УLeonardo Da Vinci's use of mathematics in art was well ahead of his time. Леонардо да Вінчі використання математики в мистецтві буkj далеко попереду свого часу. Some things he did were not fully understood until well after his death. У деяких речах він був не в повній мірі зрозумілим і після його смерті. He used linear perspective, proportion and geometry in many of his most famous pieces. Він використовував лінійну перспективу, пропорції геометрії в багатьох його найбільш відомих творах. This exaggerated attempt to achieve order, which was characteristic of the Italian Renaissance, is sometimes criticized. Це спиричинено перебільшеними спроби домогтися порядку, що було характерно для італійського Відродження, іноді такі дії критикували. But he created harmony and balance in such a unique and beautiful way that his work is still studied 500 years later. Але він створює гармонію і рівновагу таким унікальним і найкрасивішим чином, що його роботи були вивчені 500 років потому.

Леонардо да Вінчі і Платонові тілаBibliography

Конструкції з Платонових тіл включені в книгу Евкліда «Елементи». Propositions 13 through 17 describe the construction of the tetrahedron, octahedron, cube, icosahedron, and dodecahedron in that order. Пропозиції з 13 по 17 описують будівництво тетраєдра, октаєдра, куба, ікосаєдра та додекаєдра в такому порядку. Plato was mightily impressed by these five definite shapes that constitute the only perfectly symmetrical arrangements of a set of (non-planar) points in space, and late in life he expounded a complete "theory of everything" (in the treatise called Timaeus) based explicitly on these five solids. Платона сильно вразили ці п'ять певних форм, які складаються тільки з ідеально симетричної схеми набору (не плоских) точок у просторі, і в кінці життя він викладав у повній теорію всього (в трактаті Timaeus), засновану прямо на цих п'яти речовинах. It's uncertain who first described all five of these shapes - it may have been the early Pythagoreans - but some sources (including Euclid) indicate that Theaetetus (another friend of Plato's) wrote the first complete account of the five regular solids. Це не визначення, які вперше описали всі ці п'ять форм - це, можливо, були написані початкові дослідження піфагорійців - але в деяких джерелах (у тому числі Евкліда) свідчать про те, що Theaetetus (ще один друг Платона) написав перший повний звіт про п'ять регулярних твердих речовин. Plato conceived the four classical elements as atoms with the geometrical shapes of four of the five platonic solids . Платон задуман описати чотири класичні елементи, як атоми з геометричними формами чотирьох з п'яти Платонових тіл. These are, of course, not the true shapes of atoms; but it turns out that they are some of the true shapes of packed atoms and molecules, namely crystals: The mineral salt sodium chloride occurs in cubic crystals, fluorite (calcium fluoride) in octahedra, and pyrite in dodecahedra. Це, звичайно ж, не вірні форми атомів, але з'ясовалося, що вони є одними з правдивої форми упакованих атомів і молекул, а саме кристали: мінеральні солі натрію хлориду відбувається в кубічних кристалах, флюорит (кальцій фтористий) в octahedra і пірит в dodecahedra. This concept linked fire with the tetrahedron, earth with the cube, air with the octahedron and water with the icosahedron. Ця концепція пов'язана з вогнем тетраєдра, земля з кубом, з повітрям і водою октаєдр з ікосадром. There was intuitive justification for these associations: the heat of fire feels sharp and stabbing (like little tetrahedra). Було інтуїтивне обгрунтування для цих об'єднань: тепло вогню відчувається гострим, як лезо ножа (як ребра тетраєдрів).

Air is made of the octahedron; its minuscule components are so smooth that one can barely feel it. Повітря з октаєдра, його незначні компоненти настільки гладкі, що їх можна тільки відчувати. Water, the icosahedron, flows out of one's hand when picked up, as if it is made of tiny little balls. Вода, ікосаєдр, потоки однією прямою, коли їх взяти, то відчувається ніби вони зроблені з малюсінької кульки. By contrast, a highly un-spherical solid, the hexahedron (cube) represents earth. На відміну від цього, дуже сферичні тверді шестигранник (куб) - являють землю. These clumsy little solids cause dirt to crumble and breaks when picked up, in stark difference to the smooth flow of water. Ці незграбні тверді тіла, які є причинами бруду, кришaться, порівняно з безперешкодним потоком води. Plato made the following identifications: Платон зробив наступні позначення:

тетраєдр = плазма ( "вогонь")

octahedron = gas ("air") октаєдр = газ ( "повітря")

icosahedron = liquid ("water") ікосаєдр = рідини ( "вода")

hexahedron = solid ("earth") шестигранник = тверді тіла ( "Земля")

У п'ятому Платоновому твердому тілі , додекаедрі, Платон називає такими словами : «Бог використовує його для організації сузір'їв по всьому небу» (Timaeus55).
Interestingly, almost 2000 years later, Johannes Kepler was similarly fascinated by