних дробів:
К= …
Тут значення К=3/8 і К=11/30 є тими підхідними дробами, які були знайдені іншими методами для “турецького” і “арабського” календарів.
3.2. Місячно-сонячні календарі
Місячно-сонячні календарі набагато складніші як за місячні, так і за сонячні календарі. В них необхідно, щоб початки календарних місяців були якнайближче до нового Місяця, а сума деякого числа місячних місяців найбільш точно відповідала тривалості тропічного року. Таким чином, в місячно-сонячних календарях потрібно узгодити зміну місячних фаз з річним рухом сонця. В основу теорії місячних календарів покладено наступні постійні величини:
1 тропічний рік = 365,24220 діб,
1 синодичний місяць = 29,53059 діб.
Розділивши першу величину на другу, отримаємо
А = .
Тобто в сонячному році 12 повних місяців і деякий дріб.
Аналогічно до того, як ми поступали при розгляді сонячного календаря, отриманий простий дріб розгорнемо в неперервний і отримаємо ряд підхідних дробів. В загальному випадку цей дріб можна записати так:
Послідовно розв’язуючи його, отримаємо підхідні дроби:
…
Ці дроби дають нам наступні наближені:
1 сонячний рік = 12 Ѕ місячного місяця;
1 сонячний рік = 12 1/3 місячного місяця;
1 сонячний рік = 12 3/8 місячного місяця;
1 сонячний рік = 12 4/11 місячного місяця;
1 сонячний рік = 12 7/19 місячного місяця.
Розглянуті перші п’ять наближень були використані в історії людства в ряді календарних систем.
4. Календар майа
Дуже цікавий і оригінальний календар було створено індіанцями майа (сучасна територія Гватемали, півдня Мексики і Гондураса). На сьогоднішній час відомо, що майа використовували одночасно дві календарні системи, що відрізнялися за тривалістю: довгий рік і короткий рік. Перший використовувався в громадському житті, а другий був пов’язаний з релігійними обрядами.
Довгий 365-денний рік (“хааб”). Майа знали два види довгих років. Рік в 360 днів називався “тун” і використовувався для спеціальних цілей. В побуті ж використовувався 365-денний рік “хааб”, який мав 18 місяців по 20 днів. В кінці такого року додавалося ще 5 днів, що отримали назву “днів без імені”. Жреці знали, що “хааб” на долі дня коротший істинного сонячного року і що за 60 років накопичується 15 зайвих діб. Двадцять днів в місяці календаря майа зображувалися особливими ієрогліфами і мали спеціальні назви.
Багато дослідників культури майа вважають, що календар майа точніший за григоріанський. Вони пояснюють це тим, що, хоча майа не мали астрономічних інструментів, але вони навчилися досягати високої точності своїх спостережень небесних світил, використовуючи особливий метод. В цьому методі спостереження велися через довгі і вузькі прорізи, свого роду “приціли”.
Короткий 260-денний рік (“цолькін”). Зовсім інакше був побудований короткий календарний рік майа, що називався “цолькін” і мав ритуальне значення. Він складався всього з 260 днів і ділився на 13 місяців, як містили по 20 днів. Інша особливість цього календаря – це тиждень з 13 днів. Тому “цолькін” являв собою комбінацію 20-денних місяців і 13-денних тижнів. Правда, з деяких ієрогліфічних текстів можна зробити висновок, що у древніх майа був також 9-денний тиждень, в якому рахунок вівся не по дням, а по ночам.
В календарі майа було ще два більш довгих цикла: 4-річний, в якому повторювалися назви днів і числа місяців, і 52-річний (що являв собою комбінацію “хааба” і “цолькіна”). Останній складався з тринадцяти 4-річних циклів і охоплював період в 18980 днів. В ньому повторювалися не тільки дні і числа тижня, але і числа місяця. Насправді, період в 18980 днів містив 52 “хааба” (365 * 52 = 18980) і в той же час 73 “цолькіна” (260 * 73 = 18980). Ця залежність і складала основу гармонії календаря майя.
Місячний календар. Древні майя користувалися також особливим місячним календарем, кожний місяць якого