Для розв'язання відповідних задач вводять різні статистичні моделі страхових ризиків і розглядають відповідні моделі розпо-ділу сумарного розміру страхового відшкодування. Найпрості-шою з них є модель індивідуальних ризиків, яка щодо договорів загального страхування передбачає таке:*

кількість п незалежних між собою договорів страхування фіксована та наперед визначена;*

для кожного договору страхування відомі статистичні влас-тивості пов'язаного з ним можливого відшкодування Хk де k — порядковий номер договору.

Зауважимо, що далеко не за кожним договором виплачується страхове відшкодування, тому деякі випадкові величини Хk. (страхо-вих відшкодувань за k-м договором) можуть дорівнювати нулю.

Загальний розмір страхового відшкодування за страховою по-дією, тобто розмір зобов'язань страховика, визначає сума неза-лежних між собою випадкових величин

Sn=X1+X2+…+Xn

У загальному випадку при використанні моделі індивідуаль-ного ризику величина Вk страхової премії за k-м договором стра-хування (k = 1, 2, ..., п) розраховується з умови достатності із за-даною довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконання зобов'язань страховика за формулою

де М[Хk] — математичне сподівання відшкодувань за k-м догово-ром страхування; —

відносна страхова надбавка.

Основний внесок до величини Bk у загальному випадку вно-сить значення суми M[Xk], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму M[Xk] називають ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настання страхової події.

На практиці використовують кілька способів розрахунку від-носної страхової надбавки при страхуванні визначеного ризику:

з фіксованим значенням для всіх договорів страхування

де tг — квантиль рівня г нормального розподілу;

М[Sn] — математичне сподівання сумарного розміру страхо-вих відшкодувань;

D[Sп] — дисперсія сумарного розміру страхових відшкоду-вань;

2) зі змінним значенням, пропорційним дисперсії або серед-ньоквадратичному відхиленню величини страхового відшкоду-вання Хk за k-м договором, тобто у вигляді

Зауважимо, що у наведених співвідношеннях числові характе-ристики випадкових величин Xk, страхового відшкодування за k-м договором визначаються залежно від наявної статистичної ін-формації про процес настання страхової події.

У разі, коли відомі числові характеристики сумарного розміру Sn страхових відшкодувань за страховим ризиком на підставі центральної граничної теореми, можна обчислити ймовірність достатності наявних страхових резервів розміру г для виконання зобов'язань страховика за цим ризиком:

або ймовірності розорення (недостатності наявних страхових

резервів):

де F0(х) — інтегральна функція нормованого нормального розпо-ділу.

Страхові тарифи в колективній моделі ризику. Складнішу модель розподілу сумарного розміру страхового відшкодування за визначеним ризиком виражає колективна модель ризику, яка розглядає не окремі договори страхування, а весь портфель дого-ворів за даним страховим ризиком і передбачає таке:

кількість v вимог про страхове відшкодування за даним ри-зиком на фіксованому проміжку часу є випадкова величина (як правило, з пуассонівським розподілом);

значення послідовних страхових відшкодувань Y1,Y2,…Yv за портфелем страхового ризику за цей проміжок часу утворю-ють послідовність випадкових величин, що однаково розподілені;

випадкові величини v, Y1,Y2,…Yv незалежні в сукупності.

Колективна модель враховує можливість неодноразового на-стання страхової події за одним договором страхування (що дуже важливо в договорах загального страхування), не обмежена умо-вою визначеності кількості майбутніх договорів страхування та розглядає завжди додатні значення відшкодувань Yk, k = 1, 2, ..., v (на відміну від індивідуальної моделі, де значення відшкоду-вань Хk могли бути нульовими). Сумарний розмір S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі визна-чає випадкова сума незалежних між собою випадкових величин

За заданими числовими характеристиками кількості v вимог про страхове відшкодування та величиною Y одного страхового відшкодування в загальному випадку можемо знайти числові ха-рактеристики сумарного розміру S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі

Найпростішу і найпоширенішу модель розподілу кількості стра-хових вимог v визначає розподіл Пуассона з параметром л, коли

причому

У цьому випадку розподіл випадкової величини S називають складним розподілом Пуассона, а її числові характеристики ви-значають за формулами

Зауважимо, що параметр л розподілу Пуассона випадкової ве-личини v та інтегральну функцію F(t) = Р{Y<t} розподілу зна-чень випадкової величини У одного страхового відшкодування називають параметрами складного розподілу Пуассона, що запи-сують у вигляді S ~ СР(л; F). Крім того, у наведених співвідно-шеннях параметр л визначає середню за портфелем кількість страхових вимог (вимог про виплату страхового відшкодування) за одиницю часу (наприклад, за один рік).

У страховій практиці дуже важливий той факт, що сума неза-лежних випадкових величин, кожна з яких має складний розподіл Пуассона, також має складний розподіл Пуассона. Виконується твердження:

Якщо S1, S2, ... — взаємно незалежні випадкові величини, ко-жна з яких розподілена за складним розподілом Пуассона

Sk~ СР(лk ;Fk), k = 1, 2, ..., та ряд — збіжний, то сума S =

= S1 + S2+ … також має складний розподіл Пуассона S ~ СР(л ;F), параметри якого визначають співвідношення

;

Наведене твердження на практиці використовують у таких ви-падках:

при об'єднанні т незалежних страхових портфелів, таких що сумарний розмір страхових відшкодувань Sk, k = 1, 2, ..., т по кожному з них має складний розподіл Пуассона Sk~ СР(лk ;Fk) у результаті отримують об'єднаний портфель, сумарний розмір страхових відшкодувань S якого також буде визначати складний розподіл Пуассона ;

при дослідженні сумарного за т років страхового відшкоду-вання S за одним і тим самим страховим ризиком з незалежними річними сумарними страховими відшкодуваннями Sk, k = 1, 2, ..., m кожне з яких має складний розподіл Пуассона, можемо вважа-ти, що S також має складний розподіл Пуассона.

У загальному випадку при використанні моделі колективного ризику величина В страхової премії для всіх договорів страху-вання однакова й визначається з умови достатності із заданою довірчою ймовірністю