Отже, уt = 50,66 + 0,177t, тобто чисельність населення щороку зростала в середньому на 177 тис. чол.

Теоретичні рівні уt — це очікувані рівні чисельності населення в t-му році, тобто рівні, які зумовлені дією основних чинників процесу відтворення населення. Від-хилення від теоретичних рівнів використовують для оцін-ки сталості процесу.

Тенденція, що характеризується стабільною відносною швидкістю, описується показовою кривою , яка приво-диться до лінійного виду через логарифми . На відміну від параметрів лінійної функції параметри експоненти підлягають потенціюванню. Як приклад нелі-нійної тенденції розглянемо ряд динаміки чисельності на-селення одного міста (таблиця).

Таблиця. Динаміка чисельності населення міста

Рік |

у t тис. чол. | Розрахунок параметрів

lg Уt | t | tІ | lg yt | уt

1983 | 216,6 | 2,3359 — | 3 | 9 — | 7,0077 | 216,9

1984 | 223,6 | 2,3495 — | 2 | 4 — | 4,6990 | 223,0

1985 | 228,8 | 2,3594 — | 1 | 1 — | 2,3594 | 229,2

1986 | 236.3 | 2,3735 | 0 | 0 | 0 | 235,6

1987 | 242 1 | 2.3В40 | 1 | 1 | 23840 | 242,2

1988 | 248,9 | 2,3961 | 2 | 4 | 4,7922 | 249,1

1989 | 255,6 | 2,4075 | 3 | 9 | 7,2225 | 255,9

Разом | 1651,9 | 16,6059 | 0 | 28 | 0,3326 | 1651,9

Згідно з розрахунками

Отже, Yt = 235,7 * 1,028t, тобто чисельність населення міста щорічно зростала в середньому на 2,8 %.

3.1. Метод збільшення інтервалів.

Безпосереднє виділення тренда може бути зроблено трьома методами.

1. Укрупнення інтервалів. Ряд динаміки розділяють на деяке досить велике число рівних інтервалів. Якщо середні рівні по інтервалах не дозволяють побачити тенденцію розвитку явища, переходять до розрахунку рівнів за великі проміжки часу, збільшуючи довжину кожного інтервалу i (одночасно зменшується кількість інтервалів).

3.2. Методика ковзних середніх.

2. Ковзна середня. У цьому методі вихідні рівні ряду заміняються середніми величинами, що одержують з даного рівня і декількох симетрично його навколишніх. Ціле число рівнів, по яких розраховується середнє значення, називають інтервалом згладжування. Інтервал може бути непарним (3, 5, 7 і т.д. крапок) чи парним (2, 4, 6 і т.д. крапок).

При непарному згладжуванні отримане середнє арифметичне значення закріплюють за серединою розрахункового інтервалу, при парному цього робити не можна. Тому при обробці ряду парними інтервалами їх штучно роблять I непарними, для чого утворять найближчий більший непарний інтервал, але з крайніх його рівнів беруть тільки 50 %.

Недолік методики згладжування ковзними середніми складається в умовності визначення згладжених рівнів для крапок на початку і кінці ряду. Одержують їх спеціальними прийомами — розрахунком середньої арифметичної зваженої. Так, при згладжуванні по трьох крапках вирівняне значення на початку ряду розраховується по формулі

У1 = (5У1 + 2У2 - У3) / 6 .

Для останньої крапки розрахунок симетричний.

При згладжуванні по п'ятьох крапках маємо:

У1 = (3У1 + 2У2 + У3 – У4)/ 5

У2 = (4У1 + 3У2 - 2У3 +У4)/ 10

Для останніх двох крапок ряду розрахунок згладжених значень цілком симетричний згладжуванню в двох початкових крапках.

Формули розрахунку по ковзної середній виглядають, зокрема, у такий спосіб:

для 3-членної У = (У1 + У2 + У3)/3

для 5-членної У =(У1 + У2 + У3 + У4)/5

3.3. Аналітичне вирівнювання.

Під цим розуміють визначення основної тенденції розвитку, що виявляється в часі, досліджуваного явища. Розвиток з'являється перед дослідником як би в залежності тільки від перебігу часу. У підсумку вирівнювання тимчасового ряду одержують найбільш загальний, сумарний, що виявляється в часі результат дії всіх причинних факторів. Відхилення конкретних рівнів ряду від рівнів, що відповідають загальної тенденції, пояснюють дією факторів, що виявляються чи випадково циклічно. У результаті приходять до трендовой моделі

Уt = f (t) + е,. де f(t) — рівень, обумовлений тенденцією розвитку;

Yt — випадкове і циклічне відхилення від тенденції.

Ціллю аналітичного вирівнювання динамічного ряду являється визначення аналітичної чи графічної залежності f(t): Як практиці по наявному тимчасовому ряді задають вид і находять параметри функції f(t), а потім аналізують поводження відхилень від тенденції. Функцію f(t) вибирають таким чином, щоб вона давала змістовне пояснення досліджуваного процесу.

Найчастіше при вирівнюванні використовуються наступні залежності:

лінійна f(t) = а0 + a,t;

параболічна f(t) = а0 + a,t + a2t2,

експонентні f(t) = exp(a0 + a,t)

чи f(t) = exp(a0 + a1t + a2t2) .

Лінійна залежність вибирається в тих випадках, коли у вихідному тимчасовому ряді спостерігаються більш-менш постійні абсолютні ланцюгові прирости, що не виявляють тенденції ні до збільшення, ні до зниження.

Параболічна залежність використовується, якщо абсолютні ланцюгові прирости самі по собі виявляють деяку тенденцію розвитку, але абсолютні ланцюгові прирости абсолютних ланцюгових приростів (різниці другого порядку) ніякої тенденції розвитку не виявляють.

Експонентні залежності застосовуються, якщо у вихідному тимчасовому ряді спостерігається або більш-менш постійний відносний ріст (стійкість ланцюгових темпів росту, темпів приросту, коефіцієнтів росту), або, при відсутності такої сталості, — стійкість у зміні показників відносного росту (ланцюгових темпів росту ланцюгових же темпів росту, ланцюгових коефіцієнтів росту ланцюгових же чи коефіцієнтів темпів росту і т.п.). Оцінка параметрів (а0, а1, а2, ...) здійснюється наступними методами:

1) методом обраних крапок,

2) методом найменших відстаней,

У більшості розрахунків використовують метод найменших квадратів, що забезпечує найменшу суму квадратів відхилень фактичних рівнів від вирівняних:

Для лінійної залежності (f(t) = а0 + a1t) параметр а0 звичайно інтерпретації не має, але іноді його розглядають як