З появою ЕОМ почали широко розроблятися методи чисельних прогнозів погоди в багатьох країнах. Нині в світовій науці чисельні методи прогнозів атмосферних явищ як на короткий, так і на тривалий строк вважаються дуже важкими, але все-таки найбільш перспективними.

Розвиток математики завжди відбувався у тісному зв'язку з природознавством і технікою.

Запровадження математичних методів перетворює галузі знання і не лише ставить їх на вищий ступінь логічного мислення, а й відкриває нові можливості, нові постановки задач, дає змогу по-новому дивитися на явища. Досить згадати, які революційні принципові зрушення в розвитку природознавства дали аналіз нескінченно малих, теорія імовірностей, теорія операторів і, нарешті, в наш час пізнання логічних процесів, яке бурхливо розвивається.

Математика завжди впливала на розвиток природничих наук і науково-технічний прогрес кожної епохи. Причому вплив математики здійснювався і здійснюється звичайно через побудову математичних моделей. Створення цих моделей у різних галузях показало велике значення цього методу пізнання якісних законів природи для успішного розвитку найважливіших напрямів досліджень.

Математика необхідна природознавству, оскільки вона дає змогу дістати нові результати, наперед зовсім не очевидні, хоч у рідкісних випадках вони можуть бути вгадані інтуїтивно.

3. Характерні риси математичного моделювання

Історія виникнення моделювання (у своєму первісному понятті) як методу пізнання навколишнього світу сягає корінням, напевно, ще “в сиву давнину”, коли людина почала вперше застосовувати форми-моделi для виготовлення виробів з бронзи та дорогоцінних металів за допомогою лиття. Археологи датують ці події III тис. до нашої ери. В подальшому, поруч з такими методами наукового пізнання, як спостереження, аналіз, експеримент тощо, моделювання міцно увійшло в актив інженерів та науковців.

Одним з перших застосувань ідеї моделювання було фізичне моделювання (макетування). Та все ж, експериментуванню з фізичними моделями притаманні суттєві недоліки: виготовлення моделей є подекуди трудомісткою справою і потребує досить багато часу, його вартість велика, методи вимірювання величин, що фігурують в моделі та підлягають визначенню, в основному є неточними, спотворюючими картину досліджень.

В міру розвитку і математизації природничих та технічних наук поруч з фізичним моделюванням, тобто дослідженням об’єкта через його матеріальне відтворення, набув розвитку інший шлях — математичне моделювання, при якому спочатку виконується опис об’єкта мовою математики, а потім проводиться дослідження саме цього опису — математичної моделі, знову ж таки, методами математики, тобто шляхом застосуванням певних математичних перетворень над математичною моделлю фізичного об’єкта.

Такий підхід до дослідження технічних об’єктів виявився дуже плідним і досить універсальним в силу абстрактності мови математики.

Універсальність дослідження реальних технічних систем за допомогою математичних моделей пов’язана, в першу чергу, з обмеженістю кількості видів базових математичних структур, що виникають при цьому як математичні моделі. Ця можливість багаторазового застосування одного й того ж математичного поняття до аналізу найрізноманітніших технічних задач робить надзвичайно цінною його абстрактне трактування.

Математична модель фізичного об’єкта (технічної системи) — це математична структура, елементи якої тлумачаться як iдеалiзованi реальні фізичні об’єкти, а абстрактні відношення між ними — як конкретні зв’язки між елементами фізичного об’єкта. Така модель дозволяє скласти компактний перелік властивостей об’єкта, аналізувати і прогнозувати ці властивості, а значить, як наслідок — і поведінку фізичного об’єкта.

Подальша деталізація поняття математичної моделі пов’язана з розглядом тих чи інших моделей на різних епiстемологiчних (пізнавальних) рівнях, тобто різних ступенях деталізації.

Тут також потрібно звернути увагу на те, що термін математичне моделювання в літературі використовується в широкому та вузькому значенні слова.

В широкому значенні моделювання — це метод пізнання (дослідження), що включає в себе побудову моделі, її подальший аналіз та інтерпретацію отриманих результатів, у вузькому — лише метод складання моделі (зокрема, наприклад, ідентифікація), а іноді навіть — лише метод її аналізу.

Іноді про це говорять іншими словами: існують пряма та обернена задачі моделювання, тобто аналіз моделі та її синтез. Задача аналізу моделі, фактично, зводиться до тієї чи іншої проблеми, що характеризує даний клас математичних структур. Задача синтезу полягає в тому, що необхідно за відомими результатами аналізу або вимірювань побудувати модель (визначити параметри моделі та її структуру).

У загальному випадку в процесі підготовки та проведення математичного моделювання виділяють такі етапи:

1. абстрагування: зосередження на властивостях, які є загальними для багатьох об’єктів чи ситуацій матеріального світу, та відволікання від існуючих між ними відмінностей;

2. представлення: вибір деякої множини засобів (символів, графічних образів тощо) для зображення абстрактних понять; представлення використовується також як засіб спілкування;

3. маніпуляція: правила перетворення символьного представлення як засіб передбачення результату аналогічних маніпуляцій в реальному свiтi;

4. інтерпретація: зворотний процес до формалізації;

5. аксiоматизацiя: строге формулювання тих властивостей, якi були виведені з реального світу і якi є загальними при маніпуляціях як в матеріальному свiтi, так і над абстрактними символами, що представляють реальний світ.

Перший та частково другий етапи відносяться до процесу формалізації задач, другий та третій — власне до моделювання задач, тобто до формування моделей, їх перетворення та аналізу, п’ятий — до обґрунтування методів моделювання і підготовки “плацдарму” для їх подальшого розвитку, удосконалення. На останніх етапах робиться спроба сконцентрувати основні фактичні відомості про об’єкти чи ситуації, якi охоплюються цим абстрактним поняттям, в декількох коротких, але потужних аксіомах і потім (маючи на увазі істинність аксіом) строго довести, що висновки, отримані в результаті маніпуляцій з цими абстрактними представленнями, є справедливими і для прообразів реального світу.

Детальний опис вказаних складових частин математичного моделювання і складає теорію математичного моделювання.

4. Роль