Так, слово "є", за допомогою якого виражається зв'язок між S і Р у судженнях, котрі мають структуру "S є Р", багатозначне, воно має різноманітний логічний зміст. Наприклад, у судженні "Договір є угода" слово "є" виражає відношення включення S у Р (включення класу договорів до класу угод). У судженні "Іванов визнаний винним" воно виражає відношення елемента класу до всіх класів.

Щоб усунути цю багатозначність слова "є", користуються знаками (символами). Відношення рівнозначності між S і Р позначають знаком "=" або "?", а відношення елемента класу до класів — знаком є.

Символи, за допомогою яких позначають логічні постійні інших видів суджень, будуть розглянуті при описуванні цих суджень.

Судження і пропозиційна функція

Від судження слід відрізняти мовний вислів, що дістав назву "пропозиційна функція або функція висловлювання".

Пропорційною функцією називається такий граматичний вислів, який має форму стверджувального судження, в котрому відоме тільки те, що стверджується про предмет думки, сам же предмет думки залишається невідомим (неозначеним).

Пояснимо на прикладах. Візьмімо такі судження:

Суддя — юрист.

Слідчий — юрист.

Адвокат — юрист.

Предикат у цих суджень один і той же – “юрист”, а суб’єкт – різний: “суддя”, “слідчий”, “адвокат”. Якщо замінити суб’єкт цих суджень знаком х, то дістанемо вираз: х – юрист.

Таке мовне висловлювання називається про позиційною функцією, або функцією висловлювання. Як приклади можна навести такі: “х – людина”, “х – норма права”, "х > у" тощо.

Пропозиційна функція не є судженням, вона не істинна й не хибна, її не можна ні спростувати, ні довести. Функція висловлювання стає судженням лише тоді, коли на місце невідомого предмета (змінної х) стає якийсь конкретний предмет. Наприклад, якщо ми візьмемо функцію висловлювання "х — норма права" і підставимо під х щось конкретне, визначене, то матимемо судження, яке буде або істинним, або хибним: "Стаття 144 КК України — норма права" — судження, до того ж істинне, а "Вирок народного суду в справі Петренка — норма права" — судження, але хибне.

У пропорційній функції розрізняють аргумент і предикат. У функції висловлювання "х – юрист" знак х — аргумент, а поняття "юрист" — предикат. У функції висловлювання "х менший від у" один предикат — поняття "менший" і два аргументи — х та у; у пропозиційній функції "х знаходиться між у і z" один предикат — поняття "знаходитися" і три аргументи — х, у і z. Звідси й розрізняють одномісні пропозиційні функції (з одним аргументом) і багатомісні

пропозиційні функції (з кількома аргументами).

Пропозиційні функції у вигляді формул записують так:

Р(х), Р(х, у), Р(х, у, z) і т. д., де х, у, z — предметні змінні (аргументи), а Р — предикат, який виражає конкретну властивість або відношення.

Поняття про квантори

У традиційній (аристотелівській) логіці для вираження кількості судження використовують слова: "всі", "жоден", "кожен", "деякі" тощо. Наприклад, загальне судження "Всі метали — провідники" записують у вигляді формули так: "Всі S є Р".

Математична логіка увела для кількісної характеристики суджень (висловлювань) спеціальні оператори, що дістали назву кванторів (від латинського слова quantum — скільки).

Квантори бувають двох видів: квантор існування і квантор спільності.

Квантор спільності означає вислів: "Для усякого (всіх) х”. Позначається він знаком — х.

Квантор існування позначає ствердження: "Існують такі х". Відображається знаком — х.

Використовуючи квантори, ми можемо виразити у символах математичної логіки всі чотири типи судження (А, Е, І, 0} за кількістю і якістю. Загальноствердні судження А ("Всі S є Р") можуть бути записані так: х (якщо х є S, то х є Р), або коротше: х (S(х)—>Р(х)), де знак "–>" позначає сполучник "якщо... ...то". Цей вираз читається так: "Якщо усякий предмет володіє властивістю S, то він володіє і властивістю Р", або "Всі S є Р", Наприклад, судження "Будь-який договір є угода" ("Всі S є Р") можна записати так: х (якщо х — договір, то х є угода"). Читається цей вислів так: "Будь-який предмет х, який володіє властивістю договору, володіє і властивістю угоди".

Загальнозаперечне судження Е ("Жодне S не є Р") можна виразити так: х (якщо х є S, то х не є Р), або коротше:

х(S(х) –> Р(х)).

Знак "—“, поставлений над виразом Р(х), означає заперечення Р(х). У цілому ця формула читається так: "Будь-який предмет х, який має властивість S, не володіє властивістю Р", або "Жодне S не є Р".

Наприклад, таке конкретне судження, як "Жоден свідок у справі I. не знав потерпілого" ("Жодне S не є Р "), записується так: Aх (якщо х — свідок у справі І., то х не знав потерпілого), яке читається: "Для будь-якого х правильно, що коли він володіє властивістю бути свідком у справі І., то він не володіє властивістю знати потерпілого". У цьому прикладі х належить до області людей.

Частковоствердне судження ("Деякі S не є Р") може бути виражене так:

х (хєS і xєР).

Якщо у цій формулі сполучник "і" замінити знаком , то вона матиме такий вигляд:

х(S(х) Р(х)).

Читається цей вираз так: "Існує предмет х, який має властивість S і Р, або «Деякі S є Р».

Наприклад, якщо судження "Деякі договори є відплатні записати за допомогою квантора існування (х ) у вигляді формули, то матимемо "х (х — договір і х — відплатний)".Читається цей вираз так: "Існує предмет х, який має властивість договору