Національна Академія наук України

Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова

530.145; 531.01; 519.46

Скрипник Тарас Володимирович.

ГЕОМЕТРИЧНІ АСПЕКТИ ТЕОРІІ

ПРЕДСТАВЛЕНЬ ТА ІНТЕГРОВНІ

ГАМІЛЬТОНОВІ СИСТЕМИ

Спецiальнiсть 01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ - 2000

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України.

Науковий керiвник: | кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Голод Петро Іванович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, відділ математичних методів в теоретичній фізиці.

Офiцiйнi опоненти: | доктор фізико-математичних наук НІКІТІН Анатолій Глібович, Інститут математики НАН України,

зав. Відділом прикладних досліджень,

доктор фізико-математичних наук Ситенко Юрій Олексійович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, провідний науковий співробітник.

Провiдна установа: | Київський унiверситет iмені Тараса Шевченка, фізичний факультет, кафедра теоретичної фізики

Захист вiдбудеться "_30_"__березня_ 1999 року об _11_ годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України за адресою: 252143, м.Київ, вул.Метрологічна, 14б.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України.

Автореферат розiсланий "_22 ''__лютого__ 2000 року.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради

доктор фіз.-мат. наук |

В.Є. КУЗЬМИЧЕВ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В дисертаційній роботі досліджується взаємозв'язок між теорією класичних інтегровних гамільтонових систем, геометрією їх фазового простору та теорією представлень груп

та алгебр Лі. Отримані результати застосовуються для явного опису простору представлень класичних груп Лі, побудованого в рамках теорії геометричного квантування, та доведення

інтегровності квантових аналогів деяких інтегровних систем класичної механіки.

Актуальність теми. Ідеї, на яких базується матеріал дисертації, зявилися та інтенсивно розвивалися протягом останніх 30 - ти років. В їх основі лежить спостереження, що дуальний простір до кожної алгебри Лі може бути перетворений у Пуасонів многовид введенням лінійної Пуасонової структури — дужки Лі-Пуасона. Отже з кожною алгеброю Лі і поліноміальною функцією на дуальному просторі асоціюється система диференційних рівнянь — рівняння Ейлера-Арнольда. Більше того, майже всі відомікласичні інтегровні системи дістали інтерпритацію та були узагальнені, як рівняння Ейлера на орбітах коприєднаного представлення. Такі відомі класичні інтегровні системи як задача про рух твердого тіла, задачі Клебша, Неймaна і Ковалевської, гармонійний осцилятор і задача Кеплера, ангармонійний осцилятор та багато інших інтерпретуються таким чином. Інше застосування орбіти коприєднаного представлення (симплектичні листи дужки Лі-Пуасона) знайшли в такій області математичної фізики як геометричне квантування. Згідно ідеології "методу орбіт" Кіріллова , існує відповідність між орбітами коприєднаного представлення та незвідними унітарними представленнямивідповідної групи Лі. Ця ідеологія дозволяє ототожнювати конструкцію геометричного квантування орбіт коприєднаного представлення та теорію незвідних унітарних представлень скінченновимірних груп Лі. Не дивлячись на бурхливий розвиток

теорії інтегровних систем та геометричного квантування, в цих теоріях лишається ряд нерозв'язаних проблем, що є актуальними і до сьогодні. Нерозв'язаною проблемою теорії інтегровних систем є, зоокрема, проблема доведенняінтегровності їх квантових аналогів. Складною проблемою теорії геометричного квантування є явний опис простору "квантових станів" що в деяких випадках лежить у просторах вищих когомологіях орбіти.

Розв'язанню цих проблем для випадку класичних алгебр Лі присвячена основна частина дисертаційного дослідження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати, що увійшли в дисертаційну роботу, були отримані в рамках планової наукової тематики відділу математичних методів в теоретичній фізиці Інституту теоретичної фізики НАН України (тема "Представлення квантових груп і калібрувальні інтегровні взаємодії", 1996-2000 рр.).

Мета і задачі дослідження. Основною метою дослідження є виявлення впливу геометрії орбіти на феномен інтегровності, застосування методів інтегровних систем у теорії представлень та доведення інтегровності квантових аналогів деяких інтегровних систем класичної механіки.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше:

1. дано явний опис просторів січних лінійних розшарувань та їх вищих груп когомологій, в

яких реалізуються незвідні унітарні представлення компактних груп Лі, побудовані методом геометричного квантування.

2. запропоновано новий підхід до пошуку інтегровних гамільтонових систем на орбітах

скінченновимірних груп Лі; зконструйовано приклади інтегровних систем, що одержуються в рамках цього підходу.

3. доведено квантову інтегровність динамічних систем типу узагальнених дзиг з симетріями.

4. показано комутативність квантових операторів що відповідають комутуючим відносно дужки Лі-Пуасона інтегралам "повної" системи Тоди.

Практичнe значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, мають теоретичний характер і є важливими, в теорії груп Лі; в теорії представлень, в геометричному квантуванні, теорії інтегровних систем, теоретичній та квантовій механіці. Використання результатів розділу 4 дозволить розв'язати проблему кратностей, що є важливим для теорії груп та для її застосувань у теоретичній фізиці.

Особистий внесок здобувача.

У спільних публікаціях автору належить ідея використання узагальненої стереографічної проекції для знаходження алгебраїчних рівнянь, що описують коприєднану орбіту; введення поняття "інтегровності по модулю'' або інтегровності на орбіті;використання групи Вейля для явного опису простору голоморфних січних індукованих лінійних розшарувань; доведення теореми про переплетення різних груп когомологій Дольбо за допомогоюоператорів Шіфмана. Крім того, автор приймав активну участь в обговоренні решти матеріалів публікацій.

Апробація результатів дисертації.

Основні наукові положення дисертації апробовані на міжнародному симпозіумі з математичної та теоретичної фізики "Mathematical Physics -- for Today, Priority Technology – for Tomorrow" (Київ, травень 1997), на міжнародній конференції "Non-Euclidean Geometry in Modern Physics" (Ужгород, серпень 1997), на міжнародній конференції "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, липень 1999), на наукових семінарах Інституту

теоретичної фізики НАН України (Київ, 1995-1998) та Інституту математики НАН України (Київ,1998).

Публікації. За темою дисертаційної роботиопубліковано вісім наукових робіт, шість з яких у вигляді статтей у наукових журналах і дві -- у вигляді матеріалів конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 146 сторінках; складається із Вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел з 80 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У Вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації і сформульовано мету роботи. Висвітлено хід розвитку теорії інтегровних систем, теорії представлень груп Лі у контексті

теорії геометричного квантування, сформульовано проблему інтегровності квантових систем що мають класичні інтегровні аналоги. Дано огляд літератури з цих питань і визначено місце досліджень, які розглядаються в дисертації, серед інших робіт. Подано загальну характеристику дисертації, викладено короткий зміст кожного розділу, сформульовано основні положення, які виносяться на захист.

У першому розділі — детально досліджено геометрію вироджених та невироджених орбіт компактних груп Лі (фазових просторів гамільтонових динамічних систем) та знайдено їх локальну комплексну параметризацію, в термінах якої в другому розділі методом геометричного квантування побудовано реалізацію незвіднихпредставлень компактних груп.

В підрозділі 1.1 ми узагальнюємо поняття стереографічної проекції на випадок довільної компактної алгебри Лі і знаходимо явну формулокальної комплексної парамeтризації орбіти відповідної групи.

Нехай g - компактна алгебра Лі, G — відповідна група Лі, Gc - її комплексифікація, H — її максимальний тор, K — централізатор деякого його підтору, P=Kc N — параболічна підгрупа в Gc з редуктивною частиною Kc і нільпотентним радикалом N. Нехай Z — контраградієнтна підгрупа до N. Під стереографічною проекцією ми будемо розуміти визначене майже скрізь відображення

що після обмеження на відповіднуорбіту:

( тут K — анулятор елемента , де — підалгебра Картана ) стає координатним дифеоморфізмом.

Mи узагальнюємо формулу стереографічної проекції та локальної комплексної параметризації на випадок довільної орбіти компактної групи Лі. Детально розглянуто випадок групи G=(S)U(n).

У підрозділі 1.2 розглянуто геометрію деяких спеціальних вироджених орбіт класичних груп Лі, що влаштовані однотипно для всіх чотирьох класичних серій. Ці орбіти характеризуються своїм стабілізатором, що складається з абелевої частини та простої частини того ж типу, що й вихідна група Лі, але меншого рангу. Особливістю цих орбіт є те, що твірні відповідного ідеалу є однорідними поліномами, тобто орбіта задається однорідними рівняннями.

Другий розділ дисертації, дисертації присвячений теорії Бореля-Вейля-Бота, що є варіантом теорії геометричного квантування для випадку компактних груп Лі.

У підрозділі 2.1 дається реалізації представлень компактних груп, що базується на теорії Бореля- Вейля. Ця реалізація узагальнює відому конструкцію представлень групи SU(2) у просторі поліномів від однієї комплексної змінної, що є локальною координатою проективного простору . Якщо G — компактна група Лі, Gc — її комплексифікація, B — борелівська підгрупа, то, згідно з теорією Бореля-Вейля, незвідні унітарні представлення компактної групи Лі реалізуються в просторі січних лінійних розшарувань над Gc/B. У цьому підрозділі ми реалізуємо схему Бореля-Вейля, деталізуючи відповідні геометричні об'єкти: систему локальних карт, закон перетворення координат при переході між картами, функції переходу в індукованих векторних розшаруваннях. Використовуючи їх ми знаходимо простори січних лінійних розшарувань у локальній тривіалізації на підгрупі Z:

Теорема 2.1 Простір голоморфних січних розшарування у локальній тривіалізації на підгрупі Z строго верхньо трикутних матриць співпадає з простором поліномів степеню не вище по мінорам складених з перших k стрічок матриці z Z.

Знайдено також унітаризуючі ядра скалярних добутків:

Твердження 2.2 Iнваріантний скалярний добуток в просторі січних розшарування має вигляд:

де

.

У підрозділі також показано, що локальні компоненти січних у тривіалізації на підгрупі Z задовольняють індикаторну систему Желобенка, тобто належать ядру виродженого оператора переплетення.

Підрозділ 2.2 присвячений узагальненій теорії Бореля- Вейля — теорії Бота.

В цьому підрозділі ми розглянули теорію Бореля- Вейля- Бота, знайшовши явний вигляд груп когомологій Дольбо- Костанта флагових многовидів в локальній тривіалізації на підгрупі Z. Для явної побудови деяких вищих груп когомологій Дольбо зі значеннями у індукованих розшаруваннях ми використовуємо техніку переплітаючих операторів, переплітаючи старшу групу когомологій , знайдену явно з міркувань її дуальності до групи голоморфних січних, з групами когомологій менших порядків. Таким чином, зоокрема, ми в явному вигляді знаходимо групи гармонійних форм :

Теорема 2.3 Нехай G — компактна група Лі, — домінантна цілочисельна вага на підалгебрі Картана, — індуковане лінійне розшарування , — характер максимального тору продовжений до функції на Gc: де g=n(h)h(g)z(g) — розклад Гауса елемента g. Нехай w — такий елемент групи Вейля, що де Zp — максимальна нільпотентна підгрупа фактора Леві Gp параболічної підгрупи P. Тоді група гармонійних форм \hm\ у локальній тривіалізаціїї на підгрупі Z складається з форм вигляду:

де —

антиголоморфна частина міри на підгрупі Z(P).

В третьому розділі дисертації деякі результати першого розділу застосовані до інтегровних класичних динамічних систем типу рівнянь Ейлера- Арнольда руху узагальненого твердого тіла.

В підрозділі 3.1 ми розглянули обмеження інтегровних систем, що одержуються методом зсуву аргументу на вироджені орбіти напівпростих груп Лі. Ідеали в алгебрі функцій, що відповідають виродженим орбітам з першого розділу дисертації, використано для встановлення явного вигляду функціонально незалежних генераторів алгебри Міщенка-Фоменка після обмеження її на вироджені орбіти, описаного в другому підрозділі першого розділу типу. Цей результат дозволяє довести квантову інтегровність механічних систем типу узагальнених дзиг без симетрій на деяких сильно-вироджених орбітах :

Теорема 3.2 Нехай класична динамічна система типу рівнянь Ейлера-Арнольда з квадратичним твердотільним гамільтоніаном HA(X) обмежена на вироджені орбіти Odeg алгебр Лі типу An, Bn, Cn, Dn, анулятор яких містить підалгебри An-2, Bn-1, Cn-1, Dn-1 відповідно. Тоді відповідна квантова динамічна система є цілком інтегровною, тобто існує

Ѕ dim Odeg комутуючих між собою та з квантовим гамільтоніаном

операторів, що є квантовими аналогами класичних інтегралів руху.

Розглянуто також "дуальний" випадок "виродженого зсуву" і знайдено явний вигляд незалежних генераторів у цьому випадку. Цей результат разом з результатами розділу 4 дозволяє довести квантову інтегровність механічних систем типу узагальнених дзиг з симетріями:

Теорема 3.4 Нехай гамільтоніан динамічної системи Ейлера- Арнольда руху узагальненого твердого тіла на невироджених орбітах класичних простих алгебр Лі типу An, Bn, Cn, Dn є симетричним відносно алгебр Лі типу An-2, Bn-1, Cn-1, Dn-1 відповідно. Тоді відповідна квантова динамічна система є цілком інтегровною, тобто існує ?(dim g + ind g) комутуючих між собою квантових операторів, що є аналогами класичних інтегралів руху.

У підрозділі 3.2 ми пропонуємо нову конструкцію інтегровних гамільтонових систем на вироджених та деяких невироджених орбітах коприєднаного представлення скінченновимірних алгебр Лі g. Основна ідея полягає в тому, що на деяких орбітах коприєднаного представлення можуть існувати комутативно (чи некомутативно) інтегровні динамічні системи типу рівнянь Ейлера-Арнольда, які не піднімаються до інтегровних систем у всій алгебрі Лі (тобто на всіх орбітах коприєднаного представлення). Це стає можливим завдяки тому факту, що орбіти є алгебраїчними підмноговидами і їм відповідають деякі ідеали у алгебрі функцій, що перетворюються на тотожній нуль на цих орбітах. Тому для не комутативної (комутативної) інтегровності на орбітах необхідно шукати в алгебрі функцій на коалгебрі Лі підалгебри Лі, що є розширенням скінченновимірних (абелевих) алгебр Лі за допомого цього ідеалу. Відомим прикладом таких систем є гіростат (дзига)Горячева-Чаплигіна. В цьому підрозділі ми конструюємо новий клас таких прикладів, що, як і згаданий випадок Горячева-Чаплигіна, пов'язані з напівпрямими добутками напівпростої та абелевої алгебри Лі.

В четвертому розділі ми знаходимо нові максимально -комутативні підалгебри в U(g) , що є алгебрами інтегралів руху симетричних квантових дзиг.

У підрозділі 4.1 ми доводимо комутативність в U(g) підалгебри алгебри Міщенка-Фоменка лінійної по "параметрам зсуву'' Aij. Нехай класична проста алгебра g реалізована як підалгебра матричної алгебри. Тоді базис в g будемо індексувати як Xij.

Визначимо оператори :

Для довільної числової матриці введемо оператори:

Вони є "квантовими" аналогами генераторів алгебри Міщенка – Фоменка лінійних по параметрам зсуву Aij. Нехай gA — централізатор матриці A в g. Нехай генератори центру універсальної огортуючої алгебри вибрані у вигляді:

Справедлива наступна теорема:

Теорема 4.1 Нехай FA — підалгебра в U(g) породжена елементами і , де

M,N — додатні цілі числа. Тоді

(i) FA — комутативна підалгебра в в U(g).

(ii) gA — централізатор підалгебри FA в U(g).

У підрозділі 4.2 ми доповнюємо побудовану підалгебру до максимально комутативної без доведення комутативності всієї алгебри Міщенка-Фоменка в U(g).

Теорема 4.3 Нехай g — проста класична алгебра Лі над полем дійсних чи комплексних чисел, A — напівпроста матриця другого матричного рангу, gA і FA визначені як вище. Нехай CgA — деяка комутативна підалгебра в U(gA), F(g, CgA) — комутативна підалгебра в U(g) породжена генераторами алгебр FA і CgA. Тоді якщо

deg.tr. CgA = (dim gA +ind gA)/2,

то

deg.tr. F(g, CgA) =(dim g +ind g)/2.

Побудована в теоремі комутативна підалгебра для випадку виродженої матриці Aij рангу один співпадатиме з стандартною алгеброю Гельфанда-Цетліна. Для випадку виродженої матриці Aij другого рангу отримано нові максимально комутативні підалгебри універсальної огортуючої алгебри. Взагалі, поєднанням даного методу з методом ланцюжка підалгебр для алгебр Лі g=gl(n), g =so(2n+1) та g =so(2n) вдається зконструювати комутативних підалгебр, з яких - 1 — нові. У випадку алгебри g =sp(n) така конструкція дозволяє доповнити алгебру Гельфанда - Цетліна до максимально комутативної.

У підрозділі 4.3 дається детальне доведення теорем 4.1- 2.

В п'ятому розділі зконструйовані в четвертому розділі комутативні підалгебри икористані для доведення цілковитої інтегровності повної квантової системи Костанта - Тоди на невироджених орбітах Борелівських підгруп.

Звичайні ланцюжки Костанта-Тоди, як було показано Костантом, є гамільтоновими системами на сильно- вироджених орбітах Борелівських підгруп простих груп Лі. У роботах Дейта, Лі, Нанда та Томеі було доведено інтегровність динамічної системи Костанта-Тоди після обмеження її на невироджені орбіти Борелівської підгрупи групи $Gl(n)$. У роботах Гехтмана і Шапіро цей результат був перенесений на інші прості групи Лі. В підрозділі 5.1-5.2 дисертації ми доводимо аналогічний результат у квантовому випадку для всіх класичних серій.

Теорема 5.4 Нехай g — класична проста алгебра Лі. Tоді відповідна динамічна система

повного потоку Тодди інтегровна у квантовому випадку, тобто існує ( dim b +ind b)/2 , де

b — борелівська підалгебра алгебраїчно незалежних комутативних квантових операторів, коректно визначених у невироджених представленнях борелівської підгрупи, що є аналогами класичних інтегралів руху повного потоку Тодди на орбітах загального положення.

У випадку алгебри g =so(n), для побудови повної алгебри інтегралів руху, ми використали результати розділу 4 про комутативність деяких підалгебр в алгебрі Міщенка- Фоменка уквантовому випадку.

В підрозділі 5.3 показана можливість побудови нових комутативних підалгебр в алгебрі U(g) та U(n) максимальної степені трансцендентності, використовуючи схему, застосовану для знаходження алгебр інтегралів повного потоку Тоди.

У підрозділ 5.4 винесено доведення деяких тверджень рoзділу.

У Висновках сформульовані основні результати дисертації.

ВИСНОВКИ

1.У випадку компактних груп Лі побудовано комплексну параметризацію фазового простору (коприєднаної орбіти) та знайдено рівняння, що описують вироджені коприєднані орбіти як алгебраїчні підмноговиди у об'ємлючому лінійному просторі (відповідній алгебрі Лі).

2. Дано явний опис просторів січних лінійних розшарувань та їх вищих груп когомологій Дольбо, в яких реалізуються незвідні унітарні представлення компактних груп Лі, побудовані методом геометричного квантування.

3. Доведено теореми про інтегровність рівнянь Ейлера-Арнольда з квадратичним гамільтоніаном при обмеженні на вироджені орбіти та запропоновано новий підхід до пошуку інтегровних гамільтонових систем на орбітах скінченновимірних груп Лі.

4. Доведено квантову інтегровність систем типу узагальнених дзиг з симетріями, що дало змогу зконструювати новий, широкий клас підалгебр максимальної степені трансцендентності в універсальній огортуючій алгебрі.

5.Показано комутативність квантових операторів, що відповідають комутуючим відносно дужки Лі- Пуасона інтегралам "повного" потоку Тоди на невироджених коприєднаних орбітах Борелівських підгруп.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Боярский А.М., Скрыпник Т.В. Сингулярные орбиты присоединенного представления групп Ли SO(n) // Усп. мат. наук.-1996.- Т.51, No.3- С. 56-57.

2. Боярський A.М., Скрипник Т.В. Вироджені орбіти ортогональних груп //Укр. мат. журн.- 1997.- т.49, No 7.- С. 895-906.

3. Holod P.I., Skrypnyk T.V. On geometric aspects of representation theory of classical compact Lie groups //Укр. фіз. журн.- 1998 .-v. 43, No 7.- P. 798- 802.

4. Голод П.І.,Скрипник Т.В. Явна реалізація незвідних представлень компактних груп Лі у просторах січних лінійних розшарувань //Укр. мат. журн.- 1998.- т. 50, No 10.- С. 1316-1324.

5. Скрипник Т.В. Коприєднані орбіти компактних груп та узагальнена стереографічна проекція//Укр. мат. журн. - 1999.- т.51, No 12.- С. 1714-1718.

6. Skrypnyk T. On a new class of the commutative subalgebras of the maximal Gel'fand-Kirillov dimension in the universal enveloping algebra of a simple Lie algebra // Methods of

functional analysis and Topology.- 1999.- v.5, No 3.- P. 77 -89.

7. Holod P.I., Skrypnyk T.V. "On geometric aspects of representation theory of classical compact Lie groups-II: Doulbeaut cohomology groups and intertwining operators."// Proceedings of the conference "Noneuclidean geometry in modern physics".- Uzhgorod (Ukraine).- 1997.- P. 64- 70.

8. Skrypnyk T.V. "Quantum integrability of the generalized Eulr's tops.'' // Proceedings of the ІІІ conference "Symmetry in nonlinear mathematical physics ''- Kiev (Ukraine).- 1999.- P. 524- 529.

Скрипник Т.В. Геометричні аспекти теорії представлень та інтегровні гамільтонові системи. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 — теоретична фізика. — Інститут теоретичної фізики НАН України, Київ, 2000.

В дисертації запропоновано новий підхід до пошуку інтегровних гамільтонових систем на орбітах скінченновимірних груп Лі. Доведенo квантову інтегровність систем типу узагальнених дзиг з симетріями. Показано комутативність квантових операторів, що відповідають комутуючим відносно дужки Лі-Пуасона інтегралам повної системи Тоди на невироджених коприєднаних орбітах Борелівських підгруп. В явному вигляді знайдено вищі групи когомологій повних флагових многовидів.

Ключові слова: групи Лі, геометричне квантування, коприєднані орбіти, інтегровні системи, узагальнені дзиги, система Тоди..

Skrypnyk T.V. Geometric aspects of representation theory and integrable hamiltonian systems. — Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.04.02 — theoretical physics. — Bogolyubov Institute for Theoretical Physics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

In the thesis the new approach for searching of integrable hamiltonian systems on orbits of finite-dimensional Lie groups is offered. The quantum integrability of mechanical systems, such as generalized tops with symmetries, is proved. The commutativity of quantum operators which are quantum counterparts of commuting with respect to the Lie-Poisson brackets integrals of a classical Toda system on the generic co-adjoint orbits of a Borelian subgroup is proved. The higher Dolbeaut cohomology groups of the full flag manifolds are explicitly found.

Key words: Lie groups, geometric quantization, co-adjoint orbits, integrable systems, generalized Euler tops, Toda system.

Скрыпник Т.В. Геометрические аспекты теории представлений и интегрируемые гамильтоновы системы. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика. — Институт теоретической физики НАН Украины, Киев, 2000.

В диссертации изучается геометрия орбит компактных и некоторых некомпактных групп Ли, ассоциированные с ними представления и интегрируемые системы.

Мы обобщаeм понятие стереографической проeкции на случай орбит произвольных компактных алгебр Ли g. С ее помощью для орбит компактных групп построена локальная и глобальная комплексная параметризация и описано вложение орбит в алгебру g, как поверхностей уровня некоторых ковариантных полиномов. Детально рассматривается случай группы G=(S)U(n).

Дано явное описание пространств голоморфных сечений индуцированных линейных расслоений над флаговым многообразием X=Gc/B, в которых реализируются унитарные представления группы G, построенные в рамках теории Бореля-Вейля. Найдено унитаризирующее ядро скалярного произведения.

Используя технику переплетающихоператоров (интегралов Шифмана), построено явное отображение, задающее изоморфизм междy представлениями групп G и Gc в пространствах старших групп когомологий Дольбо со значениями в пучке сечений индуцированых линейных расслоений.

Рассмотрены ограничения систем, интегрируемых методом сдвига аргумента, на вырожденные орбиты полупростых групп Ли. В явном виде найдены независимые интегралы в случае специального класса вырожденных орбит, стабилизатор которых состоит из абелевой части и полупростой части того же типа что и исходная группа Ли.

Рассмотрен "дуальный'' случай интегрируемых систем для вырожденного сдвига. В явном виде найдены независимые интегралы из алгебры Мищенка- Фоменка в этом случае.

Предложен новый способ построения интегрируемых систем на орбитах конечномерных групп Ли. Построены примеры динамических систем на орбитах полупрямых произведений интегрируемые таким образом.

Доказана комутативная интегрируемость квантовых систем типа обобщенных волчков на алгебрах gl(n), so(n) и sp(n) в случае если их тензор инерции симметричен относительно групп Gl(n-2), SO(n-2) и Sp(n-1) соответственно.Таким образом сконструирован новый класс подалгебр максимальной степенитрансцендентности в универсальной обертывающей алгебре классических полупростых алгебр Ли. Построенный набор коммутативных подалгебр включает в себя, как частный случай, известную подалгебру Гельфанда- Цетлина.

Показана коммутативность квантовых операторов которые отвечают коммутирующим относительно скобки Ли-Пуассона интегралам полной системы Тодды на невырожденных

коприсоединенных орбитах борелевских подгрупп групп Gl(n), Sp(n) и SO(n).

С помощью метода, аналогичного используемому для построения набора интегралов полного потока Тоды, строятся новые максимально- коммутативные подалгебры в универсальной обертывающей алгебре полупростой алгебры Ли и ее максимальной нильпотентной подалгебры.

Ключевые слова: группы Ли, геометрическое квантование, коприсоединенные орбиты, интегрируемые системы, обобщенные волчки, система Тоды.

Скрипник Тарас Володимирович

Геометричні аспекти теорії представлень та інтегровні гамільтонові системи

(Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук.)

Зам.- 4 Формат 60 x 90 / 16 Обл.-вид.арк.- 1.0

Підписано до друку 6 січня 2000 р. Тираж 100 прим.

Поліграфічна дільниця ІТФ ім. М.М. Боголюбова НАН України.