НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКPАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

На правах рукопису

БАРАН Остап Романович

УДК 538.9

КЛАСТЕРНИЙ ПІДХІД В ДОСЛІДЖЕННІ

ПСЕВДОСПІНОВИХ МОДЕЛЕЙ

01.04.02 – теоретична фізика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ – 2002

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України

Науковий керівник– | доктор фізико-математичних наук, професор Левицький Роман Романович, Інститут фізики конденсованих систем НАН України, м. Львів, завідувач відділу теорії модельних спінових систем.

Офіційні опоненти |

доктор фізико-математичних наук Кориневський Микола Антонович, провідний науковий співробітник, Інститут фізики конденсованих систем НАН України, м. Львів;

кандидат фізико-математичних наук Бугрій Анатолій Іванович, старший науковий співробітник, Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України, м. Київ.

Провідна організація | Чернівецький національний університет ім. Ю.Федьковича,

м. Чернівці. |

Захист відбудеться “ 25 ” грудня 2002 року о “1530” на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.156.01 при Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України за адресою: 79011, м. Львів, вул. Свєнціцького, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України за адресою: 79026, м. Львів, вул. Козельницька, 4.

Автореферат розіслано “ 22 ” листопада 2002 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 35.156.01, | кандидат фіз.-мат. наук | Т.Є.Крохмальський | ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Псевдоспінові моделі мають широке застосування в сучасній теоретичній фізиці, оскільки за їх допомогою можна описати певні фізичні властивості цілого класу реальних об’єктів: магнетиків, сегнетоелектриків, сплавів, сумішей і т.д. Лише дуже обмежене число таких моделей може бути розв’язане точно. Тому актуальною є проблема розвинення та вдосконалення наближених методів опису псевдоспінових моделей. З цієї точки зору великий інтерес представляє кластерне наближення. В даному наближенні задачу взаємодіючих псевдоспінів в кластері розв'язують точно, що дозволяє частково врахувати короткосяжні кореляції, а взаємодію граничних вузлів кластера з їх найближчими сусідами, які не належать даному кластеру, враховують в дусі наближення молекулярного поля. Такий підхід виявляється досить ефективним при дослідженні термодинамічних характеристик псевдоспінових систем з короткосяжними взаємодіями. Для більш точного врахування короткосяжних кореляцій необхідно враховувати поправки, пов'язані із взаємодією кластерів. Кубо (Kubo P. J. Phys. Soc. Japan, 1962, 17) було запропоновано метод кластерних розвинень, який дозволяє систематично отримувати поправки до вільної енергії, пов’язані із взаємодією кластерів, і в рамках якого кластерне наближення отримується у першому порядку. Нам відомо лише декілька робіт, в яких використовували вищі від першого порядки кластерного розвинення. Проте, автори цих робіт обмежилися лише розглядом вузького температурного інтервалу в околі температури фазового переходу і показали збіжність результатів до точного з ростом порядку розвинення.

При наявності в системі поряд з короткосяжними взаємодіями також суттєвих далекосяжних кореляцій, що є характерним для широкого класу матеріалів, серед яких особливо слід виділити сегнетоактивні сполуки з водневими зв'язками та низькорозмірні магнетики, необхідний теоретичний підхід, який дозволив би використовувати різну техніку для адекватного врахування цих взаємодій. Юхновським, Левицьким та Сороковим (Юхновський І.Р., Левицький Р.Р., Сороков С.І. Condens. Matter Phys., 1993, No 1) було запропоновано для псевдоспінових моделей теорію базисного врахування короткосяжних кореляцій. Одним з наближень в рамках даного підходу може бути кластерне наближення за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в наближенні молекулярного поля (НМП) для термодинамічних характеристик або в наближенні хаотичних фаз (НХФ) для динамічних властивостей.

Хоча кластерне наближення досить широко застосовується при дослідженні псевдоспінових систем, на сьогоднішній день не існує чіткого критерію можливості застосування цього наближення для різних моделей при різних наборах їх мікроскопічних параметрів.

В останні роки інтенсивно досліджуються ізінгівські моделі із спіном більшим від Ѕ. Це пов’язано як з відносною простотою проведення та тестування на їх основі наближених і чисельних розрахунків, так і з можливістю моделювання ними широкого класу реальних об’єктів. Крім того, наявність в гамільтоніанах тензорних членів, а також багаті фазові діаграми зумовлюють і суто теоретичний інтерес до цих моделей. Зокрема, в роботі (Iwashita T., Uryы N. phys.stat.sol.(b), 1986, 137) в кластерному наближенні досліджувалась модель Блюма-Емері-Гріфітса (БЕГ) із спінами 1, 3/2 та 2. Однак у ній не враховувались залежності кластерних полів від величини псевдоспіна.

Варто зазначити, що у більшості сучасних робіт, присвячених дослідженню псевдоспінових моделей, використовуються методи комп’ютерного моделювання. Такі роботи служать добрим тестом для підходів, в яких використовуються аналітичні методи. Дисертація присвячена розвиненню цього другого напрямку, який, на відміну від комп’ютерного експерименту, дозволяє глибше проаналізувати фізичну суть отриманих результатів.

В даній дисертаційній роботі в рамках методу кластерних розвинень будуть розв'язані базисні задачі для ізінгівських моделей з довільним значенням спіна, для XXZ-моделі, а також для моделі Ізінга в поперечному полі. Також буде вивчено вплив далекосяжних взаємодій на властивості цих моделей в НМП (для термодинамічних властивостей) або в НХФ (для динамічних властивостей).

Дисертаційну роботу виконано в Інституті фізики конденсованих систем НАН України згідно з планами робіт за темами: N 0194022990 "Розробка мікроскопічної теорії релаксаційних явищ і термодинамічних властивостей невпорядкованих систем у кластерному підході"; N 0199U000667 "Дослідження впливу зовнішніх полів і безладу на фазовий перехід і фізичні властивості псевдоспінових систем з суттєвими короткосяжними і далекосяжними взаємодіями".

Мета і задача дослідження. Метою є теоретичний опис модельних псевдоспінових систем в кластерному наближенні за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в НМП для термодинамічних або в НХФ для динамічних характеристик, зокрема:

·

·

·

·

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше послідовно проведено НДК для базисних ізінгівських моделей з довільним значенням спіна, а також поширено на такі моделі запропонований Юхновським, Левицьким та Сороковим (Юхновский И.Р., Левицкий Р.Р., Сороков С.И. Препр. АН УССР, ИТФ-86-142Р) для спін-1/2 моделі Ізінга метод розрахунку коре-ляційних функцій в q-просторі. Для парних кореляційних функцій отримано в загальному вигляді рівняння типу рівняння Орнштейна-Церніке. На основі цього розраховано у явному вигляді парні кореляційні функції в q-просторі моделі БЕГ з короткосяжними та далекосяжними взаємодіями.

Для XXZ-моделі вперше проведено наближення двочастинкового кластера з двома варіацій-ними параметрами за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в НМП. Для різних типів граток вивчено температурні межі застосовності такого підходу в залеж-ності від величин магнітної анізотропії та далекосяжних взаємодій. В кластерному наближенні хаотичних фаз (кластерне наближення за короткосяжними взаємодіями та наближення хаотичних фаз за далекосяжними) отримано поздовжню та поперечну спектральні густини і проведено число-ве дослідження спектра елементарних збуджень XXZ-моделі з анізотропією типу легка вісь.

Вперше в НДК за короткосяжними та НМП за далекосяжними взаємодіями розраховано в широкому температурному інтервалі термодинамічні характеристики моделі Ізінга в поперечному полі на різних типах граток. Вивчені межі коректності такого підходу в залежності від температури та мікроскопічних параметрів моделі. Шляхом порівняння результатів НДК для кластерних мод і їх інтегральних інтенсивностей з результатами чисельного методу для дійсної частини функції релаксації (Derzhko O., Krokhmalskii T. Phys.Rev.B, 1997, 56) встановлено межі застосовності цього наближення для дослідження динамічних властивостей одновимірної моделі Ізінга в поперечному полі (МІПП) лише з короткосяжними взаємодіями.

Вперше проведено тестування на основі спін-1/2 моделі Ізінга вищих від першого порядків кластерного розвинення в усьому температурному інтервалі. Встановлено, що при низьких температурах, у зв'язку з порушенням точних співвідношень між матрицями густини різних порядків, вищі від першого порядки кластерного розвинення дають некоректні результати.

Практичне і наукове значення одержаних результатів. Проведене числове дослідження моделі Ізінга на основі методу кластерних розвинень з точністю до четвертого порядку включно показало, що вищі від першого порядки кластерного розвинення доцільно застосовувати лише при температурах вищих та незначно нижчих від температури фазового переходу. Порівняння результатів вищих від першого порядків кластерного розвинення на основі двочастинкового кластера із результатами кластерного наближення з більшим розміром кластера дозволяє зробити висновок, що доцільніше збільшувати розмір кластера (при умові оптимального розбиття гратки на кластери) і обмежуватися першим порядком розвинення (тобто кластерним наближенням).

Реалізація НДК та отримане рівняння типу рівняння Орнштейна-Церніке для парних кореляційних функцій ізінгівських моделей з довільним значенням спіна дозволяє отримати вирази для термодинамічних характеристик та парних кореляційних функцій ізінгівської моделі з будь-яким значенням спіна.

Отримані вирази для ряду термодинамічних характеристик та парних кореляційних функцій в q-просторі для ізінгівської моделі зі спіном 1 можуть бути застосовані при вивченні різних реальних об’єктів, що описуються даною моделлю.

Проведене для XXZ-моделі та МІПП кластерне наближення за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в НМП для термодинамічних або в НХФ для динамічних характеристик дозволяє описати ряд сегнетоактивних та магнітних матеріалів. Встановлені межі доцільності застосування такого підходу при різних значеннях мікроскопічних параметрів моделей на різних типах граток.

Особистий внесок здобувача. Автор брав безпосередню участь у проведенні вищих від першого порядків кластерного розвинення для моделі Ізінга та у числових розрахунках на основі отриманих результатів. Також автор брав участь в отриманні рівняння типу рівняння Орнштейна-Церніке для парних кореляційних функцій ізінгівських моделей з довільним значенням спіна. Автором проведено аналіз результатів числових розрахунків для термодинамічних характеристик моделі Блюма-Емері-Гріфітса. Для XXZ-моделі автором проведено НДК з двома варіаційними параметрами. Особисто автором розраховано поздовжню статичну сприйнятливість МІПП. Встановлення меж коректності НДК за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в НМП для дослідження термодинамічних характеристик XXZ-моделі та МІПП, розрахунок динамічних характеристик XXZ-моделі з анізотропією типу легка вісь, аналіз числових результатів для динамічних властивостей двох вищезгаданих квантових моделей в кластерному наближенні хаотичних фаз проведено разом із співавторами.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на таких конференціях: Україно-Французький симпозіум "Конденсовані системи: наука та індустрія" (Львів, 1993 р.), Міжнародна конференція з магнетизму (Польща, Варшава, 1994 р.), 6-та Європейська конференція з магнітних матеріалів і їх застосуванню (Австрія, Відень, 1995 р.), Міжнародна нарада з статистичної фізики і теорії конденсованих систем (Львів, 1995 р.), Європейська конференція з магнетизму (Польща, Познань, 1996 р.), Науковий семінар з статистичної теорії конденсованих систем (Львів, 1997 р.), Нарада з фізики конденсованих систем (Львів, 1998 р.), Перша Українська школа-семінар з фізики сегнетоелектриків та споріднених матеріалів (Львів, 1999 р.), Нарада з сучасних проблем теорії рідин (Львів, 2000 р.), а також на семінарах Інституту фізики конденсованих систем Національної академії наук України та відділу теорії модельних спінових систем цього Інституту.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 25 робіт, в тому числі 8 статей, 5 препринтів та 12 тез конференцій. Перелік основних публікацій подано в кінці автореферату.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та двох додатків. Робота викладена на 174 сторінках (разом із літературою і додатками - 198 сторінок), включає бібліографічний список, що містить 186 найменувань у вітчизняних та закордонних виданнях.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність досліджень, викладених у дисертації, сформульовано мету роботи, відзначено її наукову новизну.

У першому розділі приведено приклади фізичних об’єктів, при дослідженні яких використовується псевдоспіновий формалізм. В основному увага зосереджена на фізичних реалізаціях спін-1 ізінгівської моделі. Подано короткий огляд основних методів дослідження псевдоспінових систем. Приведено огляд публікацій, що відповідають темі дисертації.

Другий розділ називається “Дослідження ізінгівських псевдоспінових моделей в рамках методу кластерних розвинень”. В ньому для спін-1/2 моделі Ізінга проведено кластерне розвинення на основі двочастинкового кластера з точністю до четвертого порядку по зв’язках включно. Отримано у явному вигляді ряд термодинамічних характеристик моделі. У випадку квадратної гратки реалізовано також наближення чотиричастинкового кластера з різним способом розбиття гратки на кластери (шаховим та повним). На основі отриманих результатів у випадку моделі Ізінга на квадратній гратці здійснено тестування методу кластерних розвинень у широкому температурному інтервалі. Показано, що збіжність результатів з ростом порядку розвинення до точного відбувається лише при температурах вищих і незначно нижчих від температури фазового переходу (за виключенням околу самої температури фазового переходу, оскільки кластерне наближення є наближенням типу НМП). У низькотемпературній ж області вищі від першого порядки кластерного розвинення виявляються некоректними (рис. 1). Така некоректність пов’язана з тим, що у вищих від першого порядках кластерного розвинення порушуються точні співвідношення між матрицями густини різних порядків. У першому порядку розвинення забезпечується виконання цих точних співвідношень. Наближення чотиричастинкового кластера при шаховому розбитті квадратної гратки передбачає результат суттєво ближчий до точного, аніж наближення двочастинкового кластера, а при повному розбитті – значно гірший. Це пов’язано з тим, що повне розбиття гратки на чотиричастинкові кластери є неоптимальним, оскільки при цьому взаємодії між вузлами враховуються двічі.

Для ізінгівських моделей з довільним значенням спіна (S=Sz=, +1,…, 1, ), які описуються гамільтоніаном

(1)

(K(nm) - короткосяжні, Jij(nm) - далекосяжні взаємодії) реалізовано наближення двочастинкового кластера за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в наближенні молекулярного поля у випадку неоднорідних полів hi(n). Отримано в загальному вигляді вільну енергію такої моделі

, (2)

де Fi, Fir – одно- та двочастинкова внутрішньокластерні вільні енергії:

, , (3)

, ,

, , (4)

.

Тут z – число найближчих сусідів, означає, що вузол r є найближчим сусідом вузла 1. Кластерні поля введені таким чином, що оператор є оператором ефективного поля, яке діє на вузол 1 зі сторони вузла r, що є його найближчим сусідом. Дані поля є варіаційними параметрами, що знаходяться з умови мінімуму вільної енергії по них. В результаті отримується система (z+1)2N рівнянь для унарних функцій розподілу і кластерних полів

, . (5)

Поширюючи запропонований Юхновським, Левицьким та Сороковим (Юхновский И.Р., Левицкий Р.Р., Сороков С.И. Препр. АН УССР, ИТФ-86-142Р) метод отримання та розв’язування рівняння типу рівняння Орнштейна-Церніке для спін-1/2 моделі Ізінга на ізінгівські моделі з довільним значенням спіна, нами отримано вирази для парних кореляційних функцій у випадку однорідних полів у імпульсному просторі.

, (6)

Тут у випадку граток з гіперкубічною симетрією має вигляд:, d – розмірність гратки, a – стала гратки. , а елементами матриць та є парні одночастинкові та двочастинкові внутрішньокластерні функції розподілу:

, (7)

. (8)

На основі отриманих результатів розраховано у явному вигляді ряд термодинамічних характеристик і парні кореляційні функції в q-просторі моделі Блюма-Емері-Гріфітса:

. (9)

Тут, якщо використовувати термінологію магнетизму, - зовнішнє поле, D – однойонна анізотропія, K та K’ – білінійна та біквадратна короткосяжні взаємодії, Jij та J’ij – білінійна та біквадратна далекосяжні взаємодії, а S=Sz=1, 0, 1. На основі моделі Блюма-Капеля, в якій ненульовими є лише параметри K та D, та на основі моделі з ненульовими лише K та K’ проведено тестування, як кластерне наближення реагує на зміну величин D/K та K’/K для різних типів граток. Показано, що у першому випадку НДК передбачає якісно правильні результати, значно ближчі до результатів моделювання Монте-Карло, аніж НМП за короткосяжними взаємодіями. У другому випадку НДК передбачає результати, які, на відміну від результатів НМП, якісно узгоджуються з результатами числових методів. Це дає певні підстави сподіватися, що кластерне наближення є застосовним для дослідження спін-1 ізінгівських моделей.

У випадках різних типів граток досліджено спін-1 ізінгівську модель магнетика з диполь-ними та квадрупольними взаємодіями, що є частковим випадком моделі БЕГ при D=–2/3zK’. Для такої моделі виявлено наявність критичної точки (див. рис. 2), яка не передбачається НМП, що часто використовується для дослідження магнітних систем, які описуються спін-1 спіновими моделями.

У випадку моделі БЕГ на простій кубічній гратці при нульових значеннях параметрів , Jij та J’ij та при феромагнітних K, K’ і довільних D проведено детальне дослідження парних кореля-ційних функцій при q=0. Показано, що при певних наборах параметрів моделі в парамагнітній фазі статична сприйнятливість може бути немонотонною функцією температури. Така поведінка сприйнятливості в парафазі є можливою лише при наборах K’ та D, при яких відбувається фазовий перехід першого роду з феромагнітної або квадрупольної фаз у парамагнітну.

У випадку z=6, =0, Jij= J’ij=0, при K>0, –1<K’/K<0 побудовано проекцію фазової діаграми на площину (K’/K, D/K). Детально досліджено термодинамічні характеристики моделі при наборах K’/K та D/K, при яких в системі мають місце каскади температурних фазових переходів вхід-вихід та подвійний вхід-вихід з парамагнітної у феромагнітну фазу. Показано, що середній фазовий перехід може бути і першого, і другого роду (див. рис. 3). Аналогічна задача розглядалася в роботі Касоно та Оно (Kasono K., Ono I. Z.Phys.B, 1992, 88), але у ній були допущені неточності при числових розрахунках і, як наслідок, зроблено висновок, що середній фазовий перехід може бути лише другого роду.

Третій розділ називається “Дослідження XXZ-моделі в наближенні двочастинкового кластера”. В даному розділі для спін-1/2 XXZ-моделі

(10)

з довільним значенням магнітної анізотропії / проведено НДК за короткосяжними взаємодіями з двома, z- та x-компонентами кластерного поля. Далекосяжні взаємодії Jij враховано при цьому в НМП. Вільна енергія моделі отримується на основі одночастинкового

(11)

та двочастинкового

(12)

кластерних гамільтоніанів (поля та створені зовнішніми полями, далекосяжними взаємодіями, врахованими в наближенні молекулярного поля, та кластерними полями a, які є варіаційними параметрами; , , , , , ).

(13)

Вираз для F маємо у неявному вигляді: три з чотирьох власних значень E12 двочастинкового гамільтоніану H12 є коренями кубічного рівняння

. (14)

Числове дослідження вільної енергії при нульових зовнішніх полях hx, hz, різних температурах і значеннях параметра магнітної анізотропії / показало, що при hx=0, hz=0 у випадку анізотропії типу легка вісь (/[0,1]) достатньо проводити кластерне наближення лише з поперечною компо-нентою кластерного поля, а у випадку анізотропії типу легка площина (/[0,1]) – лише з поз-довжньою компонентою. В зв’язку з цим проведено два різні варіанти НДК, що суттєво спростило аналітичні розрахунки, оскільки в даних випадках вільні енергії отримуються у явному вигляді.

Проведене числове дослідження при hx=0, hz=0 показало, що у випадку анізотропії типу легка вісь використовуване нами наближення передбачає якісно правильні фазові діаграми в площині (T, /) для різних типів граток при різних значеннях далекосяжної взаємодії. Не передбачається феромагнітне впорядкування при ненульових температурах у випадку нульових далекосяжних взаємодій для одновимірної XXZ-моделі при довільних значенням анізотропії та для ізотропної моделі Гейзенберга (/=1) на двовимірних (z=3,4) гратках, що є точним результатом. Для термодинамічних характеристик (намагніченості, статичної магнітної сприйнятливості, ентропії та теплоємності) передбачаються якісно правильні температурні залежності в усьому температурному інтервалі при будь-яких значеннях магнітної анізотропії та далекосяжної взаємодії, за виключенням значень /, коли модель є близькою до ізотропної моделі Гейзенберга. При />(/)n передбачаються фізично некоректні результати при низьких температурах. Значення (/)n є незначно меншим від одиниці і залежить від типу гратки та величини далекосяжної взаємодії. Вже навіть при досить малих значеннях далекосяжної взаємодії (/)n1. Низькотемпературна ж ділянка, на якій некоректне врахування квантових флуктуацій в кластерному наближенні приводить до нефізичних результатів є тим меншою, чим більшими є далекосяжна взаємодія, анізотропія та кількість найближчих сусідів у гратці.

У випадку XXZ-моделі з анізотропією типу легка площина НДК за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в НМП при певних значеннях параметрів моделі передбачає окрім фазових переходів з парамагнітної у феромагнітну фазу (з пониженням температури) також нефізичний низькотемпературний фазовий перехід з феромагнітної фази у парамагнітну. Але навіть при наборах параметрів моделі, коли цей низькотемпературний перехід відсутній, передбачаються некоректні температурні залежності термодинамічних характеристик на низькотемпературній ділянці. Детальний аналіз результатів дозволяє зробити висновок, що кластерне наближення у випадку моделі з анізотропією типу легка площина доцільно використовувати для тривимірних граток при температурах вищих і незначно нижчих від температури фазового переходу. Для одновимірної та двовимірних граток даний підхід доцільно використовувати лише при досить високих температурах, при яких квантові ефекти несуттєві.

У випадку моделі з анізотропією типу легка вісь проведено також вивчення впливу поздовжнього магнітного поля на термодинамічні характеристики моделі. Показано, що навіть при не дуже великих значеннях поля результати НДК добре кількісно узгоджуються з результатами моделювання Монте-Карло на всьому температурному проміжку (рис. 4).

Для дослідження динамічних властивостей XXZ-моделі з анізотропією типу легка вісь ми скористалися результатами роботи Левицького та Сорокова (Левицький Р.Р., Сороков С.И. Препр. АН УССР, ИТФ-87-28Р), в якій в кластерному наближенні хаотичних фаз було отримано вирази для парних температурних функції Гріна в частотно-імпульсному просторі спін-1/2 квантової псевдоспінової моделі з короткосяжними та далекосяжними взаємодіями, які виражаються через парні температурні функції Гріна базисної системи, а останні - через парні одночастинкові та двочастинкові , внутрішньо-кластерні функції Гріна. Тут a та b координати в спіновому просторі, а усереднення проводяться з одно- та двочастинковим кластерними гамільтоніанами. Нами були розраховані ці парні внутрішньокластерні функції розподілу XXZ-моделі з магнітною анізотропією типу легка вісь та отримані поперечна та поздовжня парні температурні функції Гріна моделі в частотно-імпульсному просторі. На їх основі розраховано поздовжня Jzz(q,E) та поперечна Jxx(q,E) спектральні густини (, Gab(q,n) – температурна кумулянтна функція Гріна в частотно-імпульсному просторі). Показано, що в спектрі збуджень XXZ-моделі в кластерному наближенні хаотичних фаз на основі двочастинкового кластера у випадку феромагнітної фази наявні три незатухаючі моди.

Проведено числове дослідження перерозподілу інтенсивностей кластерних мод із зміною температури, параметра анізотропії та величини квазіімпульсу у випадку моделі лише з короткосяжними взаємодіями на простій кубічній гратці. Показано, що при q (qx=qy=qz=q) найбільш інтенсивними є кластерні моди з найнижчими частотами. При q0 найбільші інтегральні інтенсивності мають кластерні моди з середніми або низькими частотами. Розрахунок залежності поперечної парної статичної кореляційної функції від відстані між вузлами показав, що кластерне наближення хаотичних фаз коректно реагує на зміну температури та магнітної анізотропії. Чим меншою є анізотропія (більшим є параметр /) та чим ближчою є температура до температури фазового переходу, тим сильнішими є поперечні кореляції (див. рис. 5). Також виявлено, що на невеликих відстанях кореляції залежать від напрямку. У напрямку (1,0,0) вони є сильнішими, аніж у напрямку (1,1,0), а останні сильніші, аніж у напрямку (1,1,1). На великих відстанях між вузлами такий ефект вже не спостерігається.

Четвертий розділ називається “Дослідження моделі Ізінга в поперечному полі в наближенні двочастинкового кластера”. У ньому проведено дослідження спін-1/2 моделі Ізінга в поперечному полі з короткосяжними K та далекосяжними Jij взаємодіями

(15)

в НДК за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в НМП для термодинамічних характеристик або в наближенні хаотичних фаз для динамічних властивостей. Вільну енергію моделі в даному наближенні маємо у неявному вигляді (Левицкий Р.Р., Сороков С.И. Препр. АН УССР, ИТФ-88-34Р):

(16)

(17)

, , . (18)

(три із чотирьох власні значення E12 двочастинкового кластерного гамільтоніана є коренями кубічного рівняння ). Тут використані позначення , . Поперечне та поздовжнє кластерні поля є варіаційними параметрами і знаходяться з умови мінімуму F.

Нами розрахована поздовжня статична сприйнятливість моделі, яка у випадку парафази узгоджується з результатами роботи Левицкий Р.Р., Сороков С.И. Препр. АН УССР, ИТФ-88-34Р.

Числове дослідження термодинамічних характеристик проведено в кластерному наближен-ні з двома, поперечною та поздовжньою, компонентами кластерного поля і лише з поздовжньою. Таке нехтування було запропоноване Кориневським (Кориневський М.А. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фіз.-мат. наук. Львів, 1997) для уникнення антиточки Кюрі. Встановлено межі застосовності обох варіантів наближення для різних типів граток.

НДК з двома компонентами кластерного поля у випадках різних типів граток коректно описує конкуренцію взаємодій K та Jij з тунелюванням , за виключенням низькотемпературної ділянки. Передбачається спадання температури фазового переходу із збільшенням /K та зменшенням J0/K. Для одновимірної МІПП при J0=0 не передбачається сегнетоелектричне впорядкування при ненульових температурах. Некоректне врахування квантових флуктуацій даним варіантом кластерного наближення приводить до того, що при певних наборах параметрів моделі отримується нефізичний низькотемпературний фазовий перехід (антиточка Кюрі). Але навіть тоді, коли антиточка Кюрі відсутня, при >0 передбачаються некоректні результати для термодинамічних характеристик на низькотемпературній ділянці. Низькотемпературний проміжок, на якому кластерне наближення з двома варіаційними параметрами є незастосовним, є тим вужчим, чим меншими є /K та J0/K.

Нехтування поперечним кластерним полем у випадку двовимірних та тривимірних граток дозволяє уникнути нефізичностей для термодинамічних характеристик при низьких температурах, а при високих – лише незначно погіршує результати. При невеликих значеннях тунелювання <K, навіть у випадку відсутності далекосяжних взаємодій, результати обох варіантів кластерного наближення при температурах вищих та незначно нижчих від температури фазового переходу практично кількісно не відрізняються. Для моделі на одновимірній гратці нехтування параметром приводить до некоректного опису конкуренції взаємодій з тунелюванням. Передбачається зростання температури фазового переходу із збільшенням (див. рис. 6).

Для одновимірної МІПП лише з короткосяжними взаємодіями в НДК проведено числове дослідження спектра елементарних збуджень на основі результатів Левицького та Сорокова (Левицкий Р.Р., Сороков С.И. Препр. АН УССР, ИТФ-88-34Р) для поперечної спектральної гус-тини. Детально проаналізовано перерозподіл інтенсивностей кластерних мод із змінами темпера-тури, параметра тунелювання та величини квазіімпульсу. Виявлено, що із збільшенням цих вели-чин відбувається перекачка інтенсивностей від низьких частот до більш високих. Також показано (див. рис. 7), що при значеннях поперечного поля <2K та температурах kBT/K>(/K)1/2 зміна положень мод при q=0 і їх інтегральних інтенсивностей із зміною та T якісно описують зміни частотних залежностей дійсної частини функції релаксації, отриманих чисельним методом (при скінчених T; Derzhko O., Krokhmalskii T. Phys.Rev.B, 1997, 56) або точно (при T).

Основні результати та висновки

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Результати дисертації опубліковано в таких роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Баран О.Р. Кластерний підхід в дослідженні псевдоспінових моделей. –Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. Інститут фізики конденсованих систем Національної академії наук України, Львів, 2002.

Робота присвячена теоретичному дослідженню псевдоспінових систем з короткосяжними і далекосяжними взаємодіями при базисному врахуванні короткосяжних кореляцій в рамках кластерного підходу. У випадку моделі Ізінга протестовано вищі порядки кластерного розвинення на основі двочастинкового кластера. Для ізінгівських моделей з довільним значенням спіна послідовно проведено наближення двочастинкового кластера за короткосяжними взаємодіями при врахуванні далекосяжних кореляцій в наближенні молекулярного поля. Отримано в загальному вигляді рівняння типу рівняння Орнштейна-Церніке для парних кореляційних функцій. Для спін-1 ізінгівської моделі отримано у явному вигляді вирази для парних кореляційних функцій в імпульсному просторі. При різних значеннях мікроскопічних параметрів (при яких достатньо розглядати одну підгратку) здійснено дослідження термодинамічних характеристик цієї моделі.

В наближенні двочастинкового кластера за короткосяжними взаємодіями та в наближенні молекулярного поля (для термодинамічних характеристик) або в наближенні хаотичних фаз (для динамічних властивостей) за далекосяжними досліджено спін-1/2 XXZ-модель та модель Ізінга в поперечному полі. Встановлені межі коректності такого підходу для цих моделей на різних типах граток при різних значеннях їх мікроскопічних параметрів. Проведено числове дослідження спектру елементарних збуджень XXZ-моделі з анізотропією типу легка вісь на простій кубічній гратці та одновимірної моделі Ізінга в поперечному полі.

Ключові слова: псевдоспінові моделі, кластерне наближення, кореляційні функції,функції Гріна, спектр елементарних збуджень.

Баран О.Р. Кластерный подход в исследовании псевдоспиновых моделей. –Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. Институт физики конденсированных систем Национальной академии наук Украины, Львов, 2002.

Работа посвящена теоретическому исследованию псевдоспиновых систем с коротко-действующими и дальнодействующими взаимодействиями при базисном учете короткодействую-щих корреляций в рамках кластерного подхода. В случае модели Изинга протестировано высшие