Як правило, геодезичні мережі прив'язуються до пунктів, висоти або координати яких, вважають безпомилковими. Проте ці величини одержують із вирівнювання і містять помилки, які можуть привести до істотних деформацій мережі. Тому виникає завдання вирівнювання мережі з врахуванням помилок початкових даних.

Параметричний спосіб. Позначивши вектор поправок вихідних даних через , напишемо загальну систему рівнянь поправок в лінійному вигляді:

(2.3.1)

Вектор вільних членів в другому рівнянні завжди може бути прийнятий рівним нулю, якщо наближений вектор співпадає з вектором значень вихідних даних р.

Оскільки результати знов виконаних вимірювань і вихідні дані незалежні, то можна задати умову

(2.3.2)

де — матриця обернених ваг вихідних даних.

Умова (2.3.2) приводить до системи нормальних рівнянь з матрицею коефіцієнтів

(2.3.3)

і вектором вільних членів

Для матриці обернених ваг урівняного вектора одержим з рівнянь (2.3.3) вираз

У разі безпомилкових даних для вектора ми мали би матрицю

Для векторів поправок і враховуючи, що

(2.3.4)

де

можна написати:

або

Звідси випливає, що

(2.3.5)

Позначимо ( при безпомилкових вихідних даних) і введемо вектор

Оскільки кореляційна матриця вектора вільних членів має вигляд

то можна знайти кореляційну матрицю вектора

що доводить некорельованность векторів і .

Тоді дисперсія записуватиметься формулою

де

Нехай маємо загальний вираз

(2.3.6)

де — середні квадратичні відхилення однієї і тієї ж функції, обумовлені помилками вимірювань і вихідних даних. При виконанні нерівності , де — мала конкретно вибрана величина, впливом помилок вихідних даних можна нехтувати. Оскільки будь-яку середню квадратичну помилку обчислюють не більше ніж з двома значущими цифрами, то = 0,05.

У технічних розрахунках приймають = 0,1

З виразу (2.3.6) виходить

(2.3.7)

Підносячи до квадрату вираз (2.3.7) і враховуючи формулу (2.3.6), після простих перетворень одержуємо

або

(2.3.8)

Таким чином, вихідні дані можна вважати безпомилковими, якщо виконується нерівність (2.3.8) або

(2.3.9)

На підставі нерівності (2.3.9) можна показати, що в полігонометричному ході помилками вихідних дирекційних кутів можна нехтувати для отримання дирекційного кута середньої сторони ходу, якщо виконується нерівність

(2.3.10)

де — СКП вимірювання кутів; — число кутів.

Вирівнювання з врахуванням помилок вихідних даних по даному алгоритму виконують таким чином.

Не роблячи відмінності між пунктами, що визначаються і вихідними пунктами, нумерують останні вслід за невідомими і складають матрицю

і вектор вільних членів

Потім до блоку приєднують матрицю ваг вихідних даних. В результаті одержують систему нормальних рівнянь

(2.3.11)

з матрицею

Цей алгоритм передбачає, що вихідні дані одержують поправки (вектор ) і нову матрицю обернених ваг . В процесі такого вирівнювання точність невідомих, які відносяться до вихідних даних, збільшується.

Точність невідомих, які знову визначаються, буде меншою в порівнянні з випадком, коли вихідні дані приймаються безпомилковими, але реальнішою.

Відома і інша форма обчислень. Якщо з системи (2.3.1) виключити вектор , то вийде перетворена система нормальних рівнянь

з матрицею коефіцієнтів

Перепишемо її у вигляді

і позначимо , где

На підставі відомої тотожності можна написати

Тому , де ;

Як видно, для застосування цього способу потрібно перетворювати матрицю більшого порядку. Вектор вільних членіводержимо в вигляді:

Приклад.

Нехай на станції між двома заданими з точністю дирекційними кутами, виміряні три кути (рис.2.4) з точністю (табл. 2.9). Виконати урівнювання цих кутів.

Рис.2.4. Схема вимірювання кутів.

Таблиця 2.9

Дирекційний кут | Секунди урівненого кута | Виміряний кут | Секунди урівненого кута

10000’00,0’’ | 00,4 | 25000’10,0’’ | 11,6

101 01 15,2 | 14,8 | 35 50 50,5 | 52,1

30 10 09,2 | 10,8

Обчислюють наближені значення кутів

і складають рівняння поправок для виміряних кутів

За допомогою табл. (2.9) коефіцієнтів рівнянь поправок складають нормальні рівняння з матрицею коефіцієнтів

і вектором вільних членів

В якості дисперсії одиниці ваги приймають. Тоді ваги

; і матриця

Тому згідно (2.3.11)

Обернену матрицю одержують шляхом ділення на блоки:

де (2.3.12)

Вона має вигляд

(2.3.13)

Вектор поправок буде наступним

Таблиця 2.10

№ кута

1 | 1 | -1 | 0 | 1,57

2 | -1 | 1 | 0 | 1,58

3 | -1 | +1 | 5,5 | 1,57

1,96 | 3,54 | 0,39 | -0,39

Обчислення поправок по формулі (2.3.1) приведено в таблиці 2.10

Вирівнювання виконане правильно, оскільки

2.3.2 Вирівнювання мережі з великою кількістю невідомих

При вирівнюванні великих геодезичних мереж складають системи нормальних рівнянь з великою кількістю невідомих (близько 500 000). Рішення таких систем являє собою складну наукову і технічну проблему навіть із застосуванням ЕОМ. Зменшення числа одночасно вирішуваних рівнянь можна досягти, застосовуючи так званий багатогруповий спосіб в параметричній формі, запропонований Ф. Гельмертом і І. Ю. Праніс-Праневичем.

Для цього мережу ділять на ділянки, по граничній лінії яких знаходять так звані зв'язуючі пункти.

Невідомі, які відповідають цим пунктам, нумерують останніми, вслід за невідомими, що відносяться до внутрішніх пунктів. Якщо позначити вектори цих невідомих через , і , то загальну систему нормальних рівнянь, наприклад, для числа ділянок = 3 можна записати у вигляді

(2.3.14)

Перші три рівняння називають частково незалежними, а останнє —зв'язуючим. Виражаючи в кожній ділянці невідомі ; по формулі

(2.3.15)

і підставляючи (2.3.14) в зв'язуюче рівняння, знайдемо перетворене рівняння

(2.3.16)

де

Матриця може бути одержана з матриць , які складаються в

кожній ділянці, як їх сума, тобто

Тоді

де

Це означає, що, розглядаючи кожну ділянку як окрему мережу, можна скласти нормальні рівняння, поставивши зв'язуючі невідомі на останні місця, і виключивши всі внутрішні невідомі.

Одержані таким чином в кожній ділянці перетворені рівняння об'єднують для всієї мережі шляхом підсумовування коефіцієнтів при однойменних невідомих.

Далі, вирішуючи систему (2.3.16), знаходять вектор і потім в кожній ділянці — вектор згідно формули (2.3.15).

Матрицю вагових коефіцієнтів урівняних невідомих одержують по формулах:

для зв'язуючих точок:

(2.3.17)

для внутрішніх точок кожної ділянки:

(2.3.18)

для внутрішніх і зв'язуючих точок:

(2.3.19)

для внутрішніх точок різних ділянок ()

(2.3.20)

Приклад. Виконати урівнювання нівелірної мережі