2. Чутливість ковзної середньої обернено пропорційна n – числу точок, що входять у середню, тому без зміни n чутливість змінити неможливо.

Більшість з перерахованих недоліків ковзної усувається, коли система ваг експоненційна.

2.3. Експоненційно зважена середня.

Розглядається ряд ваг, що зменшуються в часі за експоненційним законом, який визначається в такий спосіб:

б+ б?(1- б)+ б?(1- б)2+ … + б?(1- б)n …

Сума даного ряду прямує до одиниці, а члени зменшуються з часом, якщо б є[0,1]. За допомогою цих ваг експоненційно зважена середня ряду ut запишеться як:

ut= бqt+ б?(б-1)qt-1+ б?( б-1)2 qt-2+ б?( б-1)3 qt-3 + … (1)

Перепишемо (1) в еквівалентній формі:

ut= бqt+(б-1)[ б qt-1+ б?(б-1)qt-2+ б?( б-1)2 qt-3+ …] (2)

За допомогою (1) виразимо ut через інші члени послідовності. Отримаємо:

ut= бqt-1+ б?(б-1)qt-2+ б?( б-1)2 qt-3+ … (3)

Сума членів у квадратних дужках (2) є ut-1. Тому, підставляючи ut-1 у рівняння (2), отримуємо рекурентне співвідношення:

ut= бq1+(б-1) ut-1 (4)

(4) – це основне рівняння, що визначає просту експоненційно зважену середню. На його основі будуються й інші моделі експоненційного згладжування.

Експоненційно зважена середня має ряд переваг перед ковзною середньою:

1. Для побудови прогнозу за експоненційно зваженою середньою необхідно знати лише початкову оцінку прогнозу. Подальше прогнозування здійснюється при визначенні нових даних. Отже, немає необхідності заново проводити процедуру обчислення прогнозу, як це здійснюється при використанні методу ковзної середньої.

2. На відміну від методу ковзної середньої, відсутня точка, на якій ваги обриваються, тобто дорівнюють нулеві.

3. Для обчислення експоненційно зваженої середньої ut потрібно тільки минуле значення ut-1 і поточне значення dt.

4. Чутливість експоненційно зваженої середньої з метою підвищення адекватності прогнозної моделі може бути змінена шляхом вибору іншого значення б. Чим більше б, тим вище чутливість середньої, чим менше, тим стійкішою стає експоненційно зважена середня. На практиці рекомендується вибирати значення б з інтервалу [ 0,05; 0,3]. Метод застосовується в основному для стаціонарного ряду.

Коли прогноз попиту будується для нового товару, на практиці беруть більш високе значення б, тому що це гарантує швидше досягнення фактичного рівня попиту при знаходженні нових даних, ніж при низько чутливому прогнозі у випадку традиційного значення б=0,2.

2.4. Лінійно-адитивна прогностична модель.

При лінійно-адитивній моделі тренду передбачається, що середнє значення попиту qt змінюється лінійно залежно від часу, тобто:

qt=м+лtt+еt

де: м – середнє ряду;

лt – швидкість його зростання в залежності від t;

еt – випадкова похибка з нульовим зростанням.

Метод Холта. Фактори росту лt оцінюється за коефіцієнтом bt, який обраховується як експоненційно зважена середня середня різниця між поточним експоненційно зваженими середніми значеннями процесу ut і їх попередніми значеннями ut-1. особливість методу полягає у тому, що обчислення поточного значення ut включає в себе обчислення минулого значення показника зростання bt-1, адаптується до попереднього значення лінійного тренду. Аналітичні залежності в методі Холта мають такий вигляд:

ut = Aqt + (1-A) x (ut-1 +bt-1), (5)

bt = B x (ut - ut-1) + (1- B) x bt-1, (6)

qt+ф- = ut + bt (7)

де: А і В – параметри;

t – період випередження;

1+ ф – горизонт прогнозування;

qt+ф- – прогноз збуту на момент часу 1+ ф.

Значення А і В рекомендується брати 0,1 і 0,01, відповідно.

2.5. Лінійно-мультиплікативна модель тренду.

Лінійно-мультиплікативна модель тренду передбачає використання ряду методів, описаних нижче.

Метод Муіра використовується у випадку прогнозування нестаціонарного попиту. Тут допускається, що зміна середнього ряду залежить від часу нелінійно, а саме, пропорційно значенню середньої, представленої в логарифмічній формі. Тоді мультиплікативна модель буде виражена рівнянням:

qt = (qt-1--- – еt-1)с + еt ,

де: с – мультиплікативний коефіцієнт тренду.

Згладжуючи функція Vt буде аналогічна тій, яка була у випадку адитивного тренду:

Vt = qt + (1 – б)rt x Vt-1,

де r – незміщена оцінка с (мультиплікативний коефіцієнт тренду ряду qt),

яка обчислюється за формулою:

r = (б•qt)/(Vt-1) + (1– б)rt-1.

Тоді прогноз на t періодів часу наперед дорівнює:

qt+ф-= Vt rtr.

Мультиплікативні тренди зводяться до лінійних шляхом заміни фактичних спостережень їх логарифмами.

2.6. Комбінація лінійних і сезонно адитивних моделей трендів.

У таких моделях сезонність враховується шляхом декомпозиції прогнозних методів. Припускається, що такі характеристики ряду як стаціонарність, лінійність і сезонність можуть бути вивчені і оцінені незалежно. Загальний прогноз здійснюється зведенням окремих прогнозів в один.

При прогнозуванні сезонного ряду слід встановити форму сезонної залежності. Для вирішення цього завдання рекомендується брати період спостереження не менше ніж за чотири роки. Сезонні коливання описуються коефіцієнтом сезонності (ktсез), який може бути обчислений за формулою:

де: qt – значення показника попиту в момент t;

qсер – середнє значення попиту, відповідне моментам часу, що знаходяться в середині циклу.

де: L – довжина сезонного циклу ( L = 12 для місяців року; L = 4 для кварталів року).

При прогнозуванні сезонних рядів слід знати решту L коефіцієнтів сезонності. Деколи товари, схожими за сезонними характеристиками попиту, поєднують в групи, для кожної з яких розраховані загальні коефіцієнти сезонності. Слід зазначити, що

Це є необхідною умовою для незмінних прогнозів. Багато методів декомпозиції передбачають наявність лінійного тренду. Сезонний аналіз даних без виділення і оцінки лінійного тренду веде до зміщення коефіцієнтів сезонності.

2.7. Сезонно-декомпозиційна прогностична модель Холта-Вінтера.

Ця модель базується на