НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Усенко Євгенія Геннадіївна

УДК 517.521.8

МАЙЖЕ ДОДАТНІ ІНТЕГРАЛЬНІ МЕТОДИ ПІДСУМОВУВАННЯ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному педагогічному університеті імені М. П. Драгоманова МОН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Шевчук Ігор Олександрович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Андрієнко Віталій Опанасович,

Південноукраїнський державний

педагогічний університет ім. К. Д. Ушинського

(м. Одеса)

доктор фізико-математичних наук,

Зелінський Юрій Борисович,

провідний науковий співробітник

Інституту математики НАН України

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України, кафедра теорії функцій і теорії ймовірностей

Захист відбудеться “05” лютого 2002 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ-4, вул. Терещенківська, 3

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “29” грудня 2001 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Класична теорія підсумовування розбіжних рядів і функцій сформувалася за перші 60 років ХХ сторіччя. Подальший розвиток цієї теорії пов’язаний, в основному, з поширенням відомих результатів для однократних послідовностей на випадок послідовностей і функцій, що набувають значень з більш загальних просторів.

Абстрактні методи підсумовування вивчалися у багатьох роботах, зокрема, у роботах В. Вла-дими-рова, Ю. Дрожжинова, Б. Зав’ялова, Г. Кангро, Е. Юрімяє, А. Пост-никова, Ф. Талаляна, Ю. Лампа, А. Щербакова, Н. Хо-л---щевникової, А. Ро-бінсона, А. Ревенка, ---і цей перелік можна було б довго продовжувати. Вивчення таких методів дозволяє розглядати як частинний випадок збіжність послідов-нос-тей у конкретних просторах, дістаючи результати для випадків рів-номірної збіжності, збіжності у середньому, збіжності за Прингсхеймом кратних послі-дов-ностей, рядів, функцій тощо.

Одним з центрів розвитку теорії підсумовування на Україні була кафедра математичного аналізу НПУ ім. М. П. Драгоманова, де під керівництвом М. Давидова досліджувалися питання, пов’язані з ефективністю та неефективністю, з включенням та рівносильністю методів підсумовування, з тауберовими умовами як для конкретних, так і для загальних методів підсумовування. Одним з найважливіших методів, розроблених М. Давидовим і розвинутих ним та його учнями, був метод (с)-точок доведення тауберових теорем. Багато результатів М. Давидова узагальнено його учнями на випадок кратних послідовностей і функцій кількох змінних. Проте питання про узагальнення цих результатів на функції кількох змінних, що набувають значення з лінійного топологічного простору, залишалося нерозв’язаним. І це не випадково, оскільки подібне узагальнення часто потребує спеціальних міркувань і нових методів доведення.

Виявляється також, що для абстрактних методів підсумовування не має місця цілий ряд важливих результатів, доведених для матричних методів підсумовування числових послідовностей, і такі методи можуть бути, зокрема, одночасно регулярними і породжувати збіжність (Е. Реймерс), жодна регулярна додатна матриця може не підсумовувати послідовність до фіксованої точки її ядра (Н. Холщевникова). Тому природньо виникає питання про те, яким умовам повинні задовольняти абстрактні методи підсумовування, щоб для них мали місце узагальнення класичних тверджень про збереження та породження збіжності, ефективність на певних класах функцій, включення та співпадання ядер, загальні тауберові теореми для абстрактних методів підсумовування.

У роботі дається відповідь на ці питання.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертації відповідають планам дослідження з теорії підсумовування, які здійснювалися на кафедрах вищої математики та математичного аналізу НПУ ім. М. П. Драгоманова.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є узагальнненя відомих результатів щодо критеріїв консервативності, 0(1)-ефективності та співпадання ядер функції та її середніх на випадок, коли функція набуває значень з лінійного топологічного простору, що є локально опуклим, хаусдорфовим та секвенціально повним.

Об’єктом дослідження є лінійні інтегральні методи підсумовування, що визначаються середніми функції з певного класу :

, (1)

за умови, що міри , , визначені на -алгебрі підмножин множини , причому міс-тить усі одноточкові підмножини множини і усі множини . Якщо , то кажуть, що функція підсумовується інтегральним методом до елемента .

Предметом дослідження є 0(1)-ефективність майже додатних методів та співпадання ядер та у випадку регулярного майже додатного методу .

Основними задачами дослідження є доведення

1)

2)

3)

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи класичного і функціонального аналізу, теорії міри та ін-те-грала, теорії підсумовування розбіжних рядів і функцій, а також метод (с)-точок, запропонований і розвинутий М. Давидовим та його учнями.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

1.

2.

3.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження і загальна постановка задач належить науковому керівникові – доктору фіз.-мат. наук, професору І. О. Шевчуку. Всі результати отримані здобувачем самостійно.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер і можуть мати практичний інтерес 1) у теорії підсумовування кратних послідовностей і функ-цій багатьох змінних, 2) у теорії сингулярних інтегралів, 3) при вивченні інтерполя-ційних методів поліпшення збіжності та у застосуваннях до суміжних галузей математики, що використовують методи аналізу.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на:

·

·

·

·

·

·

·

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-8] без співавторів.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, двох розділів, що об’єднують 11 підрозділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 69 найменувань. Повний обсяг роботи складає 139 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

У вступі висвітлена актуальність теми, показаний зв’язок роботи з науковою тематикою, що розробляється в НПУ імені М. П. Драгоманова, сформульовано мету та задачі дослідження, подано коротку анотацію результатів дисертації. Крім того, відображено практичне значення результатів дисертації та апробацію основних її положень.

Розділ 1 – “Абстрактні інтегральні методи підсумовування, умови їх консерва-ти-в-ності та 0(1)-ефективності” – складається з шести підрозділів.

У підрозділі 1.1 наведено результати, що носять допоміжний характер і пов’язані з умовами консервативності, регулярності та породжування збіжності.

Ці умови для матричних методів підсумовування однократних числових послідовностей знайдено Теплицем (Toeplitz O., 1911), Кожима (Kojima T., 1917), Шуром (Schur Y, 1921). У подальшому ці умови узагальнювалися величезною кількістю авторів на випадок все більш загальних методів підсумовування.

У підроздалі 1.1, зокрема, доведені теореми 1 і 2:

Теорема 1. Для того, щоб інтегральний метод підсумовування , що визначає-ть-ся рівніс-тю (1), був консервативним, необхідно і досить, щоб виконувались умови

1) ,

2) i ,

3)

Як наслідок доведених критеріїв, одержано твердження (теорема 10) про те, що деякі методи підсумо-вують до нуля обмежену розбіжну невід’ємну функцію тоді й тільки тоді, коли вони підсумовують до нуля якусь необмежену невід’ємну функцію з класу. Цей ре-зультат цікаво порівняти з відомими теоремами С. Мазура і В. Орлича та В. Даревського. Теорема Мазура і Орлича стверджує, що коли регулярна матриця 0(1)-ефективна на множині обмежених послідовностей, то вона є 0(1)-ефективною і на множині необмежених послі-довностей. Твердження, обернене до цієї теореми, неправильне. Більше того, у 1947 році В. Даревський довів, що для будь-якої необмеженої послідовності існує регулярний матричний метод , який підсумовує лише послідовності вигляду , де , а - збіжна.

Зокрема, послідовність у теоремі Даревського може бути невід’ємною та підсумовуватися до нуля методом . М. Давидов поставив питання, чи може метод М у теоремі Даревського бути додатним і дав негативну відповідь при додаткових умовах: нижньої трикутної матриці, елементи якої монотонні по стовпчикам.

У підрозділі 1.3 доведена низка тверджень, з яких, зокрема, випливає несуттєвість цих додаткових умов. Зокрема, доведено (теорема 10’), що майже додатний матричний метод підсумовування кратних послідовностей підсумовує до нуля додатну обмежену розбіжну послідовність (є 0(1)-ефективним) тоді й тільки тоді, коли він підсумовує до нуля додатну необмежену послідовність.

Розглянуто наслідки доведених тверджень до дискретних методів Ріса, Вороного і Абеля під-сумовування кратних послідовностей, які узагальнюють результати М. Давидова і Г. Михаліна, Ishiguro Kazuo та інші.

Висновки

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Усенко Є. Г. Майже додатні інтегральні методи підсумовування. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2001.

Дисертація присвячена дослідженню інтегральних методів підсумовування, що визначаються середніми

,

де , - лінійний топологічний простір що є локально опуклим, хаусдорфовим, та секвенціально повним. Ці методи названо майже додатними, коли . Доведено умови консервативності, регулярності і породжування збіжності методів , а також критерії 0(1)-ефективності майже додатних методів на класі , що містить, зокрема, клас невід’ємних розбіжних функцій. Також доведено критерії збігу ядер у розумінні Кноппа функції та її середніх у випадку регулярного майже додатного інтегрального методу . Загальні теореми застосовуються до інтегральних методів Ріса, Вороного, Абеля.

Ключові слова: інтегральний метод підсумовування функцій, майже додатний, консервативний, регулярний, ядро функції, загальна тауберова теорема.

Усенко Е. Г. Почти положительные интегральные методы суммирования. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертация посвящена исследованию методов суммирования, которые определяются средними

,

где , - линейное топологическое пространство, локально выпуклое, хаусдорфово и секвенциально полное. Эти методы названы почти положительными, когда . Почти положительные методы суммирования являются естественным обобщением положительных методов суммирования. Доказан ряд утверждений, дающих необходимые и достаточные условия почти положительности метода .

Доказаны условия консервативности, регулярности и порождения сходимости методов , а также критерии 0(1)-эффективности (то есть суммируемости к нулю некоторой расходящейся обобщенной последовательности) почти положительных методов на классе , который содержит, в частности, класс неотрицательных расходящихся функций. Как следствие доказанных критериев получено утверждение о том, что некоторые методы М суммируют к нулю некоторую ограниченную расходящуюся неотрицательную функцию тогда и только тогда, когда они суммируют к нулю некоторую неограниченную неотрицательную функцию из класса . Это утверждение является своего рода оборотным аналогом теоремы Мазура-Орлича о том, что если регулярная матрица 0(1)-эффективна на множестве ограниченных последовательностей, то она является 0(1)-эффективной и на множестве неограниченных последовательностей.

Общие теоремы о 0(1)-эффективности были применены к классическим интегральным и матричным методам Риса, Абеля и Вороного.

Доказано обобщение теоремы Кноппа о включении ядер функции и ее средних на случай консервативных почти положительных интегральных методов суммирования. Обобщение теоремы Кноппа о ядрах и применено к почти положительным методам Риса, Вороного и Абеля, и указаны условия, при которых

, и , где

, – это при , , , а – это при .

Введено понятия -точки, -точки и -точки функции . Понятие -точки является нетривиальным обощением понятия с-точки, введенного для однократных последовательностей и методов Чезаро Н. Давыдовым.

Доказаны критерии совпадения ядер в смысле Кноппа функции , определенной на произвольном пространстве с мерами и принимающей значения из линейного топологического пространства, локально выпуклого, хаусдорфового и секвенциально полного, и ее регулярных почти положительных средних вида . На эти критерии можно смотреть как на общие тауберовы теоремы для общих регулярных почти положительных методов суммирования.

Кроме того, доказаны критерии совпадения ядра фиксированной функции с ядрами ее -, - или -средних. Оказывается, что для достаточно широкого класса функций эти критерии одинаковы для методов и или и .

Ключевые слова: интегральный метод суммирования функций, почти положительный, консервативный, регулярный, ядро функции, общая тауберова теорема.

E. G. Usenko. Nearly positive integral summation methods. – Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2001.

The thesis is dedicated to investigation of integral summation methods defined by the means

,

where , - a linear topological space, which is locally convex, separable, and sequentially complete. Such methods are called nearly positive, when . The conditions under which the above-mentioned methods are conservative, regular and convergence generating, as well as 0(1)-effectiveness of nearly positive methods M on the class are proved. We also stated and proved the criteria for coincidence of kernels in the sense of Knopp of a function and its means for a regular nearly positive integral method . The general theorems are applied to the summation methods of Riesz, Voronoї and Abel.

Key words: integral summability of functions, nearly positive, conservative, regular, kernel of a function, general Tauberian theorem.