Попит і пропозиція. Як відомо, попит і пропозиція — економічні категорії товарного виробництва, які виникають і функціонують на ринку, у сфері товарного обміну. При цьому попит — представлена на ринку потреба в товарах, а пропозиція — продукт, який є на ринку або може бути доставлений до нього. Одним з економічних законів товарного виробництва є закон попиту і пропозиції, який полягає в єдності попиту і пропозиції та їх об'єктивному приведенню до відпо-відності.

Розглянемо таку задачу. Нехай протягом деякого (достатньо дов-гого) часу селянин продає на ринку фрукти (наприклад, яблука), при-чому продає їх після збору врожаю, з тижневими перервами. Тоді при відповідних запасах фруктів у селянина тижнева пропозиція буде залежати як від очікуваної ціни наступного тижня, так і від передбачуваної зміни ціни наступного тижня.

Якщо наступного тижня передбачається, що ціна впаде, а в подаль-шому підніметься, то пропозиція буде стримуватися за умови переви-щення очікуваного підвищення цін над витратами зберігання.

При цьому пропозиції товару найближчого тижня тим менші, чим більшими очікуються в подальшому підвищення цін. І навпа-ки, якщо наступного тижня ціна буде високою, а потім очікується її спад, то пропозиція збільшиться тим більше, чим більше очікується зниження цін у подальшому.

Якщо позначити через Р ціну на фрукти наступного тижня, а через Р' — так звану тенденцію формування ціни (похідну ціни з часом), то як попит, так і пропозиція будуть функціями цих вели-чин. При цьому, як показує практика, залежно від різних факторів попит і пропозиція можуть бути різними функціями ціни і тенденції формування ціни.

В окремому випадку одна з таких функцій задається лінійною залежністю, математично записаною співвідношенням у = ар' + Ьр + С , де а,b,С — деякі дійсні сталі. Тоді якщо, наприклад, у даній задачі ціна на фрукти спочатку становила 1 грн за 1 кг, через t тижнів вона була уже p(t) грн за 1 кг, а попит q і пропозиція s визначались відпо-відно співвідношеннями

q = 4р' - 2р + 39, s = 44p' + 2p-1.

Для того щоб попит відповідав пропозиції, потрібно виконання

рівності

4р' - 2р + 39 = 44р' + 2р - 1.

Звідси приходимо до диференціального рівняння з відокремлю-

ваними змінними:

нтегруючи, знаходимо, що

Якщо врахувати початкові умови р = 1, при t = 0 дістанемо 1 - 10 = ; C=-9

тже, р = -9 е + 10.

Таким чином, якщо вимагати, щоб між попитом і пропозицією весь час зберігалась рівновага, потрібно, щоб ціна змінювалась відпо-відно до одержаної формули.

Ефективність реклами. Припустимо, що торговельними підприєм-ствами реалізується продукція В, про яку в момент часу t із числа потенційних покупців N знає лише х покупців. Припустимо далі, що для прискорення збуту продукції В були дані рекламні об'яви по радіо і телебаченню. Надалі інформація про продукцію розповсю-джується серед покупців за допомогою спілкування один з одним.

великим ступенем достовірності можна вважати, що після ре-кламних об'яв швидкість зміни кількості знаючих про продукцію В пропорційна як кількості знаючих про товар покупців, так і кількості покупців, які про нього ще не знали.

Якщо припустити, що час відраховується після рекламних об'яв,

коли про товар інформовані — чоловік, то приходимо до диферен-ціального рівняння з відокремлюваними змінними:

з початковими умовами х = , якщо t = 0.

У рівнянні коефіцієнт k — це коефіцієнт пропорційності. Рівнян-ня можна переписати в такий спосіб:

одержуємо

або

Після інтегрування матимемо

Прийнявши NC = C1, приходимо до рівності , де

А = ес1

Якщо останнє рівняння розв'язати відносно х, то дістанемо

співвідношення

економічній літературі таке рівняння називають рівнянням логістичної кривої. Якщо врахувати тепер початкові умови, то рівняння перепишеть-ся у вигляді