2. Параметричний метод вирівнювання

2.1 Основні формули параметричного методу вирівнювання

В процесі обгрунтування методу найменших квадратів виділено два основні способи вирівнювання: параметричний і корелатний. В нашій роботі розглядається перший з них, рішення якого заключается в безпосередньому отриманні невідомих параметрів. Порядок виконання обчислень в цьому випадку буде наступним.

За необхідні невідомі (вектор ), не зв’язані точними математичними залежностями, можна прийняти як функції результатів вимірювань (висоти точок, дирекційні кути сторін, координати), так і самі виміряні величини. В цьому випадку вектор слід представити у вигляді двох підвекторів розміру і розміру , тобто

і прийняти . Наприклад, в нівелірній мережі: (див. рис. 2.1) в якості невідомих можна вибрати перевищення по ходах 1 і 4

Рис.2.1. Схема нівелірної мережі

Далі необхідно скласти початкову систему зв'язку і обчислити вектор наближених значень невідомих . Звичайно його знаходять за результатами виконаних вимірів.

Після цього складають матричне рівняння поправок у вигляді

(2.1)

де матриця А розміру

(2.2)

з елементами

При цьому припускають, що має повний ранг, рівний . Так буде тоді, коли число початкових даних (висот, координат і т. д.) достатнє для прив'язки мережі до тієї або іншої системи координат.

Інакше виникає задача вирівнювання так званих вільних мереж або мереж, що мають дефект даних . Окрім дефекту даних, в геодезичній мережі може виникнути дефект конфігурації (рис. 2.1а).

Рис.2.1а. Схема мережі з дефектом

Для того, щоб визначити невідомі координати двох пунктів і (=4), достатнє і необхідне число функціонально незалежних один від одного вимірювань повинне бути не менше . Дефект конфігурації визначають формулою . В даному випадку =4; =3 =1, тому невідомі не можуть бути визначені.

Слід зазначити, що дефекти даних визначаються числом лінійно залежних стовпців матриці , а дефект конфігурації — числом її залежних рядків.

Проте при вказаних вище вимогах до дефекту даних і конфігурації мережа завжди буде вирівнюватись і необхідності в дослідженні матриці не виникає.

Складові вектора вільних членів

обчислюють за формулою:

Якщо початкова система зв'язку має лінійний вигляд, то і в цьому випадку із вирівнювання визначають не вектор , а вектор поправок , оскільки, абсолютні величини поправок , - виражають малими величинами, що приводить до менших помилок їх обчислень.

Рівняння поправок складають у вигляді (2.1), причому вектор вільних членів визначають як

Нормальні рівняння, як вже відомо, мають вигляд

(2.3)

де — матриця вигляду

(2.4)

— вектор вільних членів

(2.5)

Матрицю доцільно записати таким чином:

де — рядок коефіцієнтів рівнянь поправок, що відповідає 1-му вимірюванню.

Тоді матрицю можна представити у вигляді суми

(2.6)

або

звичайно, якщо матриця ваг діагональна.

Аналогично визначають вектор . Він матиме вигляд

(2.7)

Таке представлення робить можливим матрицю не зберігати в пам'яті ЕОМ, а матриці і одержувати методом накопичення. Теоретично шуканий вектор поправок можна виразити формулою:

(2.8)

а вектор невідомих

Значення квадратичної форми

(2.9)

можна одержати і не обчислюючи вектор .

Дійсно, підставивши вираз (2.1) у формулу (2.9), можна виразити в наступному вигляді:

або

Враховуючи формулу (2.3), остаточно можна записати як

(2.10)

Якщо до системи нормальних рівнянь (2.3) приєднати вираз (2.10), то буде одержана система рівнянь:

Виключення вектора поправок з системи приводить до виразу

записаному за допомогою узагальненого алгоритму Гауса.

У звичайному записі для випадку рівноточних вимірювань

При обчисленнях на ЕОМ доцільно поступати наступним чином.

Якщо в якості вектора наближених значень невідомих прийняти вирівняний вектор , то очевидно, що вектор істинних поправок =0. Це означає, що мережа вже вирівняна.

Тому вектор поправок можна виразити у вигляді, де — вектор.

(2.11)

При цьому справедлива рівність

(2.12)

виконання якої є хорошим контролем рішення задачі. Контроль на підставі теореми Гауса є надійним лише в лінійних завданнях. Нескладно також одержати і вирівняні значення вимірювань як і провірити рівність

(2.13)

невиконання якої говорить про нелінійність функції.

Природно вважати, що вирівнювання виконане правильно, якщо різниця величин і не відображається на значеннях оцінок

і

Потім проводять оцінку точності невідомих і їх функцій. Оскільки було показано вище, що кореляційна матриця вектора невідомих рівна

(2.14)

де, то середні квадратичні помилки можна визначити як

(2.15)

де - й діагональний елемент матриці , а коефіцієнтами кореляції між невідомими є вигляду

Далі слід скласти матрицю зворотних ваг векторів . Враховуючи, що ці вектори мають вигляд:

можна стверджувати, що всі вони є лінійними функціями вектора

матриця зворотних ваг якого

Таблиця 2.1

Вектор

0

0

0 | 0

Тому доречно застосувати узагальнену теорему оцінки точності функцій, скласти матрицю перетворення у вигляді

і визначити шукану матрицю , яку можна представити у вигляді таблиці (табл. 2.1).

2.2 Приклади вирівнювання геодезичних мереж

2.2.1 Вирівнювання мережі тріангуляції

Нехай в мережі тріангуляції (рис. 2.2) виміряні кути, дані координати вихідних пунктів, наближені координати і наближені дирекційні кути (табл. 2.2)

Рис. 2.2. Мережа тріангуляції з виміряними кутами

Таблиця(2.2)

Номер кута

1 | 64о36’00,9’’ | -1,4’’ | 64о35’59,5’’

2 | 65 53 45,2 | -2,6 | 65 53 42,6

3 | 49 30 19,3 | -1,4 | 49 30 17,9

180 00 05,4 | -5,4 | 180 00 00,0

4 | 55 19 45,2 | 2,7 | 55 19 47,9

5 | 55 12 15,1 | 1,6 | 55 12 16,7

6 | 69 27 52,6 | 2,8 | 69 27 55,4

179 59 52,9 | 7,1 | 180 00 00,0

7 | 33 44 19,4 | -1,1 | 33 44 18,3

8 | 103 13 43,4 | -2,2 | 103 13 41,2

9 | 43 02 01,7 | -1,1 | 43 02 00,6

180 00 04,5 | -4,4 | 179 59 59,9

координати вихідних пунктів

пункт , м ,