3. Середні величини

Поняття середніх величини та способи обчислення

Середньою величиною називають узагальнюючу характе-ристику сукупності однотипних явищ за варійованою озна-кою. При розрахунку середньої величини /за даними однорідної сукупності/ погашаються випадкові відхилення окремих величин явища. Розрахунок середньої величини для неоднорідної сукупності не має реального змісту, оскільки тут будуть згладжуватись окрім випадкових відхилень також істоту! різниці між окремими одиницями сукупності. Отже, середня величина значною мірою залежить від побудови сукупності, її структури.

Обчислення середніх величин є складовою частиною бага-тьох статистичних методів: групувань, рядів динаміки, індексних розрахунків, показників варіації, вибіркового ме-тоду та ін.

Для виявлення взаємозв'язків і взаємозалежностей між ознаками у статистичних групуваннях виділяють групи за чинниковою ознакою, де по кожній групі обчислюють серед-ню арифметичну результативної ознаки. Зміна цих середніх величин від групи до групи показує характер і напрями зв'язку між ознаками.

Порівняння середніх величин у динаміці дає змогу вия-вити основні тенденції та закономірності у розвитку явищ, їх інтенсивності та сезонності коливання.

Середні величини є основою для розрахунку граничних помилок даних вибіркового обстеження сукупності. Це база для кореляційного, регресійного і дисперсійного аналізу.

Основні завдання розрахунку середніх величин - це ха-рактеристика зміни явищ у динаміці; тенденції у розвитку явищ, співвідношення двох або кількох рівнів, зв'язків і залежностей між явищами, виявлення нового, прогресивного та найбільш поширеного розвитку явища.

Вибір формули розрахунку середньої величини /табл. 1/ повинен враховувати такі аспекти:

1/ характерну особливість суспільного явища, яке вивчається;

2/ мету розрахунку середньої величини;

З/ визначаючий показник і його математичне вираження, яке є основою для осереднення сукупності явища.

Критерієм розрахунку середньої величини є правильний вибір початкової бази обчислень, яка відображає зміст серед-ньої величини та її зв'язок з іншими показниками.

Розрахунок середньої величини повинен бути підпорядко-ваний економічному змісту явищ, тобто треба, щоб він рваль-нр відображав істотну /дійсну/ характеристику осереджува-ного їх рівня.

Проста середня - це початковий момент для розрахунку будь-якої середньої величини, яку розраховують за форму-лою

Для розрахунку середньої кількості дітей у сім'ї підсумуємо кількість дітей у кожній сім'ї і поділимо на кількість сімей:

де: х- окремі варіанти осередненої величини; п - кількість варіантів.

Розглянемо приклад розрахунку простої середньої ариф-метичної за даними, наприклад, про кількість дітей у сім'ї:

Від розрахунку простої середньої арифметичної до зваже-ної переходять шляхом об'єднання в групи однакових зна-чень. Як ваги використовують числа /частоти/ або питомі ваги /частості/, якТ^враховують значення величини ознаки ./варіанта/ окремої одиниці сукупності.

Розглянемо приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої за даними табл. 2.

Якщо треба визначити середньомісячний виробіток усіх робітників при наявності даних про місячний виробіток і кількість робітників в окремих групах, то середньомісячний виробіток обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої:

Добуток xf у цьому прикладі є економічно усвідомленим результатом - кількість виробленої продукції за місяць.

При наявності у вихідних для розрахунків середньої величини даних частот розрахунок також здійснюють а ура-хуванням економічного змісту розрахункових величин /табл.3/.

Визначимо середній процент бракованих виробів, якщо відомі кількість виготовлених виробів і питома вага бракова-них виробів, за формулою середньої арифметичної зваженої:

Добуток xf у чисельнику формули у цьому прикладі являє собою економічно усвідомлений результат - кількість брако-ваних виробів.

Розглянемо приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої в інтервальному ряді на основі таких вихідних даних:

Для розрахунку середнього виробітку необхідно визначи-ти середину кожного інтервалу шляхом додавання значення нижньої і верхньої інтервальних меж з подальшим діленням на два. Середину інтервалу першої групи /до 200 гривень/ обчислюють таким чином: за нижню межу інтервалу тут приймають 100 гривень, віднімаючи від його верхньої межі розмір наступного інтервалу, який дорівнює 100 /300 - 200/, відповідно одержують 200 - 100 = 100 гривень.

Середину інтервалу останньої групи /600 гривень і більше/ обчислюють аналогічно. Різниця полягає в тому, що до нижньої межі інтервалу /600 гривень/ додають розмір інтервалу попереднього /600 + 100 гривень = 700 гривень/. Виконавши ці розрахунки, середнє значення інтервалів і в першій, і в останній групі визначають діленням суми значень нижньої і верхньої меж інтервалу на два /табл.4/.

Звідси

Якщо статистичні ваги /частоти і частості/ у вихідних даних для розрахунку середньої величини не задані безпосе-

редньо, а входять як співмножники в один з наявних показ-ників, то для обчислень використовують формулу середньої гармонічної.

Спосіб розрахунку простої гармонічної розглянемо на основі даних про витрати часу на виготовлення деталі:

Для визначення середнього часу, витраченого одним робітником на виготовлення деталі, використовують формулу простої середньої гармонічної:

Для розрахунку середньої величини за формулою гар-монічної зваженої необхідно виходити з логічного усвідо-млення вихідних розрахункових величин.

Розглянемо приклад розрахунку середньої величини за даними табл. 5.

Середню гармонічну застосовують у тих випадках, коли v вихідних даних є не прямі розрахункові величини, а лише одна їх складова частина. Наприклад, кількість проданої проДУ^пД - це складова частина виручки від її реалізації. Тут діяа є розрахунковою величиною - часткою від виручки на кількість проданої продукції. Середню ціну у цьому прикладі розраховують за формулою середньої гармонічної зваженої:

Частка у знаменнику розрахунку відображає економічно усвідомлений результат - кількість проданої предукції.

Наявність у вихідних даних відносних величин, вираже-них у процентах, які є складовою частиною розрахунку .середньої величини, також вимагає застосування формули '"середньої гармонічної зваженої /табл. 6/.

Розрахунок середнього процента бракованих виробів здійснюють за формулою:

Якщо вихідна інформація для розрахунку середньої вели-чини задана у вигляді квадратичної функції, то для обчис-лень застосовують формулу середньої квадратичної. Наприклад, якщо діаметр одного стовбура дерева 33 см, другого - 21, третього 39 см, то середній діаметр одного дерева, обчислений за