А тепер ми вступаємо в тер-нисту область , яка і до сто-годні викликає сумніви і про-теріччя. На картині Рафаеля

(мал.10)

« Афінська школа» , яка зберігається у Ватикані , сфери зображені у вигляді кругів. Але картину Рафаеля не можна вважати прикладом монокулярної перспективи: її можна розглядати з декількох точок. У XIX ст. зробили дуже цікавий експеримент: «неправильні» круги на картині Рафаеля замінили «правильними» еліпсами і «неправильний» варіант « Афінської школи» представили на суд глядачів. Виявилось , що еліпси є не припустимими: ніхто із глядачів не сприймав їх як зображення сфер, в той час як на картині самого Рафаеля око (або очі) сприймають круги як зображення сфер. Леонардо да Вінчі був добре проінформований про те, що зображення сфер на картинах в більшості випадків повинно мати еліптичні риси, проте він уникав цього. Не відомо ні одного малюнка Леонардо да Вінчі на якім були б зображені сфери. Досить складне і заплутане питання про взаємовідносини мистецтва і ілюзії продовжує цікавити людей і сьогодні, йому присвячені витончені книги Гомбріча «Мистецтво і ілюзія».

Уявімо собі, що ми хочемо побудувати точні перспективні зображення сфер, навіть якщо вони будуть здаватися неправильними. Перенн зауважив, що для цього вісь симетрії кожного намальованого нами еліпса повинна бути обернена до центральної точки сходу картини Ї основою перпендикуляра опущеного із точки бачення на картинну площину.

На перший погляд може здатися, що перед нами теорема яку дуже важко довести, але потрібне проаналізувати твердження Перенна дуже уважно. Розглянемо прямий круговий конус , який виходить, якщо з'єднати точку бачення V з усіма точками сфери. Нехай бЇ картинна площина. Оскільки око знаходиться і точці V, площина б перетинає поверхню прямого конуса по кривій, яка слугує контурами сфери на картині.уявімо собі, що точки цієї кривої знаходяться на кінцевій відстані від точки V. тоді наша крива має форму еліпса. Якщо б якісь із цих точок ішли в безкінечність , то крива була б параболою, або гіперболою.

Нехай NЇ основа перпендикуляра, який опущений із точки V на площину б (мал.12). Через пряму VN можна провести безліч площин. Розглянемо ту із них, яка проходить через центр заданої сфери, позначмо її B. Площина B, яка проходить через пряму VN, яка перпендикулярна площині б , також перпендикулярна площині б. Нехай n Ї лінія перетину площини б і B. Пряма n проходить через точку N , оскільки ця точка належить і площині б і площині B. Відповідно , пряма n співпадає з віссю симетрії еліпса.

В цьому не важко переконатися , якщо за площину B, яка містить в собі вісь нашого прямого кругового конуса, прийняти площину зображену на мал.12. прямою n служить пряма AA'N, де А і А'Ї точки еліпса, а площина еліпса перпендикулярна площині малюнка. Площина VAA' (площина B) являться площиною симетрії конуса, оскільки будь-яка площина, яка проходить через вісь конуса, є площиною симетрії. Якщо із точки Р еліпса опустити перпендикуляр РМ на пряму n (АА') то продовження перпендикуляра за точку Р перетнеться з поверхнею конуса в точці Q, причому РМ=МQ. Але пряма РМQ лежить на площині еліпса, саме тому QЇ точка на еліпсі , для якої виконується рівність відрізків РМ=МQ. Відповідно , пряма nЇ вісь симетрії еліпса.

(мал.12)

Як уже не одноразово було сказано, при розгляді картини , яка строго витримана в дусі теорії монокулярної перспективи, вибір точки бачення має найбільше значення

Leonardo Da Vinci: Mathematical Order in Art Леонардо да Вінчі в математичному мистецтві

A large portion of the Italian Renaissance was an obsession with finding order in everything in the universe. Значна частина італійського Відродження була нав'язлива з метою знайти все у Всесвіті. Its primary actors sought to show nature as orderly and fundamentally simple. Її головні діючі особи прагнули показати характер Всесвіту, як упорядкований і фундаментально простір. Leonardo Da Vinci, the epitome of the Renaissance Man, was not the first to apply these ideas of geometric order and patterns to art, but he may be the most well known. Da Vinci used mathematical concepts like linear perspective, proportion and geometry in much of his artwork. Леонардо да Вінчі був втіленням людина епохи Відродження, був не першим застосовувачем ідеї геометричного порядку і моделей для мистецтва, але саме його роботи є найбільш добре відомі. Да Вінчі використовував математичні поняття, як лінійної перспективи, так пропорцій і геометрії в значній кількості своїх творів.Коли Леонардо вживав слова “мистецтво”, “наука”, “математика”, то зміст їх трохи відрізнявся від сучасного. Кохана ним математика — “єдина наука, що містить у собі власний доказ”, — складалася для нього насамперед з геометрії і законів пропорції. Його залучало лише те, що можна побачити; абстракції, що асоціюються із сучасною вищою математикою, не представляли для нього ніякого інтересу. Відповідно до визначення Леонардо, мистецтво (і особливо живопис) — це наука, більш того, навіть “королева наук”, тому що вона не тільки дає знання, але і “передає його всім поколінням в усьому світі”.

У його роботах питання мистецтва і науки практично нероздільні. У “Трактаті про живопис”, наприклад, він сумлінно починав викладати ради молодим художникам, як правильно