Національний аерокосмічний університет

ім. М. Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”

Берешко Ігор Миколайович

УДК 624.046:534.113

Метод рекурентнИх сПІВВІДНОШЕНЬ

У статиЦІ ТА динамІЦІ КОМБІНОВАНИХ

цилІндричНих оболоНОк

Спеціальність 01.02.04 –

механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному аерокосмічному університеті ім. М. Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”.

Науковий керівник:

Доценко Павло Данилович,

доктор технічних наук, професор, провідний науковий співробітник Національного аерокосмічного університету ім. М. Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”, м. Харків.

Офіційні опоненти:

Янютін Євгеній Григорович,

доктор технічних наук, професор, головний науковий співробітник Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, м. Харків;

Бабенко Володимир Іванович,

доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б. І. Веркіна НАН України, м. Харків.

Провідна установа:

Інститут технічної механіки НАН України, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться 22.11. 2002 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.062.04 у Національному аерокосмічному університеті ім. М. Є. Жуковського “ХАІ” за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова 17.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Національного аерокосмічного університету ім. М. Є. Жуковського “ХАІ”.

Автореферат розісланий 18.10.2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Професор ______________ Г. Л. Корнілов

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Для дослідження і розрахунку статичного і динамічного напруженого стану, малих коливань, стійкості і несучої здатності окремих оболонкових елементів існує багато підходів, методів, алгоритмів і програм. На жаль, ці підходи практично не поширюються на дослідження багатозв'язних та комбінованих оболонкових конструкцій.

Наприкінці сімдесятих і початку вісімдесятих років розроблялися чисельні алгоритми для дослідження складених оболонок обертання. Ці алгоритми використовували розбивку оболонок на малі елементи, чисельне інтегрування диференціальних рівнянь, метод ортогоналізації Годунова чисельних рішень і одержання зворотними матрицями методу ортогоналізації кінцевого рішення. Поряд із кроком у плані дослідження складних задач, такий підхід мав і ряд дуже важливих недоліків. Насамперед, це використання наближених чисельних рішень (різницеві методи, метод Н'ютона-Канторовича), що при великому числі ділянок розбивки приводить до нагромадження погрішностей. Другий істотний недолік – використання зворотних матриць методу ортогоналізації для одержання рішення, що при великій кількості цих матриць і недоброї обумовленості значно знижує точність розрахунків.

Для дослідження аналогічних задач більш складних конструкцій, єдиним на даний час є метод скінчених елементів (МСЕ). На основі МСЕ розроблено багато спеціальних програм наукового і промислового призначення, а також ряд пакетів (ANSYS, COSMOS, EUCLID, CATIA, UNIGRAPHICS, SAMCEF, NASTRAN та інші) з дуже широкими можливостями, що інтенсивно впроваджуються в промислове виробництво.

Проте, навіть такий потужний і універсальний апарат як МСЕ при використанні для розрахунку досить складних деформівних систем має ряд істотних недоліків, що обмежують його застосування, а в окремих ситуаціях – приводять до помилкових результатів. Останнім часом, як фахівцями, так і кінцевими користувачами проводяться тестування, перевірки і порівняння різних програм на основі МСЕ. І серед безлічі його достоїнств (головне – універсальність), фахівці, користувачі і самі виробники програм відзначають наступні недоліки програм на базі МСЕ:

1. Трудомістка і потребуюча високої кваліфікації допроцесорна підготовка.

2. Невисока точність розрахунків (за рахунок узгодження у вузлах тільки по окремих параметрах НДС і накопиченням погрішності при роботі з великими масивами).

3. Великі розмірності вирішуючих масивів, обробка яких дає додаткові погрішності і вимагає значних ресурсів і часу.

4. Відсутність можливості одержувати інформацію між вузлами і підвищити точність у конкретній задачі. Розбивка на більш дрібні елементи може погіршити точність за рахунок прогресивного накопичення погрішностей.

На думку голови представництва фірми Datavision International у Росії П'ера Лафонта (їхній підрозділ MATRA Datavision є розроблювачем пакета EUCLID і постачальником різних модулів для програм ANSYS, SAMCEF і CATIA) “зараз недостатньо поставляти на підприємства тільки важкі універсальні САПР ... При проведенні всебічного інженерного аналізу на виробництві неминуче виявляється ряд специфічних задач, не охоплюваних системою і потребуючих залучення додаткових програмних рішень. І навпаки, колосальний обсяг ресурсів системи виявляється незадіяним у силу відсутності потреби в їхньому використанні”. Як показала практика експлуатації більшості “важких” пакетів заходи по їхньому розширенню приводять до прогресивного росту таких недоліків, як:

·

· висока вартість програм і необхідного апаратного забезпечення;

· зниження точності і надійності;

· вимога високої професійної підготовки користувача.

Зважаючи на ці обставини, розроблювачі часто відмовляються від подальшої універсалізації пакетів, і більше уваги приділяють окремим класам задач.

Такий же сучасний напрямок був обраний і в даній роботі. Реалізація цього напрямку виконується на основі нового чисельного підходу – методу рекурентних співвідношень – який не використовує ідей і алгоритмів МСЕ. Наш підхід не використовує наближених чисельних рішень і зворотних матриць. Підхід (як робочий апарат, без назви “метод рекурентних співвідношень”) був розроблений раніше науковим керівником проф. П. Д. Доценко і використовувався для розрахунку складних стержневих і трубопровідних (одномірних) систем. По цим дослідженням опубліковано кілька десятків статей, захищено кілька кандидатських дисертацій, опублікована монографія.

У даній роботі цей підхід вперше застосований для дослідження статичного і динамічного стану двовимірних об'єктів – оболонок.

Актуальність роботи обумовлена, насамперед, зазначеними вище тенденціями у світовій практиці по розробці програмного забезпечення розрахунку складних деформівних структур. Дисертаційна робота відповідає цим тенденціям і присвячена створенню спеціалізованого пакета програм для рішення комплексної задачі підвищення точності, надійності і зниження ресурсоємності програмного забезпечення, призначеного для всебічного аналізу конкретного класу деформівних систем – складних комбінованих оболонкових структур досить загального складу при довільному навантаженні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження автора в напрямку тематики дисертаційної роботи були розпочаті відповідно до держбюджетної теми Г202-72/97 – “Розробка нового методу математичного моделювання і програмного забезпечення розрахунків складних, деформівних структур” і продовжуються відповідно до держбюджетної теми Г202-11/00 – “Розробка теоретичних методів аналізу динамічних процесів у вузлах і елементах конструкцій літальних апаратів і їхніх двигунів”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методів, алгоритмів і програмного забезпечення розрахунку статичного і динамічного стану комбінованих оболонкових систем на основі принципово нового підходу – “методу рекурентних співвідношень” (МРС). Ця мета відображає тенденції розвитку, яких дотримують розроблювачі спеціалізованих програм у відношенні конкретного користувача, зокрема, промислових підприємств, проектних і конструкторських організацій.

Основні задачі дисертаційної роботи:

1. Уточнити деякі співвідношення в моментній теорії циліндричних оболонок, а для дослідження коливань, стійкості і несучої здатності – сформулювати систему рівнянь у збуреннях, а також перетворити до спеціальної форми щодо розрахункових параметрів диференційні рівняння для використання в МРС.

2. Адаптувати розроблений раніше для одномірних систем алгоритм рекурентного способу побудови рішення цих систем на дискретному елементі оболонки (“дискретний” не відповідає “скінченому” елементу в МСЕ).

3. Розробити алгоритми зв'язку і переходу між дискретними елементами (виконуючі зв'язок по всіх геометричних і динамічних параметрах, а не по деяким, як у МСЕ), побудови вирішуючої системи рівнянь по всій конструкції, апроксимації довільних навантажень.

4. Адаптувати алгоритми обліку дискретних навантажень, мас, підкріплень, опор, з'єднань та інше, побудови керуючих матриць, а також спеціальний алгоритм розрахунку комплексних власних значень і власних форм.

5. Створити комплекс програм для розрахунку статичного і динамічного НДС, частотного спектру і форм коливань, стійкості і несучої здатності конструкцій заданого класу.

6. Виконати порівняння отриманих по цьому комплексу результатів з відомими розрахунковими та експериментальними даними, провести порівняння по точності, ресурсоємності і швидкодії в порівнянні з іншими програмами.

7. Виконати розрахунки і дослідження ряду нових окремих і спеціальних задач методом рекурентних співвідношень.

Об'єктом дослідження є комбіновані конструкції, що складаються з елементів циліндричних оболонок та інших конструктивних деталей, навантажених у загальному випадку довільним просторовим динамічним навантаженням, що мають у своєму складі елементи типу шпангоутів, фланців, жорстких, пружних, демпфуючих опор при довільних граничних та проміжних умовах.

Предметом дослідження є застосування методу рекурентних співвідношень до розрахунку статичного і динамічного стану комбінованих оболонкових технічних конструкцій з довільним динамічним навантаженням і з довільними граничними умовами, підкріпленнями і з'єднаннями.

Методи дослідження. Узагальнене визначення “метод рекурентних співвідношень” означає певний алгоритмічний і чисельний процес, що складається з ряду відомих загальних і оригінальних спеціальних математичних моделей, частково відомих і спеціально розроблених автором алгоритмічних, інтерфейсних і програмних побудов. Усі ці побудови вимагали виконання ретельного аналізу матеріалу, перевірки на працездатність, збіжність, точність, надійність і стійкість методів і алгоритмів, як модифікованих, так і нових.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі послідовно аргументуються: наукова новизна розробленого для оболонок підходу на базі методу рекурентних співвідношень і його істотні переваги в порівнянні з МСЕ. Відзначимо тут найбільш важливі:

1. Вперше для дослідження складних комбінованих оболонкових структур розроблений і реалізований новий чисельний підхід на основі методу рекурентних співвідношень, що не використовує наближених алгоритмів.

2. Показано, що реалізований підхід забезпечує можливість всебічного аналізу складних комбінованих оболонкових конструкцій (статичний і динамічний НДС, частотний спектр, статична і динамічна стійкість, несуча здатність).

3. Порівнянням на однакових задачах показано, що метод має меншу, ніж МСЕ, ресурсоємність процесу розрахунку і більшу швидкість роботи при більш високій точності і достовірності результатів за рахунок узгодження дискретних елементів по всіх параметрах НДС (а не по деяким, як у МСЕ), використання однієї з найбільш повних моделей (моментної оболонки) і можливості побудови точного рішення на кожнім елементі.

Достовірність результатів обумовлена такими факторами:

·

· при розробці алгоритмів і програм МРС використані і модифіковані стосовно до оболонок, рішення, які були апробовані раніше на стержневих системах;

· результати розрахунків, отримані по програмам, що розроблені автором, порівнюються з відповідними розрахунковими даними інших авторів, авторськими розрахунками за іншими методами і програмами на основі МСЕ (ANSYS, EUCLID, CATIA), експериментальними даними;

· збіжність рекурентного процесу перевіряється чисельним експериментом при розрахунку задач з варіаціями різних параметрів (дискретність розбивки, способи представлення та апроксимації навантаження, точність розрахунку та інше);

· використанням і адаптацією до МРС найбільш точних методів побудови рішень на різних етапах одержання результатів (рішення систем лінійних рівнянь, пошук комплексних власних значень з уточненням і нормуванням визначника, операції з матрицями та інше);

· варіаціями керованою точністю розрахунків (задається користувачем до машинного нуля), з метою оцінки збіжності, точності, стійкості процесу розрахунку і надійності програм у цілому.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений на основі методу рекурентних співвідношень комплекс програм, дозволяє зі значно більш високими якісними показниками, ніж МСЕ реалізувати виконання розрахунків по визначенню статичного і динамічного НДС, частотного спектру, місцевої і загальної статичної і динамічної стійкості конструкцій, що складаються з набору циліндричних оболонок з довільними навантаженнями і проміжними жорсткими і пружними зв'язками, вставками і підкріпленнями. Такого роду задачі є поточними при проектуванні і розрахунку окремих вузлів літальних апаратів (корпуса і двигуни), систем живлення і керування авіаційними і ракетними комплексами, трубопровідних систем газо- і нафтотранспорту, хімічного і сільськогосподарського машинобудування та інше. Програми можуть бути використані окремо, чи автономно, як модулі програм, що використовуються на підприємствах та організаціях.

Особистий внесок здобувача. Формулювання, розробки і модифікації всіх алгоритмів і модулів програм, іспит і доведення програм, чисельні розрахунки по розробленим автором програмам і програмам, що відносяться до класу “важких”, тестування і доведення своїх розробок, аналіз і порівняння з відомими результатами виконані особисто автором дисертаційної роботи. У розробці постановочної частини, виводі, коректуванні, перетворенні основних співвідношень і підготовці їх до використання в алгоритмі методу рекурентних співвідношень, автор дисертації приймав безпосередню і саму активну участь.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень були повідомлені на 7-ми конференціях різного рівня, у тому числі і міжнародних. З 1998 по 2000 рік – на Науково-технічній конференції молодих учених (м. Харків); у 2000 році – на 2-ій Всеукраїнській молодіжній науково-практичній конференції з міжнародною участю “Людина і космос” (м. Дніпропетровськ); у 2000 році – на Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми створення нових машин і технологій” (м. Кременчук); у 2001 році – на 3-ій Міжнародній молодіжній науково-практичній конференції “Людина і космос” (м. Дніпропетровськ); у 2001 році – на Міжнародній науково-технічній конференції молодих вчених (м. Харків).

Публікації. Основні положення дисертації і результати досліджень автора опубліковані в 9-ти друкованих працях.

Структура дисертації. Робота складається з вступу, чотирьох основних розділів, висновків, списку використаних джерел (94 найменування), трьох додатків, 67 малюнків і 13 таблиць. Основний зміст роботи викладений на 142 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовані наукова актуальність і практична цінність теми дисертації, що пов'язана з розробкою нового підходу (на базі методу рекурентних співвідношень) до розрахунку задач статики і динаміки комбінованих циліндричних оболонок, що включають елементи з різними геометричними і фізичними параметрами, проміжні пружні, жорсткі, демпфуючі та пружнодемпфуючі в'язі, накладені на будь-які з параметрів вектора стану конструкції, зосереджені в перетині і розподілені по поверхні навантаження. Визначено мету і задачі досліджень, приведені дані науково-технічних тем, у рамках яких виконана робота, а також кваліфікаційні ознаки дисертації.

У першому розділі роботи на підставі огляду літературних джерел дається оцінка стану розглянутої в роботі проблеми. Аналізуються існуючі математичні моделі тонкостінних циліндричних оболонок, області їхнього застосування, можливість одержання точного і чисельного рішення, а також різні спеціальні методи чисельного розрахунку циліндричних конструкцій. Найбільш загальною є моментна теорія оболонок, що використовує гіпотези Кирхгофа-Лява і викладена в роботах В. В. Новожилова, В. Л. Бідермана, Л. І. Балабуха, В. С. Черніної, С. П. Тимошенко, Е. Л. Аксельрада, П. М. Огибалова та інших. У роботах С. П. Тимошенко, А. Л. Гольденвейзера та А. І. Лур'є використовується уточнена теорія, що враховує нерівномірність розподілу напруг по товщині оболонки.

У багатьох роботах, включаючи перераховані вище, пропонуються і методи одержання рішення систем рівнянь, що описують НДС конструкції. У силу значної складності задачі, одержання точного її рішення можливо лише в обмеженому числі окремих випадків, що розглядаються в роботах С. П. Тимошенко, І. А. Біргера, В. В. Болотіна, А. С. Вольмира, Я. Г. Пановко, Л. І. Балабуха, Р. Р. Мавлютова та інших. У більшості випадків пропонується два шляхи рішення задач – застосування спеціальних спрощених теорій (безмоментна, напівбезмоментна, технічна теорії оболонок, теорії положистих оболонок, крайового ефекту та інші) і застосування спеціальних чисельних методів, що дають наближене рішення задачі (методи скінчених різниць, початкових параметрів, прогону, ортогоналізації, скінчених елементів та інші). Методи першої групи описуються і застосовуються в роботах Л. І. Балабуха, Н. А. Алфутова, В. І. Усюкіна, В. Л. Бідермана, Ван Цзі-де, В. В. Новожилова, І. А. Біргера, Я. Г. Пановко, С. П. Тимошенко, А. П. Філіппова, А. І. Лур'є, П. М. Огибалова, М. А. Колтунова, К. Ф. Черних, Є. І. Михайлівського, В. С. Черніної та інших. Чисельним методам дослідження НДС конструкції присвячені роботи І. В. Григор'єва, А. В. Кармішина, А. Н. Фролова, С. К. Годунова, К. Васідзу, А. А. Рєпіна, Л. І. Балабуха, Я. М. Григоренко, А. С. Пальчевского, В. Д. Кубенко, П. З. Лугового, І. Я. Аміро, Є. Г. Янютіна та інших.

З огляду перерахованих вище та інших джерел можна зробити наступні висновки: на сьогоднішній день не існує аналітичних методів, що дозволили б одержати рішення задач статики і динаміки комбінованих циліндричних оболонок; практично всі чисельні методи дають задовільне рішення лише для визначеного класу задач (в основному обмеження накладаються на довжину конструкції і на форму навантаження); найбільше поширення одержав метод скінчених елементів (МСЕ) завдяки своїй універсальності (щодо видів конструкцій). Аналіз робіт, присвячених МСЕ, дозволяє стверджувати, що цей метод має ряд недоліків. А саме: висока ресурсоємність, великий час рішення задач, істотні апаратні вимоги, принципова неможливість одержання точного рішення задач (за рахунок узгодження скінчених елементів у вузлах лише по деяких параметрах) і неякісні результати при рішенні задач динаміки. Метод рекурентних співвідношень, що був розроблений науковим керівником П. Д. Доценко для розрахунку стержневих систем, позбавлений цих недоліків і представляється можливим і доцільним поширити його на задачі статики і динаміки комбінованих циліндричних оболонок.

На підставі оцінки сучасного стану проблеми наприкінці першого розділу дисертації сформульовані мета та основні задачі роботи.

В другому розділі роботи формуються геометрично нелінійні рівняння руху елемента циліндричної оболонки. За основу взяті рівняння С. П. Тимошенко та А. Лява. Викладення, на відміну від цих робіт, виконані у векторному виді, що дозволило уточнити деякі геометричні і деформаційні співвідношення. По-перше, ми відмовилися від прийнятого С. П. Тимошенко спрощення і, по-друге, були уточнені деякі знаки і коефіцієнти рівнянь.

Далі на базі нелінійних рівнянь сформульовані лінеарізовані рівняння руху моментної теорії циліндричної оболонки, що використовуються для розрахунку статичного і динамічного НДС. Також побудовані лінеарізовані по параметрах збурювань рівняння в збурюваннях для дослідження задач малих коливань, стійкості і несучій здатності. Ці рівняння враховують попередній НДС. Розглянуто спрощення цих рівнянь до обліку тільки попереднього напруженого стану.

Обидві отримані системи приведені (кожна окремо) до систем у частинних похідних щодо восьми “основних” розрахункових параметрів вектора (за методикою В. Л. Бідермана та В. С. Черніної). З огляду на періодичність рішення по кутовій координаті , розділені перемінні. Рівняння тепер залежать тільки від подовжньої координати і часу . Коефіцієнти рівнянь постійні. Навантаження (задане) розкладене в тригонометричний ряд по кутовій координаті . У такий спосіб вдалося перейти до послідовного рішення ряду одномірних задач:

(1)

Розглянемо процес одержання рішення цього рівняння на прикладі розрахунку задачі статики. Математичний апарат МРС дозволяє одержати точне рішення системи у виді суми загального рішення однорідної задачі і часткового рішення неоднорідної задачі, кожне з який має вид:

(2)

Для задачі Коші всі повинні лінійно залежати від початкових умов:

(3)

– нескінченна система матриць з постійними коефіцієнтами, що підлягає визначенню. Для прикладу побудуємо загальне рішення однорідної задачі:

(4)

Підставляючи послідовно (3) у (2) і потім результат у (4), одержуємо:

(5)

З виразу для (5) при випливає, що . Аналізуючи послідовність обчислення матриць , зауважуємо, що останнє рівняння в (5) може бути зведене до наступного формі:

(6)

Таким чином, загальне рішення однорідного рівняння має вид:

(7)

Аналогічно будується і часткове рішення неоднорідного рівняння (1):

(8)

Тут під маються на увазі відомі коефіцієнти ряду, що описують навантаження, що повинні бути представлені поліномом виду (2).

Якщо замість підставити довжину оболонки , то з (7) і (8) можна записати:

(9)

Приймаючи до уваги, що матриця і вектор цілком визначені, а вектора і , що містять по 8 елементів, визначені частково (у кожнім з векторів відомі чотири параметри, що визначають граничні умови на правому та лівому краях оболонки відповідно), рівняння (9) можна перетворити до системи лінійних рівнянь:

(10)

Після рішення цієї системи відсутні елементи вектора (утім, як і вектора ) будуть визначені і можна безпосередньо скористатися співвідношеннями (7) і (8) для одержання рішення для будь-якої координати .

При розрахунку змушених коливань процес побудови рішення буде аналогічним. Відрізнятися будуть лише коефіцієнти матриці .

У випадку розрахунку власних коливань (при наявності чи без попереднього НДС) і стійкості в залежності (1) буде відсутній , тобто задача стає однорідною. Отже, у системі (9) буде відсутній вектор , а матриця буде містити невідому комплексну частоту ( – коефіцієнт загасання, – частота). Таким чином, рішення цих задач зводиться до пошуку власних значень, що визначають частоту власних коливань, і власних векторів, що визначають форму коливань у поздовжньому перетині.

Для зручності нами було введене поняття “дискретного елемента”. Він являє собою циліндричну оболонку постійної товщини з довільною комбінацією граничних умов, включаючи можливі пружні, демпфуючі, пружнодемпфуючі, жорсткі опори, зосереджені зусилля і моменти, фіксовані ненульові переміщення і кути повороту, а також з довільно розподіленим по всій поверхні оболонки навантаженням. Математичний апарат методу рекурентних співвідношень дозволяє одержати точне рішення для одного дискретного елемента. В другому розділі роботи описані алгоритмічні узагальнення, що дозволяють одержувати рішення для довільної комбінації дискретних елементів, тобто для комбінованої конструкції. При цьому не порушуються ніякі зв'язки на границях двох елементів і не вводиться ніяких додаткових спрощень. Розглянемо, наприклад, роботу алгоритму при стикуванні двох елементів, на границі яких встановлена пружна опора по нормальному переміщенню і заборонений поворот. Якщо позначити і вектора стану на лівому і правому краях першого елемента, а і – вектора на лівому і правому краях другого елемента (розташовується праворуч від першого), і покласти коефіцієнт пружності рівним , можна записати вектори на границях кожного з елементів, а скориставшись рівняннями (7) і (8) – дві системи зв'язаних між собою лінійних рівнянь (11). На підставі цих залежностей можна затверджувати наступне: характеристики окремих елементів (геометричні і фізичні) можуть бути різними, так само як і діючі на них розподілені навантаження; поява невідомих реакцій не впливає на цілісність рішення. Іншими словами за допомогою методу рекурентних співвідношень можливе одержання рішення для комбінованих конструкцій.

; ; ; (11)

У третьому розділі роботи представлені результати розрахунку статичного НДС циліндричних оболонок різного ступеня складності. На початку розділу виконано ряд тестових розрахунків, що дозволяють оцінити точність роботи створених на базі МРС програм, швидкість їхньої роботи, ресурсоємність і порівняти ці параметри з відповідними характеристиками відомих програм на основі МСЕ. Як показали розрахунки простих циліндричних оболонок з різними способами закріплення по краях і при різних видах навантажень, МРС дає практично точне рішення, що не відрізняється від результатів аналітичних розрахунків. Оскільки кількість задач, що піддаються аналітичному рішенню, обмежено, були розглянуті наступні випадки:

1. По виду навантаження: рівномірно розподілений по поверхні внутрішній (зовнішній) тиск; вертикально розташований резервуар з рідиною.

2. По способу закріплення: лівий край жорсткий, правий вільний; лівий край шарнірно обпертий, правий вільний; лівий і правий край жорсткі; лівий і правий край шарнірно обперті; лівий і правий край жорсткі, правий край вільний уздовж подовжньої осі; лівий і правий край шарнірно обперті, правий край вільний уздовж подовжньої осі.

У задачах з жорсткими і шарнірно обпертими нерухомими краями при аналітичних розрахунках приймалося допущення про відсутність подовжніх зусиль. Як показали розрахунки, це приводить до погрішності 10В інших випадках розрахунок по МРС цілком збігається з результатами, представленими в роботах Л. І. Балабуха, Н. А. Алфутова, В. І. Усюкина, В. Л. Бідермана, І. А. Біргера, Р. Р. Мавлютова, В. В. Болотіна, А. С. Вольмира, Я. Г. Пановко, С. П. Тимошенко, А. А. Уманського та інших. Для зазначених двох умов закріплення, коли аналітичне рішення без спрощень неможливо, проводилися порівняння з результатами розрахунку по програмах ANSYS і EUCLID, що використовують МСЕ.

Рис. 1. Розрахунок шарнірно обпертої оболонки

Як показали розрахунки, результати, отримані за допомогою МРС і МСЕ цілком збігаються. При цьому ресурсоємність програми на базі МРС на кілька порядків нижче, а швидкість роботи – на кілька порядків вище. У ряді випадків через велику ресурсоємність МСЕ не вдалося одержати задовільного рішення задачі, тому що ресурси системи не дозволяли зробити розбивку конструкції на необхідне число елементів. Приклад розрахунку нормального переміщення приведений на рис. . Безперервною лінією показане рішення для задачі з жорсткими краями, пунктиром – коли правий край вільний у подовжньому напрямку, а крапкові графіки відповідають першій задачі, що розраховувались програмою ANSYS з різним числом скінчених елементів по довжині оболонки.

Далі в розділі послідовно вирішуються задачі з поступовим ускладненням конструкції. Приводяться результати розрахунку оболонок зі стовщеннями (змінюються їх товщина та кількість по довжині конструкції), із проміжними жорсткими і пружними опорами, зі складними видами навантаження. Як уже було показано вище, метод рекурентних співвідношень дозволяє розглядати конструкції з усіма згаданими особливостями. Тому наприкінці розділу приводяться результати розрахунку модельної задачі, що враховує широкий спектр конструктивних особливостей і видів навантаження. Сама конструкція і графік зміни нормального переміщення по довжині оболонки показані на рис. .

Рис. 2. Розрахунок складної конструкції

У четвертому розділі роботи розглядаються задачі динаміки комбінованих циліндричних оболонок. Сюди входять: визначення частот і форм коливань з урахуванням і без урахування попереднього НДС; побудова залежностей частотного спектра від різних параметрів навантаження; розрахунок стійкості оболонок при стиску, зовнішньому тиску і крутінні; виявлення особливостей поводження конструкції в закритичній області (визначення типу втрати стійкості – флатерна чи дивергентна); розрахунок змушених коливань з виявленням областей резонансу; порівняння й аналіз результатів розрахунку власних, змушених коливань і стійкості.

Для оцінки точності роботи програми на базі МРС при розрахунку задач динаміки був виконаний ряд тестових розрахунків. При дослідженні вільних (без попереднього НДС) коливань циліндричної оболонки, закріпленої по краях відповідно до умов Нав'є, можливо одержати точне рішення задачі. Після перетворень рівнянь моментної теорії без додаткових спрощень задача зводиться до пошуку коренів квадратного рівняння. У табл. приведений частотний спектр оболонки, отриманий чотирма шляхами – точне рішення (у таблиці позначено символом Т), рішення з використанням МРС (М), рішення за методикою А. П. Філіппова (Ф), і дані з робіт І. А. Біргера і Я. Г. Пановко (Б).

Таблиця 1. Частотний спектр оболонки, закріпленої за умовами Нав'е

Метод Частота власних коливань, Гц для числа напівхвиль у поперечному перерізі

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Т 646 416 365 422 538 689 866 1067 1289

Ф 664 421 360 411 523 672 846 1044 1264

Б 679 423 362 414 527 676 851 1050 1270

М 646 416 365 422 538 689 866 1067 1289

Як видно з таблиці, результати розрахунків по МРС цілком збігаються з точним розрахунком. Крім того, були проведені порівняння з розрахунками інших авторів (результати, отримані І. А. Біргером, Я. Г. Пановко, R.G.V.і результати власних розрахунків по методиках Ван Цзі-де, С. П. Тимошенко та А. П. Філіппова), отриманим по спрощених методиках з використанням наближених чисельних рішень. Відмінність цих результатів від точного рішення і від співпадаючого з ним рішення по методу рекурентних співвідношень – до 10

Далі в розділі розглядалася задача визначення частот і форм власних коливань комбінованої конструкції, зображеної на рис. . Результати по одній з форм коливань у поперечному перерізі приведені далі в рефераті на рис. 4, де порівнюються з іншими розрахунками.

Далі в розділі розглядався вплив різних параметрів навантаження на частотний спектр оболонок. При використанні МРС мається можливість враховувати момент, що крутить, розтягуючу (стискаючу) силу і внутрішній (зовнішній) тиск, у тому числі і дискретно та нерівномірно розподілені по довжині оболонки (простої чи комбінованої). Методика розрахунку така, що мається можливість провести аналіз поводження частот і коефіцієнтів загасання коливань і на підставі цього одержати критичні значення навантажень. Приклад результатів такого аналізу приведений у табл. , де показані критичні значення стискаючої сили в порівнянні з розрахунком за методикою, що використовує рівняння статичного НДС (розглядається в роботах С. П. Тимошенко, І. А. Біргера, Я. Г. Пановко та інших). Результати розрахунку відрізняються не більше ніж на 3Такі ж результати були отримані для зовнішнього тиску і моменту, що крутить.

Таблиця 2. Стійкість оболонки при стиску

Метод розрахунку Критична стискаюча сила, кН при числі напівхвиль в окружному перетині оболонки

2 3 4 5 6 7

Статика 711 161 61 43 56 91

Динаміка 674 158 61 45 58 95

Для задачі дослідження стійкості оболонок пропонована методика розрахунку має істотні переваги. По-перше, вона поширюється на комбіновані оболонки будь-якої складності. По-друге, немає необхідності задавати форму втрати стійкості в поздовжньому перетині, яка формується автоматично при розрахунку та взагалі може істотно відрізнятися від прийнятої в розрахунках з використанням рівнянь статичного НДС. І, по-третє, мається можливість простежити поводження конструкції як у докритичній зоні, так і в закритичній, що дозволяє визначити вид утрати стійкості. На рис. показаний приклад такого дослідження для оболонки, навантаженої зовнішнім тиском. При досягненні критичного значення навантаження частота коливань стає нульовою, а коефіцієнт загасання позитивним. У цьому випадку відбувається дивергентна втрата стійкості.

Далі були розглянуті змушені коливання оболонок. МРС дозволяє робити розрахунки комбінованих циліндричних конструкцій будь-якої складності при довільному розподілі навантажень по поверхні. У роботі були розглянуті як прості циліндричні оболонки, так і комбіновані (мал. ). Приклад розрахунку амплітуд і форм коливань у зонах резонансу для комбінованої конструкції показаний на рис. . Тут же проводиться порівняння з частотами і формами вільних коливань цієї ж конструкції.

Рис. 3. Поводження конструкції в до- і закритичних зонах

Цікавою представляється також задача, коли амплітуда періодичного навантаження перевищує критичне значення. У цьому випадку відбувається зміна форм коливань у зонах резонансу (накладення втрати стійкості по одній формі на резонанс за іншою формою). Приклад такого накладення показаний на рис. .

Рис. 4. Порівняння частот і форм власних і змушених коливань

Проведені в розділі дослідження і зіставлення отриманих результатів є унікальними і раніше в літературі не згадувалися. Одержувані за пропонованою методикою результати є на сьогоднішній день найбільш повними і дозволяють у цілому судити про несучу здатність конструкції.

Рис. 5. Форми змушених коливань в закритичній області

Усі дослідження задач динаміки проводилися комплексно, тобто результати розрахунків власних, змушених коливань і стійкості, крім порівняння з результатами розрахунку по інших методиках (де це можливо), зіставлялися також і між собою. Як показав аналіз, усі вони збігаються як з тестовими розрахунками і експериментальними даними, так і між собою.

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

1. Вперше для дослідження складних комбінованих оболонкових структур розроблено та реалізовано новий чисельний підхід на основі методу рекурентних співвідношень, що не використовує наближених алгоритмів.

2. Показано, що реалізований підхід забезпечує можливість всебічного аналізу складних комбінованих оболонкових конструкцій (статичний і динамічний НДС, частотний спектр, статична і динамічна стійкість, несуча здатність).

3. Порівнянням на однакових задачах показано, що метод має меншу, ніж МСЕ, ресурсоємність процесу розрахунку і вищу швидкість роботи при більш високій точності і достовірності результатів за рахунок узгодження дискретних елементів по всім параметрам НДС (а не по деяким, як у МСЕ), використання однієї з найбільш загальних моделей оболонок (моментна теорія) і можливості побудови точного рішення на кожнім елементі.

4. У задачах статики циліндричних оболонок МРС дозволяє одержати точне рішення. При розрахунку комбінованих конструкцій МРС значно перевершує інші методи по області застосування, показникам надійності і швидкості алгоритму, точності розрахунків при значно меншій ресурсоємності.

5. При розрахунку частот власних (вільних) коливань завдяки переходу до рішення задачі на власні значення вдалося послідовно одержати безпосередньо частоти і потім – відповідні їм форми коливань. Такий підхід дозволяє робити коректний розрахунок конструкцій, форма коливань яких у загальному випадку може бути довільною. Результати розрахунків погоджуються з даними інших авторів, розрахунками по інших методиках і експериментальними даних.

6. Аналіз частот власних коливань конструкцій при різних величинах діючих навантажень дозволяє виявити критичні навантаження і зони дивергентної і флатерної втрати стійкості. Результати аналізу стійкості збігаються з іншими методиками і значно розширюють можливості досліджень.

7. При рішенні задач динаміки були отримані амплітудно-частотні характеристики конструкцій, що точно відповідають результатам аналізу власних коливань і стійкості. Швидкодія МРС дозволяє провести широкий аналіз динамічного стану складних конструкцій. Для проведення такого аналізу по МСЕ може знадобитися більше місяця безупинної роботи комп'ютера класу Athlon/Pentium

8. При рішенні задач змушених коливань отриманий ряд нових результатів. Зокрема, були виявлені особливості поводження конструкції при дії закритичних навантажень, що при визначених значеннях частоти не приводять до руйнування; також отримані форми коливань, що враховують накладення коливань на втрату стійкості, що вже відбулася.

НАУКОВІ ПРАЦІ, ОПУБЛІКОВАНІ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Доценко П. Д., Берешко И. Н. Об алгоритмизации решения задачи на собственные значения. // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии.– 1998. – № 2. – С. 165-169.

2. Берешко И. Н., Вамболь С. А. Алгоритмизация уравнений моментной теории оболочек в динамике. Анализ частотного спектра и устойчивости цилиндрической оболочки. // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии. –1999. – № 4. – С. 109-114.

3. Берешко И. Н., Вамболь С. А. Расчет НДС оболочек методом рекуррентных соотношений. // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов. – 2000. – № 18. – С. 57-63.

4. Берешко И. Н., Вамболь С. А., Доценко П. Д. Расчет НДС цилиндрических оболочек, находящихся под действием произвольно распределенной нагрузки, методом рекуррентных соотношений. // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов. – 2000. – № . – С. 57-63.

5. Берешко И. Н., Вамболь С. А., Доценко П. Д. Постановка задач расчета статики и динамики многосвязных цилиндрических оболочек методом рекуррентных соотношений. // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов. – 2000. – № 23. – С. 144-155..

6. Берешко И. Н., Вамболь С. А., Доценко П. Д. Метод рекуррентных соотношений в задачах динамики элементов конструкций. // Проблемы создания новых машин и технологий. – 2000. – № . – С. 287-292.

7. Берешко И. Н., Доценко П. Д., Вамболь С. А. Расчет НДС оболочек методом рекуррентных соотношений. // Тезисы докладов 2-ой Всеукраинской молодежной научно-практической конференции с международным участием “Человек и космос”. – Днепропетровск: Национальный центр аэрокосмического образования молодежи Украины. – 2000. – С. 95.

8. Доценко П. Д., Берешко И. Н., Вамболь С. А. Метод рекуррентных соотношений в задачах статики и динамики сложных цилиндрических оболочек. // Тезисы докладов международной научно-технической конференции “Интегрированные компьютерные технологии в машиностроении”. – Харьков: Национальный аэрокосмический университет. – 2001. – С. 45.

9. Берешко И. Н., Вамболь С. А., Доценко П. Д. Метод рекуррентных соотношений в статике многосвязных цилиндрических оболочек. // Тезисы докладов 3-ей Международной молодежной научно-практической конференции “Человек и космос”. – Днепропетровск: Национальный центр аэрокосмического образования молодежи Украины. – 2001. – С. 98.

АНОТАЦІЇ

Берешко І. М. Метод рекурентних співвідношень у статиці і динаміці комбінованих циліндричних оболонок. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського “ХАІ”, Харків, 2002.

Дисертаційна робота присвячена реалізації методу рекурентних співвідношень (МРС) для розрахунків задач статики і динаміки комбінованих циліндричних оболонок. Представлено огляд існуючих методів рішення і математичних моделей. Отримано лінійні рівняння статичного НДС конструкції і лінеаризовані рівняння в збуреннях на основі моментної теорії оболонок. Уточнено деякі коефіцієнти системи диференціальних рівнянь. Розглянуто математичний апарат МРС, що дозволяє одержати точне рішення на одному дискретному елементі (ДЕ) (циліндрична оболонка постійної товщини з довільними граничними умовами). Приведено ряд алгоритмічних узагальнень, що дозволяють будувати рішення для будь-якої комбінації ДЕ. Проведено тестові розрахунки і розглянуті задачі, рішення яких можна одержати тільки наближеними методами і за допомогою МСЕ. Ряд результатів є унікальними, і можуть бути отримані лише за допомогою МСЕ при великих погрішностях і значних витратах часу і ресурсів. Показано, що МРС при використанні для рішення задач статики і динаміки складених циліндричних конструкцій забезпечує найбільші можливості і найбільш якісні результати розрахунку при значно менших витратах у порівнянні з існуючими методами.

Ключові слова: циліндричні оболонки, комбіновані конструкції, власні коливання, стійкість, змушені коливання, резонанс, форми коливань, дивергенція, флатер, метод рекурентних співвідношень.

Берешко И. Н. Метод рекуррентных соотношений в статике и динамике составных цилиндрических оболочек. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого дела. Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского “ХАИ”, Харьков, 2002.

Диссертационная работа посвящена реализации метода рекуррентных соотношений для расчетов задач статики и динамики составных цилиндрических оболочек. В работе представлен обзор существующих методов решения этого класса конструкций, рассмотрены различные варианты используемых в таких расчетах математических моделей, проведено их сравнение по точности, области применения, сходимости расчетов (для численных методов), ресурсоемкости, простоте программной реализации и работе с конечной программой, скорости расчетов. На основании обзора сделан вывод, что на сегодняшний день единственным подходом, позволяющим охватить весь спектр рассматриваемых в работе задач, но, тем не менее, не дающим удовлетворительных (точных) результатов, является метод конечных элементов (МКЭ). При этом МКЭ уступает методу рекуррентных соотношений (МРС) по всем упомянутым выше параметрам.

В работе получены линейные уравнения статического НДС конструкции и линеаризованные уравнения в возмущениях на основе моментной теорией оболочек, которые в дальнейшем используются при расчетах (без упрощений) статического и динамического НДС, собственных колебаний и устойчивости по предлагаемой методике. При этом были уточнены некоторые коэффициенты системы дифференциальных уравнений (за счет отказа от используемых в других работах упрощений) и получена более полная система уравнений в возмущениях.

Рассмотрен математический аппарат метода рекуррентных соотношений, позволяющий получить точное решение задач статики и динамики на одном дискретном элементе. Дискретный элемент – цилиндрическая оболочка постоянной толщины с произвольными граничными условиями (включая жесткие, упругие, упругодемпфирующие, демпфирующие опоры, сосредоточенные усилия, фиксированные перемещения, углы поворотов и т. д.) и произвольно распределенной по поверхности нагрузкой. Также приведен ряд