НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П. ТИМОШЕНКА

Борисов Євген Миколайович

УДК 539.3

ТРИВИМІРНІ ФІЗИЧНО НЕЛІНІЙНІ ЗАДАЧІ ПРО ЗГИН ПРУЖНИХ ПРЯМОКУТНИХ ПЛАСТИН

Спеціальність 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Наукові керівники:

Член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Неміш Юрій Миколайович,

доктор фізико-математичних наук, професор

Подільчук Юрій Миколайович, завідувач відділу реології Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор

Василенко Анатолій Тихонович, головний науковий співробітник відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ).

Кандидат фізико-математичних наук

Кузьма Олександр Всеволодович, доцент кафедри математичної фізики Національного технічного університету України “К П І” (м. Київ).

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра механіки суцільних середовищ (м. Київ).

Захист відбудеться “28” січня 2003 р. о ___ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім.

С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “ _____ ” грудня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук Бабич І.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Товсті пластини, як елементи сучасних конструкцій, знаходять широке застосування в різних областях техніки: при будівництві атомних та теплових електростанцій, хімічному і нафтовому машинобудуванні та в інших галузях машинобудівного профілю. Використання нових матеріалів з різними фізико-механічними властивостями, підвищення вимог до надійності та стабільності роботи при експлуатації нових типів конструкцій, які працюють при високих швидкостях і технологічних навантаженнях, при значній зміні температур потребують врахування нелінійних співвідношень між напруженнями та деформаціями. Розв'язання тривимірних нелінійних задач теорії пружності є складною і водночас маловивченою проблемою механіки. Тому розв'язок нових просторових фізично нелінійних задач для товстих прямокутних пластин є актуальним як з теоретичної так і з практичної точки зору.

Задачами нелінійної теорії пружності займалися багато відомих вчених в Україні і за кордоном, серед них: А.Т. Василенко, В.Є. Вериженко, І.І. Гольденблат, А. Грін, Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, С.О. Калоєров, Г. Каудерер, О.С. Космодаміанський, М.М. Крюков, А.І. Лурьє, А.П. Мукоїд, Г. Нейбер, Ю.М. Неміш, В.В. Новожилов, Н.Д. Панкратова, В.Г. Піскунов, Г.М. Савін, Л.О. Толоконніков, Л.П. Хорошун, І.А. Цурпал, Ю.М. Шевченко, Н.А. Шульга, J. Casey, P.M. Naghdi, M. Reiner, P.S. Rivlin, F.D. Murnaghan, A. Signorini та багато інших.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження і результати дисертаційної роботи тісно пов'язані з науковими дослідженнями, які проводяться у відділі реології Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: тема НДР № 420 (пошукова) “Розвиток підходів до побудови аналітичних розв'язків деяких нелінійних задач теорії пружності та задач магніто пружності” (№ державної реєстрації 0101U002863); тема НДР № 402 (пошукова) “Розвиток підходів до побудови аналітичних розв'язків лінійних та нелінійних задач теорії пружності та електропружності” (№ державної реєстрації 0199U000906); тема НДР № 304 “Дослідження лінійного та нелінійного просторового деформування пружних канонічних тіл з концентраторами напружень” (№ державної реєстрації 0201U005512).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у розв'язанні нових просторових фізично нелінійних задач про згин пружних товстих прямокутних пластин та у виявленні і дослідженні характерних механічних ефектів, які викликані врахуванням фізичної нелінійності матеріалу. Для досягнення поставленої мети у роботі поширено метод збурення лінійно пружних властивостей на просторові фізично нелінійні крайові задачі про згин товстих прямокутних пластин.

Наукова новизна одержаних результатів. Отримані у роботі результати є новими і полягають:

· у поширенні наближеного аналітичного методу збурення лінійно пружних властивостей на просторові фізично нелінійні задачі про згин товстих шарнірно опертих прямокутних однорідних і шаруватих пластин;

· у розв'язанні просторової фізично нелінійної задачі про згин поперечним навантаженням товстої прямокутної однорідної пластини;

· у розв'язанні просторових фізично нелінійних задач про згин поперечним навантаженням товстих шаруватих прямокутних пластин у випадку ідеального і неідеального (проковзування без відриву та при наявності тертя між шарами) механічного контакту між шарами;

· у розробці алгоритму чисельної реалізації отриманих результатів на ПЕОМ;

· у виявленні механічних ефектів, які характерні для просторового деформування одношарових та шаруватих товстих прямокутних пластин.

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується математичною коректністю постановки тривимірних нелінійних задач, відповідністю отриманих результатів фізичним міркуванням, співпаданням отриманих результатів з розв'язками лінійних задач у граничних випадках, строгими математичними викладками.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в дисертаційній роботі аналітичні розв'язки дозволяють дослідити просторовий напружено деформований стан фізично нелінійних пружних товстих однорідних та шаруватих прямокутних пластин, що знаходяться під дією поперечних навантажень. Результати розрахунків можуть бути використані на підприємствах та в науково-дослідних організаціях будівельної механіки та машинобудівного профілю.

Особистий внесок здобувача. Автору належить поширення методу збурення лінійно пружних властивостей на фізично нелінійні просторові крайові задачі для товстих прямокутних пластин, наближені аналітичні розв'язки поставлених у роботі задач, розробка алгоритму чисельної реалізації отриманих розв'язків на ПЕОМ та аналіз механічних ефектів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації були оприлюднені на семінарах відділу реології Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України; на семінарі кафедри механіки суцільних середовищ механіко–математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка; на засіданні секції “механіка композитних і неоднорідних середовищ” вченої ради Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у чотирьох самостійних роботах, у наукових журналах та у науково-технічних збірниках, затверджених ВАК України фаховими виданнями.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 136 сторінок, у тому числі 25 рисунків, 1 таблиця, 12 сторінок займає список використаних джерел, що нараховує 131 назву.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дається обґрунтування актуальності розглянутих у роботі питань, розкрито суть та стан наукової проблеми, її зв'язок з науковими програмами, а також вказана наукова новизна та значимість роботи.

У першому розділі викладено огляд літератури за темою дисертації.

Другий розділ складається з двох підрозділів. В підрозділі 2.1 приведено основні рівняння фізично нелінійної теорії пружності, які прийняті у формі Г. Каудерера. Наближений аналітичний метод збурення лінійно пружних властивостей викладено в підрозділі 2.2.

Третій розділ складається з чотирьох підрозділів. В першому підрозділі поширено наближений аналітичний метод збурення лінійно пружних властивостей на фізично нелінійні задачі про згин шарнірно опертих однорідних товстих прямокутних пластин. Розглядається прямокутна пластина, що знаходиться в пружній рівновазі під дією нормального навантаження (8), що діє на верхню лицьову поверхню пластини. Припускається, що залежність між напруженнями і малими деформаціями відхиляється від лінійної, що описується законом Гука. Припускається, що таке відхилення з достатньою точністю описується фізично нелінійним законом у формі Г. Каудерера:

, (1)

Тут - об'ємне розширення, - модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона, - безрозмірна стала, що характеризує нелінійно пружні властивості матеріалу.

В цих формулах - інтенсивність деформацій зсуву, що визначається за формулою

Введено безрозмірні характеристики напружено-деформованого стану

, , (2)

де складові вектора переміщень

Якщо підставити співвідношення (1) в рівняння рівноваги, то, з урахуванням (2), після деяких перетворень отримаємо наступні нелінійні рівняння

(3)

де , ,

, ,

тут - складові об'ємних сил.

Нелінійні відносно малих деформацій функції записуються у вигляді

, (4)

де - символ Кронекера.

Припускається, що на граничній поверхні пластини задані переміщеннях або напруженнях. Якщо взяти до уваги складну залежність функцій від деформацій , яка визначається співвідношеннями (4), то отримати точний аналітичний розв'язок системи диференціальних рівнянь рівноваги (3) не вбачається можливим. У зв'язку з цим, розв'язок фізично нелінійної задачі шукається у вигляді рядів по степеням безрозмірного параметра , який представлено у вигляді відношення

. (5)

Зауважимо, що при рівняння (3) переходять в лінійні рівняння класичної теорії пружності.

Тоді переміщення, деформації, напруження та функції представляються рядами

. (6)

Отже, поставлена фізично нелінійна задача зведена до рекурентної послідовності відповідних лінійних крайових задач. Остаточно, на основі (5), (6), розв'язки задачі записуються таким чином

(7)

Де , - розв'язки відповідної лінійної задачі, які знайдені в роботі аналітично точно та зроблені порівняння з іншими відомими розв'язками. Складові , відповідають розв'язку в к-му наближенні однорідної системи диференційних рівнянь рівноваги (3), яка по своїй аналітичній структурі співпадає з рівняннями рівноваги класичної (лінійної) теорії пружності. Тому ці складові можуть бути вираженими через гармонічні або бігармонічні функції на основі відомих представлень, наприклад, у формі Папковича-Нейбера, Гальоркіна, Юнгдала. Компоненти , відповідають частковому розв'язку в к-му наближенні неоднорідної системи (3) з правими частинами, що залежать від розв'язку задачі в попередньому наближенні.

В другому підрозділі розділу 3 дана постановка і загальний розв'язок фізично нелінійної задачі про згин пружної товстої прямокутної пластини, віднесеної до декартової системи координат так, що (вісь направлена вниз), на верхню лицьову поверхню якої діє поперечне навантаження

, . (8)

Припускається, що на бічних гранях пластини виконуються умови шарнірного оперяння. У другому наближенні переміщення , що відповідають частковому розв'язку системи (3), мають такий аналітичний вигляд:

(9)

,

де функції залежать від і мають однакову аналітичну структуру. Наприклад, функції представляються в такому вигляді

де, в свою чергу, функція записується у формі

Використовуючи представлення розв'язку однорідної системи рівнянь рівноваги (3) у формі Юнгдала, компоненти переміщень у другому наближенні записуються таким чином

(10)

Підставляючи відповідні вирази для переміщень та напружень в крайові умови і прирівнюючи вирази при однакових добутках тригонометричних функцій, для визначення постійних отримаємо чотири системи алгебраїчних рівнянь 6-го порядку.

В третьому підрозділі розділу 3 проведені числові розрахунки для квадратної зі сторонами пластини і товщиною , а в четвертому підрозділі зроблені короткі висновки. На рис.1 показано розподіл нормальних напружень по товщині квадратної пластини для різних матеріалів в центрі пластини ()

.

Рис.1 Розподіл напружень по товщині пластини

Криві 1, 2, 3, 4 відносяться до міді (G=0.461·106 кГ/см2, g=7.26·106, =0.342), чистій міді (G=0.451·106 кГ/см2, g=0.18·106,=0.349), сплаву алюмінієвої бронзи (G =0.468·106 кГ/см2, g=0.04·106, =0.342), мартенівській сталі (G=0.853·106 кГ/см2, g=0.085·106, = 0.294), і відповідно цим матеріалам вибиралися такі малі параметри: , , , . Тут і далі пунктирні лінії відповідають розв'язкам задачі по лінійній теорії, а суцільні – розв'язкам по нелінійній теорії.

На рис.2 наведено графіки розподілу нормальних напружень по товщині пластини (матеріал мідь, ) для пластин різної товщини. Розглянуто чотири пластини різної товщини 1), 2), 3), 4)

Рис.2 Розподіл напружень по товщині для пластин різної товщини

Як видно з приведених графіків, із зменшенням товщини пластини вплив фізичної нелінійності на пружну рівновагу пластини відповідно зменшується.

Четвертий розділ складається із чотирьох підрозділів. В першому підрозділі викладено узагальнення наближеного аналітичного методу збурення лінійно пружних властивостей для розв'язання фізично нелінійних крайових задач для шаруватої товстої прямокутної пластини, яка знаходиться під дією поперечного навантаження (8). В другому підрозділі викладено постановку і загальний розв'язок нелінійної задачі про згин пружної шаруватої товстої прямокутної пластини. При цьому умови закріплення пластини аналогічні до попередньої задачі. Зауважимо, що головна складність, що виникає при розв'язанні поставлених задач, заключається у знаходженні часткових розв'язків (9) неоднорідної системи (3). Слід зазначити, що переміщення у другому наближенні для го шару пластини за своєю аналітичною структурою подібні до переміщень, які отримані в задачі для однорідної пластини. При цьому, для визначення постійних, які входять до компонент розв'язку однорідної системи, наприклад, для тришарової пластини () отримаємо чотири системи алгебраїчних рівнянь 18-го порядку. В загальному випадку для шарової пластини отримаємо чотири системи алгебраїчних рівнянь порядку .

Таким чином, на основі (6), (7), розв'язки задачі з урахуванням двох наближень (нульового – лінійна задача і другого – врахування малої фізичної нелінійності) запишуться у вигляді

Тут індекс означає номер шару пластини.

Третій підрозділ розділу 4 складається із чотирьох пунктів. В пункті 4.3.1 викладено наближений розв'язок фізично нелінійної задачі для шаруватої товстостінної пластини при ідеальному контакті між шарами. Для прикладу розглянуто задачу про нелінійну пружну рівновагу двошарової квадратної пластини. Числові розрахунки проведені для двох варіантів пружних характеристик шарів: Перший варіант: верхній шар - мартенівська сталь; нижній шар - мідь (при інтенсивності зовнішнього навантаження p=3·106 Па); Другий варіант: верхній шар - мартенівська сталь; нижній шар –алюмінієва бронза (при інтенсивності навантаження p=40·106 Па).

Розподіл прогинів по товщині двошарової пластини показано на рис.3.

Рис.3 Розподіл переміщення по товщині двошарової пластини

Крива 1 відноситься до першого варіанту пружних характеристик шарів, а крива 2 до другого. При цьому відхилення значень переміщення від відповідної величини по лінійній теорії складає приблизно 5%.

В пунктах 4.3.2, 4.3.3 розглянуто задачі, аналогічні до попередньої. В даних випадках були розглянуті умови неідеального контакту (проковзування без відриву та при умові тертя) між шарами двошарової квадратної пластини. Як і в попередній задачі, числові розрахунки проведені для двох варіантів пружних характеристик шарів, причому, в першому варіанті при інтенсивності навантаження p=5·106 Па, в другому варіанті при інтенсивності навантаження p=60·106 Па. Розподіл напружень зсуву по товщині двошарової пластини при умові проковзування показано на рис.4. При цьому криві 1, 2 відносяться відповідно до першого і другого варіанту пружних характеристик шарів. Як видно з рис.4, відхилення значень для напружень від відповідної величини по лінійній теорії для кривої 1 складає 10%, а для кривої 2 - 20%.

Рис.4 Розподіл напружень по товщині двошарової пластини

В пункті 4.3.4 розглянуто задачу про нелінійну пружну рівновагу тришарової товстостінної квадратної пластини з поверхнями поділу S1, S2, що проходять через точки (), (). Припускається, що виконуються умови неідеального контакту (проковзування без відриву) на поверхні поділу S1, і умови ідеального контакту на поверхні поділу S2. Задача розв'язана з врахування двох наближень, побудовані відповідні графіки розподілу компонент напружено деформованого стану по товщині пластини та проведено аналіз механічних ефектів. В підрозділі 4.4 викладено короткі висновки до четвертого розділу.

У висновках коротко сформульовані результати дисертації.

ВИСНОВКИ

Таким чином, в результаті виконання дисертаційної роботи були отримані наступні наукові результати:

1. Поширено наближений аналітичний метод збурення лінійно пружних властивостей на просторові фізично нелінійні задачі про згин товстих прямокутних одношарових і шаруватих пластин. При цьому, наближені аналітичні розв'язки просторових фізично нелінійних задач відшукуються у вигляді рядів за додатними степенями малого безрозмірного параметру. Із-за складності розв'язання, отримані у роботі розв'язки обмежуються двома наближеннями (нульовим – лінійна задача і другим – врахування малої фізичної нелінійності). Слід відмітити, що друге наближення в межах малих деформацій з врахуванням малої фізичної нелінійності дає в середньому поправку порядку 10 – 20% для напружень і 4 – 8% для переміщень. При цьому, як свідчать проведені раніше дослідження, поправки четвертого і наступних наближень залишаються в декілька разів меншими від поправки другого наближення і, для даного випадку, складають не більше 4% для напружень і 1.5% для переміщень. Вищесказане підтверджується розрахунками на збіжність методу, які були проведені в роботах Ю.М. Неміша, І.А. Цурпала, Д.І. Чорнописького, С.В. Джовда, Т.Г. Топпер та ін.

2. Знайдено розв'язок просторової фізично нелінійної задачі про згин поперечним навантаженням товстої однорідної прямокутної пластини.

3. Отримано розв'язки для просторових задач про нелінійно пружну рівновагу товстих шаруватих прямокутних пластин, які знаходяться під дією поперечного навантаження. Були розглянуті такі види контакту між шарами: ідеальний, неідеальний (проковзування без відриву та при наявності тертя).

4. Розроблено алгоритми чисельної реалізації отриманих результатів на ПЕОМ. Ці алгоритми можуть бути використані в теорії пружності для розв'язання граничних задач.

5. Виявлено нові механічні ефекти, характерні для просторового деформування одношарових та шаруватих товстих ізотропних прямокутних пластин. На основі отриманих аналітичних розв'язків і їх чисельної реалізації було виявлено, що напружений стан нелінійно пружних пластин залежить:

а) від інтенсивності зовнішніх навантажень. Було виявлено, що із збільшенням інтенсивності зовнішнього навантаження вплив фізичної нелінійності відповідно збільшується. Так, наприклад, в задачі для тришарової пластини (перший шар (верхній) - мартенівська сталь; другий шар (середній) -мідь; третій шар (нижній) - мартенівська сталь) відхилення від відповідної величини по лінійній теорії змінюється для нормальних напружень від 8% до 22%, для напружень зсуву від 6% до 15%, для переміщень від 3 до 7% при збільшенні інтенсивності навантаження від 3 МПа до 5 Мпа. Для іншої тришарової пластини (перший шар (верхній) - мідь; другий шар – мартенівська сталь, третій шар (нижній) – мідь) відхилення від відповідної величини по лінійній теорії змінюється для напружень від 8% до 16%, для напружень від 5% до 12%, для переміщень від 3 до 5% при збільшенні навантаження від 2,5 МПа до 3 Мпа.

б) від товщини пластини. Так, в задачі для двошарової пластини з ідеальним контактом, розрахунки розподілу напружень зсуву по товщині пластини (при інтенсивності навантаження p=40·106 Па, перший шар (верхній) - мартенівська сталь; другий шар (нижній) –алюмінієва бронза) проведено для двох значень параметру товщини. З проведених розрахунків випливає, що із зменшенням товщини пластини вплив нелінійності зменшується. Найбільші відхилення для напружень при товщині від відповідної величини по лінійній теорії складають 8%, а для пластини товщини ці відхилення складають 13%.

в) крім того, напружений стан нелінійно пружних пластин залежить від механічних властивостей матеріалу. Відмітимо, що для матеріалів з постійною (наприклад мідь) вже при відносно невеликих інтенсивностях навантаження (3-5МПа) результати рішення задачі по нелінійній теорії відрізняються (в середньому на 10-20%) від відповідних результатів по лінійній теорії, тоді як для матеріалів з постійною (наприклад мартенівська сталь) ця відмінність відчутна при більших навантаженнях (40-60МПа). Також напружений стан нелінійної шаруватої пластини суттєво залежить від умов контакту на поверхнях поділу.

З практичної точки зору, отримані у роботі результати можуть бути використані для розрахунку товстих пластин, як елементів сучасних конструкцій, що знаходять широке застосування в різних областях техніки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Борисов Е.Н. Физически нелинейная задача для толстых прямоугольных пластин // Теоретическая и прикл. механика .-2001. Вып. 33.-С.28-31.

2. Борисов Е.Н. Нелинейно упругое равновесие толстой прямоугольной составной плиты при проскальзывании // Теоретическая и прикл. механика .-2002. Вып. 35.-С.42-46.

3. Борисов Е.Н. О нелинейно упругом равновесии прямоугольной многослойной плиты // Прикл. механика. -2002.-Т.38, №4.-С. 87-93.

4. Борисов Е.Н. Нелинейно упругое равновесие составной прямоугольной плиты при наличии трения между слоями // Прикл. механика. -2002.-Т.38, №7.-С.97 - 106.

АНОТАЦІЯ

Борисов Є.М. Тривимірні фізично нелінійні задачі про згин пружних прямокутних пластин. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено подальшому поширенню аналітичного методу збурення лінійно пружних властивостей на просторові фізично нелінійні задачі про згин товстих прямокутних однорідних і шаруватих пластин. Розв'язанню нових просторових фізично нелінійних задач про згин пружних товстих прямокутних пластин. Розглянуто задачі для товстих прямокутних однорідних пластин та шаруватих пластин при ідеальному та не ідеальному контакті між шарами. Досліджено вплив фізичної нелінійності, товщини пластини, інтенсивності навантаження, та механічних характеристик матеріалу на напружений стан товстої пластини, яка знаходяться під дією поперечного навантаження. Аналітичні викладки та чисельні розрахунки проведено за допомогою ПЕОМ з використанням математичної програми Maple 5.4.

Ключові слова: просторові задачі, фізична нелінійність, наближений аналітичний метод, малий параметр, прямокутні товсті пластини, напружено-деформований стан.

АННОТАЦИЯ

Борисов Е.Н. Трехмерные физически нелинейные задачи об изгибе упругих прямоугольных пластин. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформированного твердого тела. - Институт механики им. С.П. Тимошенка НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертация посвящена дальнейшему распространению приближенного аналитического метода возмущения линейно упругих свойств на пространственные физически нелинейные задачи об изгибе упругих толстых прямоугольных однородных и слоистых пластин, решению новых пространственных физически нелинейных задач об изгибе упругих толстых прямоугольных пластин. Предполагается, что интенсивность нагрузки такова, что связь между напряжениями и малыми деформациями в пределах упругости описывается нелинейным законом в форме Г. Каудерера.

Решение задач строится в виде рядов по степеням малого физически безразмерного параметра. Этот метод позволяет свести исходную нелинейную краевую задачу к рекуррентной последовательности соответствующих линейных краевых задач.

Получено решение пространственной физически нелинейной задачи об изгибе упругой толстой прямоугольной пластины. Построены решения пространственных физически нелинейных задач об изгибе упругих толстых слоистых прямоугольных пластин. Были рассмотрены такие виды контакта между слоями пластины: идеальный, не идеальный (проскальзывание без отрыва и при наличии трения между слоями). Из-за сложности построения, полученные в работе решения, ограничиваются двумя приближениями (нулевым – линейная задача и вторым – учет малой физической нелинейности). Следует отметить, что второе приближение в пределах малых деформаций с учетом малой физической нелинейности дает поправку порядка 10 – 20% для напряжений и 4 – 8% для перемещений. При этом, как свидетельствуют проведенные ранее исследования, поправки приближений более высоких порядков составляют не более 4% для напряжений и 1,5% для перемещений. Вышесказанное подтверждается многими расчетами на сходимость рассматриваемого здесь метода, которые были проведены в работах Ю.Н. Немиша, И.А. Цурпала, Д.И. Чернопиского, С.В. Джовда, Т.Г. Топпер и др.

Исследовано напряженное состояние однородной и слоистых нелинейно-упругих пластин, которые находятся под действием поперечной нагрузки. Определено влияние физической нелинейности материала, интенсивности внешнего усилия, механических характеристик материала, а также толщины на упругое равновесие толстой однородной и слоистой пластины. При этом определены механические эффекты, которые характерны для пространственного нелинейного деформирования однородных и слоистых толстых прямоугольных пластин.

На основе полученных результатов определены следующие механические эффекты. Напряженное состояние нелинейно упругих пластин зависит:

· От интенсивности внешней нагрузки. А именно, с увеличением нагрузки влияние физической нелинейности увеличивается.

· От толщины пластины: с уменьшением толщины пластины влияние физической нелинейности уменьшается. Например, расчеты распределения напряжений по толщине двухслойной пластины для второго варианта упругих характеристик слоев проводились для двух значений параметра толщины. При этом, наибольшие отклонения для напряжений при от соответствующей величины по линейной теории составляют 8%, а для более толстой пластины с параметром толщины эти отклонения составляют 13%.

· Кроме того, напряженное состояние нелинейно упругих пластин зависит от механических свойств материала. Следует отметить, что для материалов с постоянной (например медь) уже при относительно небольших нагрузках (3-5МПа) результаты решения задачи по нелинейной теории отличаются (в среднем на 10-20%) от соответствующих результатов по линейной теории, тогда как для материалов с постоянной (например мартеновская сталь) это отличие наблюдается при сравнительно больших нагрузках (40-60МПа).

· Также напряженное состояние нелинейно упругих пластин существенно зависит от вида контакта между слоями.

Аналитические выкладки и числовые расчеты проведены с помощью ПЭВМ с использованием пакета математических программ Maple 5.4.

Ключевые слова: пространственные задачи, физическая нелинейность, приближенный аналитический метод, малый параметр, толстые прямоугольные пластины, напряженно-деформированное состояние.

SUMMARY

Borysov E.N. Three-dimensional physically nonlinear problems of bending elastic rectangular plates.- Manuscript.

Thesis for сandidate's degree by speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid.- S.P. Timoshenko Institute of mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

The manuscript is devoted to further propagation of an analytical method of perturbation of linear elastic properties on the space physically nonlinear problems for thick rectangular plates and solution of the new spatial physically nonlinear problems of bending elastic thick rectangular plates. The nonlinear elastic constitutive assumptions proposed by H. Kauderer were used. The problems for thick rectangular homogeneous and layered plates that are under external load are considered. The influence of physical nonlinearity on stress state of a plate is researched. The analytical and numerical calculations are carried out with the help of the package of mathematical programs Maple 5.4.

Key words: the space problems, physical nonlinearity, approximate analytical method, small parameter, rectangular thick plates, and stress-strain state.