Введемо додаткові позначення. Нехай x позначає деяку змінну, значення якої можуть мати деяку властивість P. Такі змінні називаються предметними. Висловлення "x має властивість P" позначимо P(x). Наприклад, висловлення "Ціле число x є парним" позначимо E(x). Значення такого висловлення залежить від значення цієї змінної. При x=1 висловлення E(x) хибне, при x=2 – істинне. Замість літери x можна записати її значення, наприклад, E(2).

Речення "Кожне значення x має властивість P", або "Всі значення x мають властивість P", або "Всі x мають властивість P", або "При всіх x справджується властивість P" позначимо записом x P(x). У цьому записі частина x називається квантором загальності. Слово "квантор" походить від слова "квантифікація", що означає "кількісне вираження". Продовжуючи приклад про парні числа, зауважимо, що твердження x E(x) є хибним.

Речення "Існує значення x, що має властивість P", або "Деякі значення x мають властивість P", або "При деякому значенні x справджується властивість P", або "Деякі x мають властивість P" позначимо записом x P(x). У цьому записі частина x називається квантором існування. Очевидно, що у прикладі про парні числа твердження x E(x) є істинним.

Очевидно, що

x P(x) x P(x),

причому твердження x P(x) і x P(x) нерівносильні.

Розглянемо деякі з можливих застосувань пропозиційних зв'язок до виразів із кванторами. Заперечення (x P(x)) читається як "неістинно, що всі значення x мають властивість P", тобто як "існує значення x, що не має властивості P". Таке речення можна позначити як x P(x). Таким чином,

(x P(x)) x P(x).

Аналогічно

(x P(x)) x P(x).

Висловлення x P(x) x Q(x) читається як "всі значення x мають властивість P і всі значення x мають властивість Q", тобто "всі значення x мають властивість P і властивість Q". Таким чином,

(x P(x))(x Q(x)) x (P(x)Q(x)).

Висловлення x P(x) x Q(x) читається як "усі значення x мають властивість P або всі значення x мають властивість Q". З цього речення випливає, що "усі значення x мають властивість P або властивість Q", але ці два речення не рівносильні. Таким чином, x(P(x)Q(x)) є логічним висновком висловлення (x P(x))(x Q(x)), тобто

((x P(x))(x Q(x))) x(P(x)Q(x)),

але вони нерівносильні.

Приклад. Якщо P(x) позначає речення "x – парне число", а Q(x) – "x – непарне число", то висловлення x(P(x)Q(x)) є істинним, а (x P(x))(x Q(x)) – хибним.

Насамкінець, розглянемо речення з двома й більше кванторами. Вони з'являються, коли йдеться про властивості пар, трійок тощо змінних. Наприклад, речення "При будь-якому натуральному значенні x існує значення y, таке, що x є дільником y" можна записати як

x (y D(x, y)),

де D(x, y) позначає речення "x є дільником y".

Речення вигляду "При будь-якому значенні x справджується, що при будь-якому значенні y істинно A(x, y)" можна позначити так:

x (y A(x, y)).

Будемо опускати дужки, записуючи, наприклад, x y D(x, y) або x y A(x, y). Останній вираз можна прочитати також, як "При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y істинно A(x, y)".

Аналогічно речення вигляду " При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y і при будь-якому значенні z істинно A(x, y, z)" можна позначити виразом

x y z A(x, y, z).

І так далі. Розглянемо, наприклад, твердження великої теореми Ферма:

Рівняння zn=xn+yn, де n – ціле число, більше 2, не має розв'язків у цілих додатних числах.

Одним із можливих записів цього твердження є такий:

x y z n ((n>2) (znxn+yn)).