Задачі на ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ

Під цим принципом розуміють наступне твердження: "Якщо n +1 предмет розмістити на n місцях, то знайдеться хоча б два об'єкта, які розмістяться на одному й тому ж місці".

У жартівливій формі принцип Діріхле часто формулюють так: "Якщо потрібно 5 пташок посадити в чотири клітки, то кожна пташка не матиме власної клітки (дві з них обов'язково будуть в одній клітці)".

Багато задач на принцип Діріхле розв'язуються за допомогою контр прикладу чи підтверджуючого прикладу.

Приклад.

В школі 740 учнів. Довести, що хоча б троє з них святкують свій день народження в один і той же день.

Розв'язання.

Якщо б щоденно тільки двоє учнів святкували свій день народження, то в школі було б максимум 732 учня навіть у високосний рік. (365 * 2 = 730; 366 * 2 = 732)

Вправи.

1. В гімназії 370 учнів. Чи знайдуться у цій школі хоча б два гімназиста, у яких день народження випадає на одну й ту ж дату календаря

2. В чотирьох класах ліцею навчається 60 учнів. Доведіть, що хоча б двоє з них святкують свій день народження в один і той же тиждень.

3. В ящику лежать 60 прапорців: червоні, зелені, жовті і сині. Яку найменшу кількість прапорців можна взяти, не дивлячись, щоб серед них виявилось не менше, ніж 10 одного кольору

Задачі на ПЕРЕЛИВАННЯ РІДИН

Задачі цієї серії передбачають багаторазове наливання і виливання рідини. Їх розв'язок сприяє розвитку винахідливості, оригінальності мислення.

Наприклад. В одну посудину входить 3 л, а в другу - 5 л. Як із їх допомогою налити в глечик із крану 4 л води?

Розв'язок.

Наповнюємо посудину місткістю 5 л і відливаємо в посудину місткістю 3 л; 2 л, які залишились переливаємо в глечик, виливаємо воду із трьохлітрової посудини; повторюємо ще раз вказану процедуру.

І-3л | 0 | 3 | 3 | 0 | 0 | 3 | 3 | 0

Н-5л | 5 | 2 | 0 | 0 | 5 | 2 | 0 | 0

глечик | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4

Вправи.

1. Як Лисиці розділити між двома Ведмежатами 12 л молока
порівну за допомогою бідонів місткістю 3 л і 8 л?

2. Як за допомогою двох відер на 2 л і 7 л Ємелі набрати 3 л води із
річки?

Задачі на ЗВАЖУВАННЯ МОНЕТ

В найпростіших із таких задач необхідно знайти фальшиву монету (наприклад, найлегшу) за допомогою терезів без важелів.

Загальний спосіб рішення цих задач полягає в тому, що дана кількість монет ділиться на три частини (по можливості рівних). При одному зважуванні двох частин з різних частин терезів виділяється частина, що містить фальшиву монету. Далі процес повторюється до тих пір, доки у виділеній частині не залишиться один предмет.

Приклад. Як за допомогою лише одного зважування виділити із трьох монет одну фальшиву (найлегшу)?

Розв'язання.

Кладемо на дві чаші терезів по одній монеті, а третю відкладаємо в сторону.

Якщо чаші зрівноважені, то відкладена монета є фальшивою; якщо ні, то терези відразу покажуть найлегшу фальшиву монету.

Вправи.

1. Допоможіть коту Матроскіну знайти фальшиву монету серед 9 монет (вона легша за справжні) за допомогою двох зважувань на чашах терезів без важелів.

2. Джеррі посперечався з Томом, що Том не зможе за три
зважування знайти фальшиву монету із 27 штук. А ви зможете?

3. Допоможіть листоноші Печкіну знайти фальшиву монету із 15
за допомогою трьох зважувань.

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ

Задачі цієї серії не мають прямого зв'язку з будь-яким навчальним матеріалом; їх можна використовувати з ціллю розвитку у молодших школярів стверджувальних роздумів, показуючи учням красу і простоту логічних роздумів, сприяти розвитку їх логічного мислення.

Наприклад.

Турист потрапив на острів, де живуть аборигени і прибульці. Аборигени завжди говорять правду, а прибульці зажди брешуть. Турист найняв на острові провідника. Ким був провідник: прибульцем чи аборигеном, якщо, зустрівши іншого жителя острова, він перевів туристу, що той назвав себе аборигеном?

Розв'язання.

Ким би не був туземець, він назве себе аборигеном (абориген - той, який завжди говорить правду, прибулець - той, який завжди бреше). Отже, провідник сказав правду і тому він сам - абориген.

Багато логічних задач можуть розв'язуватися методом виключення з використанням табличного способу.

Наприклад. Зустрілись три товариша: скульптор Бєлов, скрипаль Чернов і художник Рижов. "Ні у кого із нас колір волосся не відповідає прізвищу," -сказав брюнет. "Ти правий", - сказав Бєлов. Який колір волосся у художника? |

Бєлов | Чернов | Рижов

Блондин | -1 | +7 | -8

Брюнет | -4 | -2 | +9

Рудий | +5 | -6 | -3

1) Ставимо 4 знаки "-"

а) так як Бєлов не блондин, і т. д. за аналогією (до умови);

б) так як Бєлов не брюнет (за умовою).

Ставимо знак "+", враховуючи, що в кожному стовпчику і
рядочку лише одне висловлювання вірне.

Розставляємо решту знаків. Заповнюємо таблицю.

Із трьох хлопчиків (Антон, Богдан і Віталій) два відмінники. Хто з
них відмінники, якщо в парах Антон і Богдан, Богдан і Віталій по одному відміннику.

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ-ЖАРТИ

Вправи цієї серії потребують уваги, розвивають оригінальність мислення, винахідливість; допомагають