Другий етап в теорії і практиці обробки геодезичних вимірювань наступив в сорокових роках XX ст. у зв'язку з розвитком астрономо-геодезичних мереж, що покривають обширні території.

Геодезичні роботи в колишньому СРСР одержали такий розмах, що в 1940 р. загальна довжина рядів тріангуляції 1 класу досягла 75 000 км. Обробка такої обширної мережі була складною проблемою.

При рішенні цієї проблеми була відкинута існуюча у минулому постановка задачі обробки геодезичних мереж, при якій, виходячи перш за все із запитів практики картографування, вважалася достатньою ув'язка в

межах одного-двох полігонів тріангуляції 1 класу. Точність геодезичних мереж повинна була тепер задовільняти точні і крупномасштабні інженерні зйомки. Ф. Н. Красовський, розвиваючи строгу теорію обробки геодезичних мереж, писав: «Потрібно розуміти, що безцільні зусилля в отриманні високоточних результатів польових астрономо-геодезичних робіт, якщо ці результати надалі будуть піддаватися спотворенням із-за нестрогої математичної обробки геодезичних мереж».

У колишньому СРСР завдання обробки тріангуляції було тісно пов'язане з усіма роботами по геодезичних мережах, починаючи з схеми побудови мереж, програми польових астрономо-геодезичних і гравіметричних робіт і завершуючи проблемою встановлення системи координат і редукції вимірювань на поверхню відносності.

У постановці і рішенні проблемної задачі сумісного вирівнювання астрономо-геодезичних мереж великі заслуги належать видатним радянським ученим Ф. Н. Красовському і Н. А. Урмаєву.

Не менш важливе і складне завдання у той час являла собою обробка заповнюючих мереж. У рішення цієї проблеми великий внесок зробив Н. А. Урмаєв, узагальнивши в своїй праці «Інструкція по обробці тріангуляції» досвід Воєнно-топографічної служби і досягнення зарубіжних геодезистів по вирівнюванню геодезичних мереж.

Великі заслуги мають колективи центральних геодезичних обчислювальних установ. І. Ю. Праніс-Праневіч написав фундаментальне керівництво по вирівнюванню тріангуляції, відобразив в ньому багатий досвід цивільної геодезичної служби. І. М. Герасимов в 1941 р. розробив практичне керівництво по обчисленню тріангуляції, що служило довгий час цінною допомогою в обчислювальних і польових геодезичних підрозділах.

Значний внесок в область обчислювальних робіт по тріангуляції внесений геодезистами Н. У. Аваємим, Б. Е. Бірюковим, І. М. Ландіс, А. X. Лівшицем, А. І. Петровим, П. В.Смірновим і Р. Д. Корінцевим.

У ці ж роки радянські учені З. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хінчин, В. І. Романовський, Н. В. Смирнов, Ю. В. Лінник, Б. В. Гнеденко та інші створили передову радянську школу теорії імовірності і математичної статистики.

Великий внесок у розвиток математичних методів обробки геодезичних вимірювань внесли професори А. З. Чеботарьов, Н. І. Ідельсон, Н. Г. Келль, В. В. Попов, В. В. Данилов, А. І. Дурнєв, А. А. Ізотов, В. Д. Большаков, П. А. Гайдаєв, К. Л. Проворов, Б. Н. Рабінович, П. І. Шилов, А. І. Мазмішвілі, А. В. Гордєєв, 10. У. Кемніц, А. А. Візгин, Н. Г. Відуєв, К. К- Скиданенко, Ю. А. Гордєєв, Б. А. Литвинов, Е. Г. Ларченко, В. Г. Зданович, І. І. Купчинов, Е. Г. Бойко, Ю. І. Маркузе, Н. Д. Дроздов, доктори техн. наук Л. П. Пеллінен, А. 3. Сазонов, Ю. М. Нейман, доценти А. Н. Висоцький, Б. З. Кузьмін, Д. А. Ларін і інші радянські учені, що плідно працювали в області вирівнювальних обчислень геодезії.

1.2 Основи способу найменших квадратів

1.2.1 Принцип найменших квадратів

Умова Лежандра. На початку XIX сторіччя Лежандр (1806) і Гаус (1809) незалежно один від одного винайшли метод, за допомогою якого можна використовувати надмірне число вимірювань для визначення необхідних невідомих по результатам досліду.

Лежандр розробив спосіб комбінації результатів вимірів, який, по суті, без яких-небудь змін зберігся до наших днів.

З міркувань Лежандра, з усіх принципів, що пропонувались для обмеження крайніх помилок в найбільш вузьких межах незалежно від їх знаку, не існує простішого, ніж той, який обертає в мінімум суму квадратів помилок.

За допомогою цього правила між помилками встановлюється певна рівновага, що не дозволяє крайнім з них по величині робити вагомий вплив і цілком придатна для того, щоб розкрити картину всієї системи, найбільш близьку до істини.

Умова, рекомендуєма Лежандром, зводиться до вимоги:

(1.2.1)

згідно якому сума квадратів відхилень від нуля повинна бути найменшою.

Умова Лежандра — Гауса. Об'єднуючи положення Лежандра і Гауса і беручи до уваги ваги безпосередніх і незалежних вимірювань

(1.2.2)

матимемо алгебраїчне вираження умови Лежандра, — Гауса

(1.2.3)

Положення Маркова. У статті «Закон великих чисел і спосіб найменших квадратів» академік А. А. Марков виклав три положення

принципового характеру.«Не допускаючи певного закону розподілу помилок спостережень, ми можемо дійти способу найменших квадратів, виходячи з таких положень:

1) розглядати тільки таку наближену рівність, яка, по наших припущеннях, не має постійної помилки;

2) кожній наближеній рівності приписувати певну вагу, причому ваги різних наближенних рівностей вважати обернено пропорційними математичним очікуванням квадратів помилок;

3) оцінка кажної наближеної рівності визначається його вагою і відповідно до цього для кожного невідомого шукати таку наближену рівність, вага якої найбільша.

Тільки це виведення способу найменших квадратів я вважаю раціональним; він також вказаний Гаусом. Раціональним я рахую цей спосіб головним чином тому, що він не затемняє умовності способу найменших квадратів».

Висновок, якого дійшов А. А. Марков, і положення, з яких виходили Лежандр і Гаус, засновані більше на математичній логіці, ніж на індуктивному мисленні. Після Лежандра, Гауса і Маркова спосіб найменших квадратів одержав подальший розвиток і в наші дні став