Введення допоміжної змінної при розв’язуванні рівнянь і систем рівнянь

Математична освіта учнів – це складний процес, основним компонентом якого є розвиток математичного мислення, яке характеризується вмінням виводити наслідок з даних передумов, відокремлювати окремі моменти, узагальнювати висновки.

У зв’язку із збільшенням розумового навантаження на уроках математики практикую методичні прийоми, що підтримують у школярів інтерес до навчання, стимулюють їх активність, бажання займатися математикою.

Введення допоміжної змінної – один з таких методів. Суть його полягає у зведенні заданого рівняння до простішого, але відносно нової змінної, яка являє собою деяку функцію від шуканої змінної. Якщо у вираз входять змінні з визначеною областю значень, то можна замінити одну або кілька змінних виразами, які мають ту саму область значень.

Можна виділити три типи заміни змінних:

а) підстановки, які збільшують число змінних;

б) підстановки, які зменшують число змінних;

в) підстановки, які зберігають число змінних.

При розв’язуванні задач важливо вибрати той метод, який раціонально наблизить до очікуваного результату.

Розглянемо приклади, ідея розв’язання яких включає підстановки, які збільшують число змінних. Слід вказати, що метою застосування цього способу є одержання більш ширшої форми вихідних умов завдання, яке розв’язується. Тобто зведення даного завдання до розв’язування параметричних рівнянь, систем рівнянь.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Нехай

Тоді одержимо рівняння

оскільки ;

Нехай , тоді ;

; .

Розв’яжемо сукупність рівнянь:

Після елементарних перетворень маємо два рівняння:

коренями яких є

Відповідь:

Приклад 2. розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Перепишемо дану систему у вигляді

або

Дана система симетрична, тобто не змінюється при заміні х на у і у на х. Використаємо зручну заміну

Початкова система рівносильна сукупності двох систем:

а)

Ця система розв’язків не має.

б)

Відповідь: (1;2), (2;1).

Для отримання більш компактного або однорідного запису умови задачі використовують підстановки, що зменшують число змінних. При цьому дане завдання зводиться до розв’язання будь-якого рівняння, спосіб розв’язування якого відомий.

Приклад 3. Обчислити значення виразу

Розв’язання. Нехай

Тоді даний вираз має вигляд:

Після розкриття дужок і зведення подібних доданків отримаємо 14 х.

Відповідно значення даного виразу рівне

Відповідь:

Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Нехай

Тоді

Початкова система рівносильна сукупності двох систем

Відповідь:

Розглянемо метод підстановок, який зберігає число змінних.

Приклад 5. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання. Нехай

Тоді отримаємо систему рівнянь

Обидві частини першого рівняння піднесемо до квадрату:

В цьому рівнянні зробимо заміну

Після елементарних перетворень маємо

- корінь квадратного рівняння.

Тоді

Отримана система рівнянь має два розв’язки

і

Тепер знайдемо відповідні значення х і у. Підставляючи у дану систему маємо систему, яка не має розв’язків.

Відповідь:

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Введемо підстановку тоді Задане рівняння перепишемо у вигляді - корені цього рівняння.

Отже,

Щоб розвивати творчі здібності учнів необхідно поступово і систематично включати їх у самостійну пізнавальну діяльність. Розв’язання посильних завдань для більшості учнів сприяє глибокому засвоєнню знань і закріпленню вмінь користуватися єврістичними методами, вчить зорієнтовуватися в різних проблемних ситуаціях.

Література:

Кушнир И.А. Шедевры школьной математики. – К., Либидь, 1994.

Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. – М.: Наука, 1983.

Федак І.В. Розв’язування рівнянь. Посібник для підготовки до математичних олімпіад у 9-10 класах. – Бібліотека заочної математичної школи. – Тернопіль.1997.