Математичні основи обчислення тарифних ставок
Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому біль-шість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадкови-ми величинами. З математичного погляду випадкова величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовір-ністю.
Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини о, (або інте-гральною функцією) називається функція, яка кожному числу х ставить у відповідність імовірність того, що о, набуде значення, меншого за х:
.
Функція Fо(x) визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості:
;
якщо х<у,то Fо(x)Fо(y);
Fо(+?) = l;
Fо(+?) = 0;
P{aоb}=Fо(b)-Fо(a).
Серед випадкових величин можна виокремити два основні ти-пи — дискретні та абсолютно неперервні.
Дискретною називається випадкова величина, яка може на-бувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.
Якщо функцію розподілу Fо(x) випадкової величини о можна
подати у вигляді
,
де ро(х) — деяка невід'ємна функція, то випадкова величина о називається абсолютно неперервною, а функція ро(х) — щільні-стю розподілу випадкової величини о. Абсолютно неперервни-ми можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків стра-ховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками.
Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.
Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) — це середньозважене за ймовірніс-тю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:
М[о]=,
де хі — значення, яких набуває випадкова величина; рі — ймовір-ності їх реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових вели-чин математичне сподівання подається так:
М[о]=,
де ро — щільність випадкової величини о. Якщо випадкова вели-чина невід'ємна (0 о), математичне сподівання можна обчисли-ти за формулою:
М[о]=.
Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин о, ж виконуються такі властивості математичного сподівання:
М[а] = а;
М[bо] = bМ[о];
M[о + ж]=М[ж]+М[о].
Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини о від її середнього значення й обчислюється як математичне сподіван-ня квадрата відхилення цієї величини від й математичного споді-вання:
.
Дисперсія задовольняє такі співвідношення:
;
;
;
,
де а, b — довільні сталі; о, — випадкова величина. Якщо випад-кова величина невід'ємна, дисперсію можна обчислити за фор-мулою.
Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним, відхиленням називають корінь ква-дратний із дисперсії:
Відношення стандартного відхилення випадкової величини о, до модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.
.
Для випадкової величини о, квантилем рівня а (або б-квантилем) називається величина ta, яка при заданому значенні довір-чої ймовірності б є коренем рівняння
.
Незалежність випадкових величин. Випадкові величини о та ж називаються незалежними, якщо за відомим значенням ве-личини о, не можна зробити жодних висновків стосовно значення ж, і навпаки, значення ж ніяк не впливає на обізнаність із величиною о. Формально випадкові величини о та ж називаються неза-лежними, якщо при будь-яких значеннях а та b імовірність події р{о<а, ж< b} є добутком імовірностей подій р{о<а}та Р{ж<b}:
Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір ви-плат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай з— кількість позовів (кількість виплат) у поточному році, о — відпо-відна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10 % протя-гом року виплат у страховика немає Цей факт можна записати кількома способами:
Отже, Р{з<1, о<1 грн}>Р{о<1 грн}Р{з<1}. Це означає, що ви-падкові величини з і о, залежні. Незалежними випадковими вели-чинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування.
Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини о та ж незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:
Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про ре-альний розподіл випадкової величини о, але маємо деяку сукуп-ність спостережень, у результаті яких вона набуває значень х1, х2, х3, ..., хn. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини
і
відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє вико-ристовують для оцінювання математичного сподівання:
,
незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової
величини:
Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній прак-тиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення та-рифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страховика. Але пара-докс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлу-мачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.
Еквівалентність фінансових зобов'язань як еквівалент-ність сподіваних значень. Зобов'язання страхувальників поля-гають у сплаті страхових премій. Зобов'язання страховика опла-чувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних страховиком премій, Х—сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є споді-ване (середнє) значення випадкової величини X:
У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто вико-ристовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масо-вого страхування.
Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії розорення.
Зобов'язання страхувальників мають безумовний характер. Ку-пуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіва-них витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його ви-плати будуть значно більші за М[Х]. Тому страховик вправі вима-гати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L, із цього погляду справджується співвідношення:
Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової над-бавки L та страхової премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.
Факт розорення страховика описується співвідношенням U + р <
