Вища математика

ПЛАН

1. Предмет і методи математики

Від античності до ХIХ століття існувала загальна одностайність по питанню про те, що є основними об’єктами математики: це — числа, змінні величини, функції та фігури, якi вивчаються у відповідних її розділах: арифметиці, алгебрі, аналізі, геометрії. Тому й загально прийняте до недавнього часу означення математики мало вигляд: “Математика — це наука, що вивчає просторові форми та кiлькiснi співвідношення реального світу”.

В цілому розвиток математики треба розуміти насамперед як результат взаємодії логіки її предмета, відображеної у внутрішній логіці самої математики, впливу виробництва і зв'язків з природознавством. Цей розвиток відбувається складними шляхами боротьби протилежностей, охоплюючи істотні зміни в основному змісті й формах математики. За змістом розвиток математики визначається її предметом, але спонукається він в основному і в кінцевому підсумку потребами виробництва. Така основна закономірність розвитку математики.

Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу, отже — дуже реальний матеріал. Той факт, що цей матеріал набирає надзвичайно абстрактної форми, може лише слабо затушувати його походження із зовнішнього світу. Але щоб бути спроможним дослідити ці форми і відношення в чистому вигляді, треба цілком відокремити їх від їхнього змісту, залишити цей останній осторонь як щось неістотне; таким шляхом ми дістаємо точки, позбавлені вимірів, лінії, позбавлені товщини й ширини, різні а і b, x і у, постійні і змінні величини, і лише в самому кінці ми доходимо до продуктів вільної творчості і уяви самого розуму, а саме — до мнимих величин. Перш ніж прийти де думки виводити форму циліндра з обертань прямокутника навколо однієї з його сторін, треба було дослідити певну кількість реальних прямокутників та циліндрів, хоча б і в дуже недосконалих формах. Як і всі інші науки, математика виникла з практичних потреб людей: з вимірювання площ земельних ділянок і місткості посудин, з обчислення часу та з механіки. Але, як і в усіх інших галузях мислення, закони, абстраговані від реального світу, на певному ступені розвитку відриваються від реального світу, протиставляться йому як щось самостійне, як закони, що з'явились іззовні, з якими світ повинен узгоджуватись. Так було з суспільством і державою, так, а не інакше, чиста математика застосовується згодом до світу, хоч вона взята з цього самого світу і тільки виражає частину властивих йому форм зв'язків,— і якраз тільки тому і може взагалі застосовуватись.

До чистої математики належать ті дисципліни, які розглядають кількість, повністю абстраговану від матерії і фізичних аксіом. Цих дисциплін дві — геометрія і арифметика. Перша розглядає неперервну кількість, друга—дискретну.

Подати зміст математики — це завдання непосильне; сказати, що це наука про величини та їх взаємні відношення, це буде лиш невелика частина, яка не вичерпує її змісту, бо ж до математики — побіч чисел і геометричних величин, побіч величин неперервних і дискретних — входить і наука про комбінаторику, і про групи, і вищі числа і їх комплекси, і про вищі простори і т. д., до яких назву величини можна прикладати лиш з деякими застереженнями.

Зміст математики постійно змінюється. Це природний процес, бо в міру вивчення природи, розвитку техніки, економіки й інших галузей знання виникають нові задачі, для розв'язування яких недостатньо попередніх математичних понять і методів дослідження. Виникає потреба далі вдосконалювати математичну науку, розширювати арсенал її засобів дослідження.

Математика — це мова плюс міркування, це наче мова й логіка разом. Математика — знаряддя для міркування. У ній сконцентровані результати точного мислення багатьох людей.

Прийняте в XX ст. означення математики як науки про нескінченне слід би замінити іншим, яке правильніше відображає її суть як науки про співвідношення скінченого і нескінченного.

Г. Кантор в 1883 р. проголосив, що “математика повністю вільна в своєму розвитку i її поняття пов’язані лише необхідністю бути непротирічними та узгодженими з поняттями, введеними раніше засобами точних означень”. Перегляд евклідової геометрії завершив розповсюдження та популяризацію цих ідей. Відтоді признається, що насправді геометрія не залежить від геометричних сутностей і являє собою чисте вивчення відношень між ними. Цю концепцію Д. Гiльберт розвинув до логічного завершення, підкресливши, що самі назви основних понять математичної теорії можна вибрати довільно. (Згідно відомої легенди, Д. Гiльберт проілюстрував цю ідею словами: “…можна було б, нічого не змінюючи в геометрії, слова “крапка”, “пряма” та “площина” замінити словами “стіл”, “стілець” та “пивна пляшка”).

В математиці з’являється хвиля нових об’єктів: мнимості Галуа, ідеальні числа Кумера, комплексні числа та кватерніони, n-вимірні простори, полівектори, тензори тощо, а також такі “патологічні” об’єкти як: криві без дотичних, побудовані Больцано та Вейерштрасом, неевклідові геометрії і тому подібне.

Таким чином, до 1900 року в математиці в основному викристалізувалося поняття нового на той час математичного об’єкту — “математичної структури”, яке в наступні роки розвинулось в сформовану теорію.

Основною задачею математиків при побудові нових математичних об’єктів було проведення доведень теорем та інших положень, що складали, власне, теорію цих об’єктів.

Враховуючи це, група видатних математиків, що виступали під псевдонімом Нiкола Бурбакн дали таке означення: “Математика — це наука, що вивчає математичні структури”.

Тоді можна сказати, що предметом математики є об’єкти математики (математичні структури) та задача доведення їх властивостей.

Математика, що є найдавнішою з усіх наук, разом з тим лишається завжди молодою наукою, яка бурхливо розвивається, яка весь час розширює галузі свого пізнання,